数值积分与数值微分

1、1第四章数值积分与数值微分计算方法 Gauss 求积公式求积公式2本讲内容本讲内容l 一般理论一般理论: 公式公式, 余项余项, 收敛性收敛性, 稳定性稳定性l Gauss-Legendre 求积公式求积公式l Gauss-Chebyshev 求积公式求积公式l 无限区间的无限区间的 Gauss 求积公式求积公式n Gauss 求积公式求积公式3Gauss 型求积公式型求积公式考虑求积公式考虑求积公式0( )d()nbiiaif xxA f x l 含含 2n+2 个参数个参数 (节点与系数节点与系数), 为了使该公式具有为了使该公式具有尽可能高的代数精度尽可能高的代数精度, 可将可将 f (

2、x) = 1, x, x2, , x2n+1 代代入公式入公式, 使其精确成立使其精确成立, 则可构造出代数精度至少为则可构造出代数精度至少为 2n+1 的求积公式的求积公式!4举例举例例：例：试确定节点试确定节点 xi 和系数和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。100111( ) d ()()f xxA f xA f x 解：解：将将 f (x)1, x, x2, x3 代入求积公式，使其精确成立，可得代入求积公式，使其精确成立，可得 0100112200113300112

3、0 2/ 30AAA xA xA xA xA xA x 易验证该公式对易验证该公式对 f (x)x4 不精确成立，不精确成立，所以此求积公式具有所以此求积公式具有 3 次代数精度。次代数精度。1133( )d 33f xxff 01011, 1 33, 33AAxx 非线性非线性方程组方程组求解较求解较困难困难5Gauss 型求积公式型求积公式一般情形一般情形: 考虑考虑机械机械带权求积公式带权求积公式0( )d() nbiiaixf xxA f x 定义定义：若存节点在若存节点在 xi a, b 及系数及系数 Ai ，使得上面的求积，使得上面的求积公式具有公式具有 2n+1 次代数精度，则称

4、节点次代数精度，则称节点 xi 为为高斯点高斯点，Ai 为为高斯系数高斯系数，求积公式为，求积公式为 高斯型求积公式高斯型求积公式性质性质：上面的求积公式：上面的求积公式至多至多具有具有 2n+1 次代数精度次代数精度将将 代入验证即可代入验证即可niixxxf02)()(Gauss 公式在所有机械求积公式中代数精度最高公式在所有机械求积公式中代数精度最高6Gauss 点点如何计算如何计算Gauss点点 xi 和和 高斯系数高斯系数 Ai法一法一: 解解非线性非线性方程组方程组太困难太困难! 法二法二: 分开计算分开计算l 先确定先确定 Gauss 点点l 再通过解线性方程组计算再通过解线性方

5、程组计算 Gauss 系数系数7Gauss 点点定理定理：节点：节点 xi (i = 0, 1, , n) 是是 Gauss点的充要条件点的充要条件是：多项式是：多项式 与任意次数不超过与任意次数不超过 n 的的多项式多项式 p(x) 关于权函数关于权函数 (x) 正交，即正交，即10( )()nniixxx 1( )( ) d0(bnap xxxx 且高斯系数且高斯系数 Ai 为为( ) ( ) dbiiaAx l xx 其中其中 li(x) 为以为以 xi 为节点的为节点的 Lagrange 基函数。基函数。 0( )d() nbiiaixf xxA f x 证明证明: 板书板书8Gaus

6、s 点点证明：证明：x0 xn 为为 Gauss 点点设设 p(x) Hn ，则则 p(x) n+1(x) H2n+1110( ) ( )( )()()0nbniiniaix p xx dxA p xx “”0()niiiA p x 设设1( )( ) ( )( )np xx q xr x 1( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )bbbnaaax p x dxxx q x dxx r x dx 00()niiiAr x 0( ) ( )( )nbiiaix f x dxAf x 代数精度代数精度 2n+1要证要证 xi 为为 Gauss 点，即公式对点，即公式对 p(x) H2n+1

7、精确成立精确成立 “” p(x), r(x) Hn 正交性正交性 公式是公式是插值型插值型的的将将 li(x) 为代为代入即可得入即可得 Ai 的表达式。的表达式。9Gauss 公式公式设设 p0(x), p1(x), , pn(x) , 是是 a, b 上带权上带权 (x) 正交正交的多项式族，则的多项式族，则 Gauss 点即为点即为 pn+1(x) 的零点的零点l Gauss 点的计算点的计算 l 求出求出 n+1(x) 的表达式的表达式l 计算其零点计算其零点与与 1, x, x2, ., xn 带权正交带权正交l Gauss 系数的计算系数的计算 l 将将 f (x) = 1, x,

8、 x2, , xn 代入，解方程代入，解方程l 或利用或利用 Lagrange 基函数基函数10举例举例例：例：试确定节点试确定节点 xi 和系数和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。可能高的代数精度。100110( ) d ()()x f xxA f xA f x 解：解：易知易知 是是 0, 1 上的权函数上的权函数( )xx 具有最高代数精度的机械求积公式是具有最高代数精度的机械求积公式是 Gauss 型公式型公式2201( )()()xxxxxxbxc 设设节点节点 x0 , x1 是是 Gauss点点 2(x) 与与 1, x 带权正交带权

9、正交120120( ) d0 ( ) d0 xxxxxxx 105, 921bc 令令 2(x) = 0, 解得解得010.2899,0.8212xx11举例举例将将 f (x)1, x 代入求积公式，使其精确成立，可得代入求积公式，使其精确成立，可得 1010100110 d2/ 3 d2/ 5AAxxA xA xxxx 010.2776, 0.3891AA求积公式为求积公式为10( ) d 0.2776 (0.2899)0.3891 (0.8212)x f xxff 12余项余项设设 p2n+1(x) 是是 f(x) 在节点在节点 x0, x1, , xn 上的上的 2n+1 次次 Her

