多元函数及其应用

1、第8章 多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数而在实际问题中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数多元函数是一元函数的推广它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别之处在学习中要加以注意对于多元函数，我们将着重讨论二元函数在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去§1 多元函数的极限与连续一、平面点集与维空间一元函数的定义域是实数轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集因此，在讨论二元函数之前

2、，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念1 平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点与有序实数组之间就建立了一一对应于是，我们常把有序实数组与平面上的点看作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元有序实数组的全体，即就表示坐标平面坐标平面上满足某种条件的点的集合，称为平面点集，记作满足条件例如，平面上以原点为中心，为半径的圆内所有点的集合是现在，我们引入平面中邻域的概念设是平面上一点，是一正数与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为或，即 不包含点在内的邻域称为点的去心邻域，记为或，即1 / 76在几何上，邻域就是平面上以点为中心，为半径的圆的内部的点的

3、全体下面利用邻域来描述点和点集之间的关系任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系之一：（1）内点：若存在点的某个邻域，使得，则称点是点集的内点（见图8-1）（2）外点：如果存在点的某个邻域，使得，则称点是点集的外点（见图8-2）（3）边界点：如果在点的任何邻域内既含有属于的点，又含有不属于的点，则称点是点集的边界点（见图8-3）的边界点的全体称为的边界,记作图8-1图8-2图8-3 的内点必定属于；的外点必定不属于；的界点可能属于，也可能不属于 点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点聚点：若点的任何空心邻域内总有中的点，则称为点集的聚点聚点本身可能属于也可能不属于显然，的内点一定是的

4、聚点，的外点一定不是的聚点 例如，点集，满足的一切点是的内点；满足的一切点是的边界点，它们都属于；满足的点也是的边界点，但它们不属于；点集连同它的外圆边界上的点都是的聚点根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集开集：如果点集的点都是的内点，则称为开集闭集：如果点集的所有聚点都属于，则称为闭集例如，集合是开集；集合是闭集；而集合既非开集，也非闭集此外，还约定全平面和空集既是开集又是闭集连通集：若点集中任意两点都可以用完全含于的有限条直线段所组成的折线相连接，则称是连通集区域（开区域）：连通的开集称为区域或开区域闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域例如，是区域；是闭区域有界集

5、：对于点集，如果能包含在以原点为中心的某个圆内，则称是有界点集否则称为无界点集例如是有界闭区域，而是无界的开区域2 维空间 称元有序实数组的全体为维空间，记为中的每个元素称为维空间中的一个点，称为该点的第个坐标设点，为中的两点，我们规定，两点间的距离为显然，当时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到中去设，是一正数，那么中的点集就称为点的邻域有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、区域等概念推广到维空间去二、二元函数的概念1 二元函数的概念 在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一

6、个变量依赖于多个变量的关系，下面先看几个例子例1 正圆锥体的体积和它的高及底面半径之间有关系当和在集合内取定一组数时，通过关系式，有唯一确定的值与之对应例2 一定量的理想气体的压强、体积和绝对温度之间有关系，其中为常数当、在集合内取定一组数时，通过关系式，有唯一确定的值与之对应上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对应由这些共性便可得到以下二元函数的定义定义1 设是平面上的一个点集，如果对于内任意一点，变量按

7、照一定法则总有唯一确定的值与之对应，则称是变量，的二元函数（或称是点的函数），记作或其中点集称为函数的定义域，称为自变量，也称为因变量，数集称为该函数的值域是，的函数也可记为按照定义，在例1和例2中，是和的函数，是和的函数，它们的定义域由实际问题来确定当二元函数仅用算式表示而未注明定义域时，约定其定义域为使算式有意义的点的集合例3 求下列函数的定义域（1）； （2）解 （1）要使有意义，必须有，所以定义域为（见图8-4），这是一个无界开区域（2）要使有意义，必须有，所以定义域为（见图8-5），这是一个有界闭区域设二元函数的定义域为，对任一点，必有唯一的与之对应这样，以为横坐标，为纵坐标，为竖坐

