三角函数图像变换

1、三角函数yAsin(x)的图像变换1结合具体实例，理解y=Asinx)的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asinx)的简图。会用计算机画图，观察并研究参数A,进一步明确A,对函数隈的影响。2能由正弦曲线通过平移、伸换得到y=AsiKx)的图象。3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数ysin(x)和ysin(x)的简图，并指出它们与ysinx34图象之间的关系。解析：函数y sin(x 一)的周期为23,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。设xZ,那么sin(x)sinZ,xZ333275Q、当Z取0、一，

2、,2时，x取36363。所对应的五点是函数22ysin(x),x-,图象上起关键作用的点。333列表:x362T7-65-3x302322sin(x-)01010类似地，对于函数ysin(x),可列出下表:4x357944444x4023T2sin(x-)01010描点作图(如下)利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出y sin(x )，x3ysin(x),xR的简图(图略)4由图可以看出，ysin(x)的图象可以看作是把ysinx的图象上所有的点向左平行移动33个单位而得到的，ysin(x)的图象可以看作是把ysinx的图象上所有的点向右平行移动44个单位得到的。注意：一般

3、地，函数ysin(x)(0)的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动|个单位而得到的。推广到一般有：将函数yf(x)的图象沿x轴方向平移1a|个单位后得到函数yf(xa)(a0)的图象。当a0时向左平移，当a0且AW1）的图象，可以看作是把ysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A0且aw1）的图象，可以看作是把函数yf（x）图象上的点的纵坐标伸长（当A1）或缩短（当0A0,0,x，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间2T1 fT 2,它叫做振动的频率

4、;,它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数ysin 2xy sin(2x )3的图象。例1.用两种方法将函数ysinx的图象变换为函数x2x2(x)2x分析1：63ysinx解法1：.i横坐标缩短到原来的-2纵坐标不变向左平移一个单位6ysin2(x6)sin(2x3)xx2x一分析2：33向左平移一个单位3解法2：ys1nxy sin(x 3)横坐标缩短到原来的12纵坐标不变ysin(2x3)2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法方法中的平移是不同的(即6和3),但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是致的。练习：要得到5二$由(2区

5、-寸的图象，只要将y=五口2颦的图象A.向左平移B,向右平移C.向左平移；D,向右平移解一：由于产SL碟笈-*=词期一令,所要得到!=皿陵-9的图第需将y=的图象向右平移二.6，应选D解二y二cin2娃空过点(0,0),y=皿I-刍则名翌i点金，0)这是与j6x轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最接近原点的是三，0)0只要将y=团心的图象向右平移5个单位，就可得到7=皿女-!)o3的图象.，选D例2.用五点法作出函数y2sin(2x)的图象，并指出函数的单调区间。3分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。解析：(1)列表3列表时2x取值为0、一、2,再求出相应

6、的x值和y值。322(2)描点利用这类函数的周期性， 我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y 2sin(2x -),x R的简图(图略)。可见在一个周期内，函数在 一，乙上递减，又因函数的周期为，所以函数的递减区间1212为 k ,k 乙，(k Z)。同理，增区间为 12125，一、k -5-,k ,(k Z)o1212点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，3使函数式中的 x 取0、3、2 ，然后求出相应的x, y值。例3.如图是函数y Asin( x)的图象，确定A、的值。x6127t25百2x3023_22y020-20(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:解析

7、：显然A= 2解法5 (-)6 622T 2sin(2xi：由图知当x6 时，y = 02x故有y所求函数解析式为2sin(2x-)解法2:由图象可知将y2sin2x的图象向左移6口“曰丫2sin2(x-)口口y2sin(2x-)即得6,即3点评：求函数y Asin( x)的解析式难点在于确定初相般可利用图象变换例:4 .试述如何由y= sin 3解析：y=-sin (2x+ 工)(2x+ )的图象得到y=sin x的图象。3横坐标扩大为原来的纵坐标不变-sin (x 3图象向右平移个单位纵坐标不变1 sin x3纵坐标扩大到原来的横坐标不变y sin x另法答案:(1)先将y= - sin3

8、(2x+-)的图象向右平移 上个单位，得y=sin2x的图象;(2)再将y= -sin23x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得y=sinx的图象;3(3)再将y=-sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到y=sinx3的图象。例5:函数f(x)=Asin(wx+)的图象如图2-15,试依图指出f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)v0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心.解析：这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，

