中等生第七招利用线性规划求目标函数的最值捷进提升篇2016年高考数学备考百日系列解析版

1、了解最新高考资讯，关注第七章不等式利用线性规划求目标函数的最值【背一背重点知识】1. 平面区域的确定是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过计算解决2. 线性规划问题解题步骤：作图画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线 l；平移将直线 l 平行移动，以确定最优解的对应点 A 的位置；求值解有关方程组求出 A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，求出目标函数的最值3.最优解的确定：线性目标函数 zaxby 取最大值时的最优解与 b 的正负有关，当

2、b>0 时，最优解是将直线 axby0 在可行域内向上方平移到端点(是两直线交点)的位置得到的；当 b<0 时，则是向下方平移【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）线性目标函数 zaxby 中的 z 不是直线axbyz 在 y 轴上的截距，把目标函数化为azzy=x+可知 是直线axbyz 在 y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大bbb值、什么情况下取得最小值（2）结合思想要牢记，作图定要准确，整点问题要验证解决（3）求解线性规划中含参问题的基本：线性规划中的含参问题主要有两类：一是在条件不等式组中含有参数；二是在目标函数中含有参数解决此类问题的基本有两

3、种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，然后通过观察的确定含参的式子所满足的条件2.典型例题：0 £ x £ 4ìïx + y - 4 ³ 0例1已知关于 x, y 的不等式组í，所表示的平面区域的面积为 16，则k 的值为（）ïkx - y + 4 ³ 0îC1 或- 3D - 3A-1 或 3B11加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注【】C【】），且直线 kx - y + 4

4、= 0 可化为 y = kx + 4 ，即恒过点 A(0,4) ，联立试题分析：作出可行域（ì y = kx + 41，得C(4,4k + 4) ，则DABC 的面积为 ´ 4´ 4k + 4 = 16 ，k = 1或k = -3 ；故选 Cíx = 42îì y ³ 1,ï例 2 已知实数 x, y 满足 y £ 2x -1, 如果目标函数 z = x - y 的最小值为-1，则实数m 等于（í）ïx + y £ mîB5A7C4D3【】B【】ìx +

5、y - 2 £ 0ïx - 2 y - 2 £ 0，若 z = y - ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（x, yí例 3满足约束条件）ï2x - y + 2 ³ 0î1A,或-1B. 2或 1D. 2或-1C.2 或 122分析：目标函数取得最大值的最优解不唯一，是平移直线使其与平面区域的边界重合.【】D2加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注【】【提升能力】ìx + y £ 1ï1. 已知不等式组 x - y ³ -1，表示的平面区域为 M，若直线 y

6、= kx - 3k 与平面区域 M 有公共点，则 k 的取íï y ³ 0î）值范围是（A. é- 1 ,0ùB. æ -¥, 1 ùæ 0, 1 ùD. æ -¥, - 1 ùC.çççêú3ú3ú3úë3ûèûèûèû【】A【】试题分析：由题意可知，不等式表示的可行域如下图：由于直线 y = k

7、x - 3k 恒过点（3,0），所以当直线过1点 C 时斜率最小为k =-.最大值为 0.故选 A.3T =( x0 , y0 )Î D | x0 , y0 Î Z,( x0 , y0 ) 是 z = x + y 在 D 上取得最大值或最小值的点2.给定区域 D :, ,则T 中的点共确定条不同的直线.】6】【3加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注3.若实数满足条件则的最大值是（ ）ABCD【】C【】由约束条件作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并时，纵截距最小，同时 z 最大为,故C 正平移，使之经过可行域，经过点确.4加，赠送全科状元笔记（最新）了解

8、最新高考资讯，关注基本不等式【背一背重点知识】已知 x0，y0 ，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x = y 时， x + y 有最小值是2 p (简记：积定和最小)p 2(2)如果和 x + y 是定值 p，那么当且仅当 x = y 时， xy 有最大值是(简记：和最大)4【讲一讲提高技能】1.必备技能：（1）在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误而“定”条件往往是整个求解过程中的一个难点和关键æ a +

9、 b ö2（2）.对于公式ab ³ 2 ab，ab £ ç÷要理解它们的作用和使用条件及内在，两个公式也体现è2ø了 ab 和 ab 的转化.（3）.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.2.典型例题：设正实数 x, y, z 满足 x2 - 3xy + 4y2 - z = 0 ，则当 xy 取得最大值时， 2 + 1 - 2例 1的最大值为zxyz（）94A0B1CD3【】B【】试题分析： x2 - 3xy + 4y2

10、 - z = 0 z = x2 - 3xyxyxy1=（当且仅当 x = 2 y 时取“=”），x + 4zx2 - 3xy + 4 y2yx z = x2 - 3xy + 4y2 = (2y)2 - 3´5加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注ö2111æ 1212212+-=xyz值为 1+-yyy2= -ç y -1÷,当且仅当 y = 1时取得“=”，满足题意,+-的最大xyzèø例 2 某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F （时间内测量点的车辆数，：辆/小时)与车流速度v （假设车辆以