8、标在空间就确定一个点当取遍上一切点时，相应地得到一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形（见图8-6）通常的图形是一张曲面，函数的定义域便是该曲面在面上的投影例如，由空间解析几何知道，的图形是一张平面，而函数的图形是旋转抛物面2 元函数的概念定义2 设是中的一个点集，如果对于中任意一点，变量按照一定法则总有唯一确定的值与之对应，则称是定义在上的元函数，记作，或点集称为函数的定义域，数集称为该函数的值域在定义2中，分别令和，便得到二元函数和三元函数的定义，二元及二元以上的函数统称为多元函数三、二元函数的极限设二元函数定义在平面点集上，为点集的聚点，我们来讨论当点，即点，时函数的极限这里是指点以任

9、意的方式趋于，亦即两点与之间的距离趋于零，也就是与一元函数的极限概念类似，如果在的过程中，所对应的函数值无限接近于一个常数，则称当时，函数以为极限下面用“”语言来描述这个极限的概念定义3 设二元函数的定义域为，是的聚点，是一个常数如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得当时，恒有成立，则称当时，函数以为极限，记为或，也记作二元函数的极限也称为二重极限例4 设，证明证 这里函数的定义域是，点显然为的聚点由于，可见，对任意给定的，取，则当，即时，恒有，成立，根据二元函数极限的定义，证得我们必须注意，所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数因此，当以某种特殊方式趋近于，即使

10、函数无限接近于某一常数，也不能断定二重极限存在但当以某种特殊方式趋近于时，函数的极限不存在，或者当沿两个特殊方式趋近于时，函数的极限存在但不相等，则可以断定二重极限不存在例5 讨论当时是否存在极限解 当点沿着直线趋于时，有其值因而异，这与极限定义中当以任何方式趋于时，函数都无限接近于同一个常数的要求相违背，因此当时，的极限不存在 以上关于二元函数极限的有关描述，可相应地推广到一般的元函数即上去多元函数极限的性质和运算法则与一元函数相仿，这里不再重复例6 求解 因为，而，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知 例7 解 利用变量替换令，当时，有，因此 例8 求解 利用极坐标变换令，当时，有，因

11、此三、二元函数的连续有了二元函数极限的概念，仿照一元函数连续性的定义，不难得出二元函数连续性的定义定义4 设二元函数的定义域为，是的聚点，且，如果 （1）则称二元函数在点连续 若记，则称为函数在点的全增量和一元函数一样，可用增量的形式来描述连续性，即当时，在点连续 若函数在上每一点都连续，则称在上连续，或称是上的连续函数若在点不连续，则称是函数的间断点当函数在点没有定义；或虽有定义，但当时函数的极限不存在；或极限虽存在，但极限值不等于该点处的函数值，则点都是函数的间断点例8 讨论函数在点处的连续性解 在本节的例5已经讨论过，当时，函数的极限不存在，所以在点处不连续，即点是该函数的一个间断点根据

12、极限的运算法则和多元函数连续性的定义，不难证明多元连续函数的和、差、积、商（分母不等于零）也都是连续函数多元连续函数的复合函数也是连续函数与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的例如，都是多元初等函数根据连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再利用基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：多元初等函数在其定义区域内是连续的所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元初等函数的连续性，如果需求极限，而正是初等函数定义区域内的一点，则 例9 求解 函

13、数是多元初等函数，它的定义域是一个区域，而点，所以 例10 求 解 以上运算的最后一步用到了二元函数在点的连续性类似于闭区间上一元连续函数的性质，在有界闭区域上的多元连续函数具有以下几个重要性质：性质1（最大值、最小值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有最大值与最小值；性质2（有界性定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有界；性质3（介值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任何值习题8-11判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、闭区域、有界集、无界集，并指出它们的边界和聚点（1）；（2）；（3）2求下列函数的定义域，并作出定义域的草