9、本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(3x+)的图象与函数y=sinx的图象的关系得出.解.(1)氏泛)的最小正周期是2(?-；)二3n注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中.(2)在一个周期内:冲，使3=0的区为工=-5成胃=兀故所求的史的集合为国整=+3k冗，k?Z)国笈二1+3k冗.乐团使网0的区的集合为国兀4-3k7TK0,30,的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)如何由函数y=2sinx的图象通过适当的变换得到函12数 f (x)的图象,试写出变换过程.f(x)的最小

10、正周期T= 4X 52A2兀3 =T = 2.兀将点豆，2代入f(x)的解析式，得兀sin 3T一 兀兀又1 6 |0, w 0| ()| xC R)的图象的一部分如图所不(1)求函数f (x)的解析式;2(2)当xC 6,时，求函数y=f(x)+f (x + 2)的最大值与最小值 3及相应的x的值.(1)由图象知A= 2, T= 8,2兀兀 T=，8, 3 =彳又图象过点(一1,0) , 2sin7171I H y，; =-. 1- f (x) = 2sin(2) y=f (x) + f (x+2)(1)由图象知A=2.=2sin -4x+ + 2sin 47*+-2-+彳17t 7t=2娘

11、sin-4-x + =2，2cos x.7t7t7t当彳x=一百，即2x=-3时，y = f (x) + f (x+2)取得最大值 J6;兀L当了*=一兀，即x=-4时，y=f(x)+f(x+2)取得最小值一2-hJ2.易错分析y=f(x)+f(x+2)化简错误，化简公式和方法不熟致误.向左平移_个坐标12兀y= 2sin 2x+ .即2求函数y=f(x)的解析式;解 (1)由题图知 A= 2, T=兀，旱 红2CO = T = 2,3.(14分)函数y=Asin(cox+6)(A0,w0的一段图象如图所示.一.一一一兀一、.一一-一一一-一t-、.一一(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个

12、单位，得到y=g(x)的图象，求直线y=、，6与函数yf(x)+g(x)的图象在(0,兀)内所有交点的坐标.兀将y=2sin2x的图象向左平移逐个单位长度,得y=2sin(2x+巾)的图象.口兀兀兀是()=2X1=-6-f(x)=2sin2x+.(2)依题意得g(x) = 2sin兀兀2x-T+T兀=2cos2x+.6故 y=f(x)+g(x) = 2sin兀2x+7 -2cos兀2x+T=2而in2x-12.232.7t7t7t. 0x7t,- 122x12,y=sin|32=sin32=1,排除G故选B.点（4.为了得到函数y=2sinx+*,xCR的图象，只需把函数y=2sinx,xCR

13、的图象上所有的36）.兀.1、A.向左平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变）.兀.1、B.向右平移三个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3倍（纵坐标不变）C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）,.兀、D.向右平移至个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案C兀兀兀解析将y=2sinx的图象向左平移百个单位得到y=2sinx+石的图象，将y=2sinx+图象上各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，1 兀、则得到y=2sin3X+的图象，故选C.二、填空题5 .已知函数y=Asin(wx+6)(A

14、0,30)的最大值为3,最小正周期是2台，初相是高，则这个函数的解析式为.“一一兀答案y=3sin(7x+y)“F,1,r一八一一27t27t.兀斛析由题息，知A=3,co=t=2=7,6=6，1兀y=3sin(7x+).兀6 .函数f(x)=3sin2x的图象为C,如下结论中正确的是(写出所有正确结论的3编号).一一,1171,图象C关于直线x=72-对称；图象C关于点2y,0对称；函数f(x)在区间一12,箸内是增函数；兀由y=3sin2x的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C答案解析f器=3sin(=3,正确；f=3sin兀=0,正确；3f(x)的增区间为k兀一点，kTt+51(kez

15、),令k=0得增区间一点，52，正确；兀.一一.，由y=3sin2x的图象向右平移百个单位长度可以得到图象G错误.三、解答题，一一兀，一，,一、，J,、7 .已知函数y=Asin(3x+(J)(A0,30,|).，、，8 .已知函数f(x)=2sin(2x+吾)+a+1(其中a为常数).求f(x)的单调区间；兀.一一，(2)若xe0,-2时，f(x)的最大值为4,求a的值；(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合.A.一.兀,兀兀.解析(1)由2-+2kTt2x-2k%(k：Z),4，1兀兀解得一3+kitx_+k%(kZ).一兀兀，函数f(x)的单倜增区间为一万+卜兀，+ku(kCZ).由