10、mite 插值多项式插值多项式, 即即 21( )( ),niipxf x 21( )( )niipxf x (22)22110()() ( )( ) d(22)!nnbxininaifA pxxxxn (22)2211( )( )( )( )(22)!nxnnff xpxxn (22)2211()( ) d( ) d( ) d(22)!nbbbxnnaaaff xxpxxxxn (22)21( ) ( )( ) d(22)!nbnafR fxxxn ( , )a b 13收敛性与稳定性收敛性与稳定性0lim()( ) ( ) dnbiianiA f xx f xx 可以证明：当可以证明：当

11、a, b 为有限数，且为有限数，且 f (x) Ca, b 时时Gauss 型公式是收敛的型公式是收敛的令令2( )( )if xlx 220( ) ( ) d()nbii ijiajx lxxAlxA 0iA Gauss 型公式是稳定的型公式是稳定的14G-L 公式公式l 积分区间积分区间: -1, 1l 权函数权函数: (x) = 1Gauss-Legendre 求积公式求积公式Gauss 点点 = Legendre 多项式多项式 pn+1(x) 的零点的零点110( ) d()niiif xxA f x l G-L 求积公式求积公式:15简单简单 G-L 公式公式l n =0 时时, G

12、-L 求积公式求积公式:Gauss 点点: 00 x 11( ) d 2 (0)f xxf 将将 f (x)1 代入求出代入求出 A0l n =1 时时, 两点两点 G-L 求积公式求积公式:Gauss 点点: 0133,33xx 1133( ) d 33f xxff 将将 f (x)1, x 代入代入求出求出 A0 , A1211P( )(31)2nxx 1P( )nxx 16简单简单 G-L 公式公式l n =2 时时, 三点三点 G-L 求积公式求积公式:Gauss 点点: 0121515,0,55xxx 115158515( ) d (0)95995f xxfff 311P( )(53

13、 )2nxxx 17更多更多 G-L 公式公式当当 n 3 时，可用数值方法计算时，可用数值方法计算 Pn+1(x) 的零点的零点n节点个数节点个数Gauss点点Gauss系数系数010.0000000 2.000000012 0.5773503 1.000000023 0.7745967 0.0000000 0.5555556 0.888888934 0.8611363 0.3399810 0.3478548 0.652145245 0.9061798 0.5384693 0.0000000 0.2369269 0.4786287 0.568888956 0.93246951 0.66120

14、939 0.23861919 0.17132449 0.36076157 0.4679139318余项余项l 余项余项:422(22)32(1)! ( )(23) (22)!nnnfnn (-1, 1) (22)21( ) ( )( ) d(22)!nbnafR fxxxn 19G-L 公式公式一般区间上的一般区间上的 G-L 求积公式求积公式l 变量代换变量代换22babaxt110( ) d( ) d( )2nbiiaibaf xxg ttA g t ( )22babag tft20举例举例例：例：用四点用四点G-L公式公式 (n=3) 计算定积分计算定积分0.520cos( ) dxxx

15、 解：解：令令44xt 22( )1cos(1)164g ttt 20.512201cos( ) d1cos(1) d4164xxxttt 0.3479 ( 0.8611)0.6521 ( 0.3400)4 0.6521 (0.3400)0.3479 (0.8611)gggg 0.4674 =0.46740110027234I f21G-C 公式公式l 积分区间积分区间: -1, 1l 权函数权函数:Gauss-Chebyshev 求积公式求积公式Gauss 点点 = Chebyshev 多项式多项式 Tn+1(x) 的零点的零点2110(11) d)niiif xxA f xx l G-C

16、求积公式求积公式:21( )1xx 22G-C 公式公式l Tn+1(x) 的零点的零点21cos22iixn (i = 0, 1, , n)l Gauss 系数系数1iAn (i = 0, 1, , n)2110( ) 11d()1niif xxf xnx l G-C 求积公式求积公式:l 余项余项: (22)222 ( )2(22)!nnR ffn (-1, 1) 23简单简单 G-C 公式公式l n = 0 121/21(1)( ) d (0)xf xxf l n = 1 121/21(1)( ) d2 22 22xf xxff l n = 2 两点两点 G-C 公式公式三点三点 G-C

17、 公式公式 121/21(1)( ) d3 203 23xf xxfff 一般区间上的一般区间上的 G-C 求积公式求积公式l 变量代换变量代换22babaxt24举例举例例：例：用五点用五点G-C公式计算定积分公式计算定积分211 d1xxex 解：解：直接代公式可得直接代公式可得3.9775 4102121 dco1s522ixixfnex 误差估计误差估计 (22)222 ( )2(22)!nnR ffn 9102 4.6 10210!e 25Gauss-Laguerre 公式公式l 积分区间积分区间: 0, l 权函数权函数:Gauss-Laguerre 求积公式求积公式Gauss 点

18、点 = Laguerre 多项式多项式 Ln+1(x) 的零点的零点00( ) d()xniiif xxA f xe l Gauss-Laguerre 求积公式求积公式:( )xxe d( )()dnxnxnnLxex ex 26Gauss-Laguerre 公式公式l Gauss 点点: 查表查表 (教材教材124页页)l Gauss 系数：系数： 221(1)!()iininAxLx (i = 0, 1, , n)l 余项余项: 2(22)(1)! ( )(22)!nnR ffn (0, ) 27Gauss-Hermite 公式公式l 积分区间积分区间: - , + l 权函数权函数:Gauss-Hermite 求积公式求积公式Gauss 点点 = Hermite 多项式多项式 Hn+1(x) 的零点的零点20( ) d()nixiif xxA f xe l Gauss