14、图：（1）； （2）；（3）； （4）3求下列各极限：（1）； （2）；（3）； （4）4证明下列极限不存在：（1）； （2）5求下列函数的间断点：（1）； （2）§2 偏导数与全微分一、偏导数1 偏导数定义及其计算在一元函数中，我们通过函数的增量与自变量增量之比的极限引出了导数的概念，这个比值的极限刻画了函数对于自变量的变化率对于多元函数同样需要讨论它的变化率，由于多元函数的自变量多于一个，使得变化率问题变得较为复杂在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，即讨论只有一个自变量变化，而其余自变量固定不变（视为常量）时函数的变化率定义1 设函数在点的某邻域内有定义，

15、当固定在，而在处有增量时（点（）仍在该邻域中），相应地函数有增量如果极限存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作 偏导数记号，也常记作，或，即 （1）类似地，函数在点处对的偏导数定义为， （2）记作，或由偏导数的定义可知，二元函数在点处对的偏导数，实际上就是把固定在时，一元函数在点的导数；就是一元函数在点的导数如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是，的函数，称它为函数对自变量的偏导函数，记作，或 类似地，可以定义函数对自变量的偏导函数，记作，或偏导函数也简称为偏导数显然函数在点处对的偏导数就是偏导函数在点处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值至于实际求的偏导数，并不需

16、要用新的方法，因为偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看成是另一个自变量的一元函数的导数计算时，只要把看作常数，而对求导数；类似地，计算时，只要把看作常数，而对求导数二元以上的函数的偏导数可类似定义例如三元函数在点处对的偏导数可定义为其中是函数的定义域的内点求二元以上函数对某个自变量的偏导数也只需把其余自变量都看作常数而对该自变量求导即可例1 求二元函数的偏导数解 对求偏导数时，把看作常数，则；对求偏导数时，把看作常数，则 例2 设，求， 解 方法一：先求出偏导函数和，再求偏导函数在点的函数值，所以 ， 方法二：将转化为当时，计算一元函数在处的导数，所以 将转化为当时，计算一元函数在

17、处的导数，所以 例3 已知函数，求证 证 求时，把和看作常数，则，由于所给函数关于自变量对称 若函数表达式中任意两个自变量对调后，仍表示原来的函数，则称函数关于这两个自变量对称，所以，从而有 例4 已知理想气体的状态方程是（是常数），求证 证 ，故 从例4不难说明偏导数的记号，是一个整体记号，不能像一元函数的导数那样看成分子与分母之商，否则将导致的错误结论2 偏导数的几何意义 在空间直角坐标系中，二元函数的图像是一个空间曲面根据偏导数的定义，就是把固定在，一元函数在点的导数而在几何上，一元函数表示曲面与平面的交线，则由一元函数导数的几何意义知，就是曲线在点处的切线对轴的斜率，即与轴正向所成倾角

18、的正切（见图8-7） 同理，就是曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率（见图8-8） 3 偏导数与连续的关系我们知道，若一元函数在点处可导，则必在点处连续但对于二元函数来讲，即使在点处的两个偏导数都存在，也不能保证函在点处连续这是因为偏导数，存在只能保证一元函数和分别在和处连续，但不能保证以任何方式趋于时，函数都趋于 例5 求二元函数在点处的偏导数，并讨论它在点处的连续性 解 点是函数的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数要用定义去求，又由于函数关于自变量，是对称的，故 但是我们在本章第1节例8中已经证明在点处不连续 当然，在点处连续也不能保证在点的偏导数存在 例6 讨论函数在点处

19、的偏导数与连续性 解 因为是多元初等函数，它的定义域是一个区域，而，因此在点处连续但不存在由函数关于自变量是对称的知，也不存在4 高阶偏导数 设函数在区域内具有偏导数，一般来讲，在内，仍然是，的函数，如果，关于，的偏导数也存在，则称，的偏导数是函数的二阶偏导数按照对两个自变量求导次序不同，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：对的二阶偏导数：，先对后对的二阶偏导数：，先对后对的二阶偏导数：，对的二阶偏导数： 二阶偏导数记号，也常记作， ， ， 如果二阶偏导数的偏导数存在，就称它们是函数的三阶偏导数，例如，等，类似地，我们可以定义四阶，五阶，阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数如果高阶偏