11、相同速度v 行驶，：米/秒）平均车长l （：米）的值有关，其76000v公式为 F =v2 +18v + 20l（1） 如果不限定车型， l = 6.05 ，则最大车流量为辆/小时；（2） 如果限定车型， l = 5 ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时.分析：作为函数的应用问题，其处理有三种思路，一是利用函数的单调性；二是利用基本不等式；三是利用导数.本题通过变换函数的表，创造了应用基本不等式的条件一正、二定、三等，体现了处理问题的灵活性.【】【提升能力】1.已知 x > 0, y > 0 ，且 2 + 1 = 1 ，若 x + 2y > m2 + 2m 恒成立

12、，则实数m 的值取值范围是（xy）A m ³ 4 或m £ -2C - 2 < m < 4B m £ -4 或m ³ 2D - 4 < m < 2】D【】6加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注æ 21 ö4 yx试题分析：因为ç+÷(x + 2 y) = 4 +，所以m + 2m < 8 ，2è xy ø- 4 < m < 2 xy2. 若log（4 3a + 4b）= log2ab,则a + b 的最小值是()A. 6 + 2 3B. 7

13、 + 2C. 6 + 4D. 7 + 4333【】D【】3. 若正实数a, b 满足a + b = 1，则（）11A. +有最大值abB. ab 有最小值 14C. a + b 有最大值 222D a2 + b2 有最小值【】C【】æ a + b ö2æ 11 ö11ab1÷(a + b) = 2 +试题分析：A 中 += ç+，最小值为 4；B 中ab £ ç=，4÷abè ab øè2ø2b öæ a + b ö2æa +

14、a + ba2 + b211££=2，最大值为 2 ，有最大值为 ；C 中由ç4÷可知ç÷è2ø222èøæ a + b ö2a2 + b21£可知a2 + b2 有最小值 错误!未找到27D 中由ç源。÷è2ø2加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注不等式恒成立问题【背一背重点知识】1. 一元二次方程根的判别式；2. 导数的计算公式及求导法则.【讲一讲提高技能】1.必备技能：恒成立问题的解法：(1)用一元二次方程

15、根的判别式法有关含有参数的一元二次不等式的恒成立问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，利用根的判别式或结合思想，可使问题得到顺利解决(2)分离参数求最值法如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量的，则可以利用函数的单调性求解 af ( x) 恒成立Û af ( x)，即大于时大于函数 f ( x) 值域的上界 af ( x) 恒成立maxÛ af ( x)，即小于时小于函数 f ( x) 值域的下界min2.典型例题：例 1 若函数是增函数，则 a 的取值范围是（在）ABCD分析: 由函数在是增函数知，在上恒成立，通的最大值.过分离参数得到在上恒成立，故只需求【

16、】ìx + 2 y - 4 £ 0,ï例 2 当实数 x ， y 满足 x - y -1 £ 0,时，1 £ ax + y £ 4 恒成立，则实数a 的取值范围是.íïx ³ 1,î分析：本题是涉及线性规划的恒成立问题，应首先画出可行域，分析直线ax + y = 0 的形态位置变化，通8加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注过平移ax + y = 0 ，研究ax + y = z 取得最值的位置，建立a 的不等式（组）.ìx + 2 y - 4 £ 0ï【

17、】作出不等式组 x - y -1 £ 0所表示的区域，由1 £ ax + y £ 4 得，由图可知， a ³ 0 ，且在(1, 0)íïx ³ 1î点取得最小值在(2,1) 取得最大值，故a ³ 1， 2a +1 £ 4 ，故a 取值范围为é1, 3 ù êë 2 úûx=1x-y-1=025x+2y-4=02【提升能力】1.已知a > 0,b > 0 ， 2 + 1 = 1 ，若不等式2a + b ³ 4m 恒成

18、立，则m 的最大值为ab4A10B9C8D7【】B【】2.若对于一切实数 x Î1,3，不等式 mx + 4m - 2 < 0 恒成立，则m 的取值范围是x2】(-¥, )5】【试题分析：将不等式mx + 4m - 2 < 0 变形为m(x + 4) < 2 ，因为 f (x) = x + 4 在区间1,2上单调递减，在xxx区间2,3上单调递增，且 f (1) = 5, f (3) = 13 , f (2) = 4 ，即4 £ f (x) £ 5 ，若 m £ 0 ，不等式显然成立，3若 m > 0 ，则须5m <

