无穷小阶的比较

1、无穷小阶的 比较 高等数学在线开放课程 无穷小无穷小阶的比较阶的比较 速度可比时速度可比时, ,极限值不同极限值不同, ,反映了两个无穷小趋向反映了两个无穷小趋向于零的于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. .xxx3lim200sinlimxxx2201sinlimxxxx20 x sin0;xx 与与速速度度大大致致相相同同不可比不可比. .,0 xx1sinlim0 观察各极限观察各极限例如例如, 都是无穷小.时,当0 x2213, sin,sinx xx xx的速度要比的速度要比3x快得多快得多;不不存在存在，1, 定义定义 设设 及及 为自变量的同一为自变量的同一个变化个变化过程中的过

2、程中的无穷无穷小小，且且 0， 也也是在这个变化过程中的极限是在这个变化过程中的极限lim lim 若若0 ,(0) ,c 1,lim0 (0),kck 若若称称 是比是比 高阶的高阶的无穷小无穷小,记作记作称称 是是 比比 低阶的低阶的无穷小无穷小;称称 与与 是是同阶同阶无穷小无穷小,特别地特别地:称称 与与 是是等价无穷小等价无穷小,记作记作 .称称 是是 的的 k 阶无穷小阶无穷小.( )； 阶的比较举例阶的比较举例xxx3lim200sinlimxxx2= (3)xoxsin xx ,0 例如例如,时,当0 x23, sin1- cosx xxx，1, 201cos1lim,2xxx

3、 21cos xx 与与是同阶无穷小是同阶无穷小5 定理定理 设设函数函数 是自变量同一变化过程中的无是自变量同一变化过程中的无穷小，穷小， 且且 是同一变化过程中的极限，是同一变化过程中的极限，则当则当极限极限 存在时，极限存在时，极限 也存在，也存在，且且limlim. , , lim lim lim 定理的意义：求定理的意义：求两个无穷小比值的极限时两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可分子及分母都可用等价无穷小来代替用等价无穷小来代替 常用等价无穷小常用等价无穷小: :0 x sin,arcsin,tan, arctan,xxxxxxxx(1)1 .xx (1) 上述等价上述等价无穷小

4、必须熟练掌握无穷小必须熟练掌握; ;(2) 将将x换成任意换成任意 f (x) 0 都成立都成立.注意注意:当 时，21ln (1) ,1 ,1cos2，xxxexxx 30ln(12 )lim1xxxe 例例、 计算计算30ln(12 )lim1xxxe 02lim3xxx 当当 x 0 时时, -2 x 0 ， 3 x 0 解解31 3,xex ln(12) 2,xx 所以所以2.3 注意：注意：对分子和对分子和分母中分母中乘积的无穷小可作乘积的无穷小可作等价无穷小代换等价无穷小代换! ! 对于对于代数和中各代数和中各无穷小替换时容易产生大的误差，变成错误，无穷小替换时容易产生大的误差，变成错误，不可无穷小代换不可无穷小代换. .8无穷小无穷小的比较内容的比较内容小结小结(1) 无穷小的比较无穷小的比较反映反映了同一过程中了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不但并不是所有的无穷小都可进行比较是所有的无穷小都可进行比较; 正确理解无穷小的阶及正确理解无穷小的阶及高阶、低阶、等价无穷小