20、导数中既有对也有对的偏导数，则此高阶偏导数称为混合偏导数，例如， 例7 求函数的所有二阶偏导数 解 由于，因此有 ， 在此例中，两个二阶混合偏导数相等，即，但这个结论并非对任何函数成立，只有在满足一定条件时，二阶混合偏导数才与求偏导的次序无关对此，我们不加证明地给出下面的定理 定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等 换句话说，两个二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求偏导的次序无关 例8 验证函数满足方程拉普拉斯（Laplace）方程

21、证 因为，所以利用函数关于自变量的对称性，在的结果中，将与互换，便得到，因此 二、全微分1 全微分的定义我们知道一元函数在点可微是指：如果当自变量在处有增量时，函数增量可表示为，其中与无关，是的高阶无穷小量，则称在点可微，并称为在点处的微分，记为对于二元函数，我们也用类似的方法来定义可微性及全微分定义2 设函数在点的某邻域内有定义，点为该邻域内任意一点，若函数在点处的全增量可表示为， （3）其中，仅与点有关，而与，无关，是当时较高阶的无穷小量，即，则称函数在点处是可微的，并称为函数在点处的全微分，记作，即 （4）2 可微性条件 定理2（可微的必要条件） 若在点处可微，则 （1）在点处连续；（2

22、）在点处的偏导数存在，且，证（1） 设在点处可微，根据可微的定义有，当时，有由于，所以有，于是，从而有所以在点处连续证毕（2）因为在点处可微，则有，上式对任意的，都成立，特别地，当时，则有，等式两边同除以，再令，得，即在点处对的偏导数存在，且同理可证在点处对的偏导数也存在，且证毕根据此定理，在点处的全微分可以写成与一元函数的情形一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即，所以在点处的全微分又可以写成 （5）如果函数在区域上每一点都可微，则称函数在区域上可微，且在上全微分为 （6）在一元函数中，函数在某点可导与可微是等价的，但对于多元函数来说，情形就不同了，函数的偏导数存在，不一定能保证函数可微

23、当偏导数存在时虽然在形式上能写出，但它与的差不一定是当时较高阶的无穷小量，只有当时，即时，才能说函数在该点可微例如本节例5中所讨论的函数在点处有，所以如果考虑点按照的方式趋向于点，这时有，即不存在，则由可微性定义有在点处不可微当然由本节例5可知，函数在点处不连续，由定理2知不连续则不可微，则在点处的不可微此例题说明偏导数存在只是可微的必要条件而不是充分条件但是如果将可偏导的条件加强为偏导数连续，则函数就可微了定理3（可微的充分条件） 若函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与在点处连续，则函数在点处可微证 函数的全增量可以表示为在第一个方括号中，变量保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关于的

24、一元函数的增量；在第二个方括号中，变量保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关于的一元函数的增量对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理得，（，） 由于与在点处连续，因此有，即 ，其中当，时，从而而 ，所以 ，又由于，所以，即当时，有于是证明了在点处可微证毕 注意偏导数连续只是函数可微的充分条件，不是必要条件例9 证明在点处可微，但在点处偏导数不连续 证 ，由于函数关于自变量是对称的，则于是所以函数在点处可微当时，由有当点沿轴趋于时，由于，不存在，所以不存在，即在点处不连续，同理在点处也不连续根据前面的讨论，函数连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示： 偏导数存在偏导数连续 可微连续 以

25、上关于全微分的定义及可微的必要条件和充分条件可以完全类似地推广到三元及三元以上的函数例如，若三元函数的三个偏导数都存在且连续，则它的全微分存在，并有 例10 求函数在点处的全微分解 ， ，由于，在点处连续，所以函数在点处可微，且有 例11 求函数的全微分解 ，由于，连续，所以函数可微，且有 例12 求函数在点处，当，时的全微分和全增量解 ， ，由于，在点处连续，所以函数在点处可微，且， 此例中与的差仅为0.00243 全微分在近似计算中的应用设函数在点处可微，则它在点处的全增量为其中是当时较高阶的无穷小量因此，当，都很小时，有近似公式 ，上式有时也写成 （7）利用上面的近似公式（7）可以计算函