19、; 2 ，即0 < m < 2 ，综上所述，即m 的取值范围是m < 2 ；故填(-¥2, ) 5559加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注（一） 选择题（12*5=60 分）ìx ³ 0ï1.已知实数 x 、 y 满足 x + y - 2 £ 0 ，则 z = x - 2y 的最大值为（í）ïx - y - 1 £ 0î12B1C 2D 4A【】C【】ì5x + 3y £ 15ï2.不等式组y £ x+1， 表示的平面区域的面积为（

20、í）ïx - 5 y £ 3.îA7B5C3D14【】A【】试题分析：作出可行域：10加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注ì5x + 3y £ 15ï151所以不等式组y £ x+1表示的平面区域的面积为 ´ 4´+´ 4´1 = 7 ，故选 Aí222ïx - 5 y £ 3îìx - y +1 ³ 0ïx + y ³ 0x £ 0，则 z = 3x+2y 的最大值是（3

21、.若实数 x, y 满足í）ïî13AB9C1D3【】B【】执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 x, y Î R ，则输出的 S 的最大值为（4.）11加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注A 0B1C 2D 3【】C【】ì2x + y £ 10ïx + 2 y £ 14í，则 xy 的最大值为（5.设实数x，y 满足）ïx + y ³ 6î252492ABC12D14【】A【】12加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注试题分析：画出不等式组所表

22、示的平面区域（略）分析可得：1 æ 2x + y ö21 æ 10 ö2125()xy =2x × y £，当2x + y = 10 时， xy 取得最大值为=，2ç÷ç÷22è2ø22èø当且仅当 x = 5 , y = 5 时取得等号，此时点æ 5 ,5ö 在约束条件表示的可行域内；ç 2÷2èø1 æ x + 2 y ö21 æ 14 ö21497()

23、xy =x × 2 y £x + 2y =14=；当且仅当 x = 7, y =2xy，当时，取得最大值为ç÷ç÷22è2ø22èø2时取得等号，此时点æ 7, 7 ö 不在可行域内，故舍ç2 ÷èø25所以 xy 的最大值为故 A 正确26.已知a > 0,b > 0 ， 2 + 1 = 1 ，若不等式2a + b ³ 4m 恒成立，则m 的最大值为ab4A10B9C8D7【】B【】7.已知 x > 0,

24、y > 0 ，且 1 + 3 = 1，则 x + 2 y 的最小值为（xy）A 7 + 2 6C 7 + 2 3B 2 3D14【】A】因为 x > 0, y > 0 ，且 1 + 3 = 1，xy【13所以 x + 2 y = (x + 2 y)(+)xy，选A18.若不等式x2ax1 ³ 0 对于一切x Î(0, 恒成立，则 a 的最小值是()2C - 52A0B2D313加，赠送全科状元笔记（最新）了解最新高考资讯，关注【】C-x2 -1-x2 -1【】 x ax1 ³ 0 即a ³2，所以，只需a 不小于的最大值.xx-x211

25、1115x +) ， x +在x Î(0, 是减函数，其最小值在x =时取到为2 +=，而xx2222-x2 -1552的最大值为-，即a 的最小值为-2所以，选C.x9.若a > 0,b > 0 ，且函数 f (x) = 4x3 - ax2 - 2bx 在 x = 1 处有极值，则 4 + 1 的最小值为（）ab49433223A、B、C、D、【】C【】试题分析： 因为函数 f (x) = 4x3 - ax2 - 2bx 在 x = 1 处有极值， 所以 f ' (1) = 12x - 2a - 2b = 0 ，即a + b = 6 ，则 4 + 1 = 1 (

26、a + b)( 4 + 1) =1a 4b（当且仅当 =且 a + b = 6 ，即b aab6a = 2b = 4 时取“=”）；故选 Cab610.若直线ax + 2by - 2 = 0(a ³ b > 0)，始终平分圆 x 2 + y 2 - 4x - 2 y - 8 = 0的周长，则 1 + 2 的最小值ab为 （）B 3 + 2 2C 4 2A、1D6【】D【】x + 211.已知不等式< 0 的解集为x | a < x < b ，点 A(a, b) 在直线mx + ny +1 = 0上，其中mn > 0 ，则x + 114加，赠送全科状元笔记

27、（最新）了解最新高考资讯，关注21+ 的最小值为（）mn(A) 4 2(B)8(C)9(D) 12【】C】由题意可知a = -2,b = -1，代入直线m(- 2)+ n(-1)+1 = 0 ，即2m + n = 1，所以【æ 2+ 1 ö´1 = æ 2 + 1 ö´ç mn ÷ç mn ÷，故选 C.èøèø1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙12.某公司生产甲、桶装。已知生产甲1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。每桶甲的利润是 300 元，每桶乙的利润是 400 元。公司的计划中，要求每天消耗 A 、B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划，从每天在生产这两种生产的甲、中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800 元B、2400 元C、2800 元D、3100 元】C【】15加，赠送全科状元笔记（