生活中的优化问题举例(含过程)

1、1.41.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例人教版选修2-2第一章大自然的选择现代工业之巧量一量 生活到数学的转化：生活到数学的转化：我们将生活中的饮料罐抽象成数学中的圆柱体。如果要求圆柱体体积为定值V，柱体高h与底面半径r怎样的比例关系时，表面积S最小？数据来源于网络：330ml易拉罐的各种尺寸如下：1、圆柱的半径 3.305cm,2、罐的总高度 12.310cm,3、顶盖的厚度 0.028cm,侧壁的厚度 0.011cm,下底的厚度 0.021cm算出的结论为什么和我们平时看到的易拉罐形状不太一样？你认为是什么因素影响了我们的计算结果不太符合实际呢？(1)生活中经常遇到求利润最大、

2、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，实质是求函数最值。(2)利用函数和不等式性质，特别是二次函数结论和基本不等式都是求函数最值的重要手段。导数则是解决更为复杂函数最值的重要工具。 (3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.数学建模导数方法解决生活中的优化问题导数方法解决生活中的优化问题例例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两

3、个端点.设AEFBx(cm).某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.体积面积最值问题体积面积最值问题令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0 x0；当20 x30时，V(x)0.V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.引申探究引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？EF602x，8x(30 x)8x2240 x8(x15)28152.当x15时，S侧最大为1 800 cm2. 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，

4、截下的小正方形边长应为多少？自主练习巩固自主练习巩固1 1思路分析设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长，根据题意列出关系式，然后利用导数求最值规律总结面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.费用最省、利润费用最省、利润最大问题最大问题例 2:为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(

5、x)k3x5(0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗耗费用为 8 万元设f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值 思路分析代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的关系为P2420015x2，且生产x吨的成本为R50000200 x元问每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润收入成本) 自主练习巩固自主练习巩固2 2规律总结解决优化问题时应注意的问题(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定