16、事+2kjtW2x+5w=+2k兀，kCZ,262解得%+k7twxw2+ku,kCZ.63，函数f(x)的单调减区间为怖+卜兀，萼+kTt(kCZ).63(2) .0wxw2，/v2x+-67,1 .兀.一Wsin(2x+-6)1,，f(x)的最大值为2+a+1=4,a=1.,一一，兀兀(3)当f(x)取最大值时，2*+了=1+2卜兀，kCZ,兀2x=+2k兀,kCZ3x=+ku,kCZ.当f(x)取最大值时，兀.x的取值集合是xx=1+k7t,kez.9.,、一，兀一(2014北东文，16)函数f(x)=3sin(2x+y)的部分图象如图所本.写出f(x)的最小正周期及图中北、y0的值;兀

17、兀(2)求f(x)在区间万，一12上的最大值和最小值.2兀解析(1)f(x)的最小正周期为=71.(xo,yo)是最大值点，兀兀7兀令2x+=V+2kTt,kez,结合图象得xo=,yo=3.626兀兀(2)因为xC-,-,所以2x+右-56L,0.一兀_兀.于是，当2x+-6=0,即x=12时，f(x)取得最大值0;兀兀兀当2x+=2,即*=至时，f(x)取得最小值3.基础巩固一、选择题1 .函数y=|cosx|的周期为()A.2兀B.兀兀兀C万D了答案B解析作出函数y=|cosx|的简图，-西T0mB炉*251r由图象可知，函数y=|cosx|的周期为兀.2.(2014浙江临海市杜桥中学高

18、一月考)要得到函数g(x)=cosx的图象，只需将f(x)=cos(x兀,工)的图象().兀A.向右平移胃个单位长度8兀B.向左平移七个单位长度8.兀C向右平移N个单位长度兀D向左平移个单位长度答案D解析将f(x)=cos(x4)的图象向左平移4个单位长度得到g(x)=cos(x+4)十=cosx,故选 D.3. (2014 山东济南一中高一月考 TT . 一A.关于直线x=对称4C.关于直线x =,对称8)函数y= cos2x的图象() TT . 一B.关于直线x=万对称D.关于直线x=对称4答案B解析令2x=kTt(kez),x=k2,kCZ.4.A.C.,兀k=1 时，x=-,故选已知函

19、数y=娘cos( 3 x +B.设其周期为T,则有()7t4D.答案A解析3兀 3兀 12 %2420205 6兀T=可.5 .要得到函数y=cos(2x+1)的图象，只要将函数y=cos2x的图象()A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位C.向左平移单位D.向右平移单位15兀的值等于()A.C.2D- -T兀f() cosxx0sin x 0x0结合正、余弦函数图象可知,一2-+2kkx三+2k兀(kCZ).兀8.(2014江西九江外国语高一月考)函数f(x)=cos(2x-)+1的对称中心坐标为答案(+悖，1)kCZ兀兀解析令2x-=y+kTt(kZ),则x=+9,kCZ.32兀故函数f

20、(x)=cos(2x-)+1的对称中心坐标为三、解答题319.已知函数y=abcosx的最大值是2,最小值是求函数y=4bsinax的最大值、最小值及最小正周期.解析1wcosx0时，bwbcosxb,ababcosxa+b.3a+b=；12a=,解得21ab=2b=11y=4bsinax=4sinX,最大值为4,最小值为-4,最小正周期为47t.当b0时，bwbcosxwb,a+babcosxwa-b.3ab=512a=-,解得2.1a+b=-b=-11一一,一,一，y=-4bsinax=4sin2x,取大值为4,取小值为4,取小正周期为能力拓展一、选择题一一兀兀，,一J一1 .函数y=ln

21、cosx（-x）的图象是（）ACD答案A.兀兀，一兀一1，.“斛析由y=lncosx（一万今）知y=lncosx是偶函数，取x=_3得y=ln20,故选A.2 .已知函数y=Asin（cox+6）+b的图象如图所示，则常数A、6、b的取值是（A. A= 61B. A= 4, 3=2,C. A= 43=21D. A= 4, 3=2,7t3，b= 23答案解析最大值与最小值的差= 6-（-2） =8, A= 4.又二.周期T= 华32T =4 兀,27127t1l6+2=片=了且b=2=2,1y=4sin尹6+2.一.、-兀一由题意知AB、CD四个选项中（）都等于瓦，故选D.3f（x）的图象如图所示，那么不等式3 .已知f（x）是定义在（3,3）上的奇函数，当0x3时,f（x）cosx0的解集为(-1,0)U (1,3) , f (x)0的解集为cosx0的解集为兀一兀，一万u7t2，兀,故 f(x)cos x0 的解集为兀兀7,1U(0,1)U-2,3.44 .把函数y=cosx+-的图象向右平移6个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称,则（）的最小值为（）4兀A.3D5答案C兀兀4兀解