26、数的近似值 例13 计算的近似值 解 把看作是函数在，时的函数值取，由于 ，应用近似公式（7）有 例14 金属圆锥体受热变形，底面半径由增加到，高由减少到，求圆锥体体积变化的近似值解 设圆锥体的底面半径、高和体积依次为、和，则圆锥体体积为记、和的增量依次为、和应用近似公式（7）有将，代入上式，得圆锥体体积变化的近似值即圆锥体的体积约减少了习题 8-21求下列函数的偏导数：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）2设，求3求曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角4求下列函数的二阶偏导数：（1）； （2）；（3）； （4）5验证： （1）满足方程；（2

27、）满足方程； （3）满足方程；（4）满足方程，其中6设，求，7考察函数在点处的偏导数是否存在8求下列函数的全微分：（1）； （2）；（3）； （4）9求下列函数在指定点的全微分： （1），在点处；（2），在点处10求函数，当，时的全增量和全微分11证明函数在点处连续，且偏导数存在，但在点处不可微12求下列各式的近似值：（1）； （2）13金属圆柱体受热变形，半径由增加到，高由增长到，求圆柱体体积变化的近似值§3 多元函数微分法一、复合函数微分法 1 复合函数微分法在一元函数中，我们介绍了复合函数的求导法则：如果函数在点处可导而在对应点处可导，则复合函数在点处可导，且有现在将这一微分法

28、则推广到多元复合函数的情形，并按照多元复合函数的不同的复合情形，分三种情况讨论 （1） 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 设函数，在点处可导，函数在对应点处可微，则复合函数在点处可导，并且有 （1） 证 给以增量，相应地有增量和，从而函数有增量因为函数在点可微，故有，其中，是当时较高阶的无穷小量上式两端同时除以，得，因为函数，在点处可导，故它们必在点处连续，从而当时有，注意到因为当时有，故有，从而，再由，在点处可导，故当时有，从而有界，所以，于是有即证毕为了便于掌握复合函数的求导法则，我们常用函数结构图来表示变量之间的复合关系例如定理1的函数结构图是 v 从函数结构图中可以看到：一方

29、面，从引出两个箭头指向中间变量、，表示是、的函数，同理和都是的函数；另一方面，由出发通过中间变量到达的链有两条，这表示对的导数是两项之和，而每条链由两个箭头组成，表示每项由两个导数相乘而得，例如表示，表示，因此注意这里和都是的一元函数，对的导数用记号，表示，是，的二元函数，其对应的导数是偏导数，用记号，表示，函数经过复合之后，最终是的一元函数，故对的导数用记号表示，称为全导数，公式（1）称为全导数公式 公式（1）可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形例如，由，复合而成的复合函数，在与定理1类似的条件下有全导数公式 （2） 例1 设，求解 由全导数公式（1），有 例2 设，求解 函数的结构图

30、为 于是 （2） 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 若，在点处都存在偏导数，在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且有， （3） （4）定理2的函数结构图为 我们可以借助函数结构图，直接写出公式（3）和（4），例如到的链有两条，即为两项之和，表示，表示，因此 公式（3）和（4）可以推广到中间变量或自变量多于两个的情形例如，设，在点处都具有偏导数，而函数在对应点可微，则复合函数在点处具有偏导数，且， 例3 设，求，解 令，则，所以 ，例4 设函数，其中可微，证明证 令，则，其函数的结构图为 于是例5 设函数，其中可微，证明证 综合应用四则运算与复合函数求导法则，得， （3） 复合

31、函数的中间变量既有一元函数和又有多元函数的情形定理3 设函数在点处可导，在点处存在偏导数，而在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且有， （5） （6）定理3的函数结构图为 情形3中有一个特殊情形，复合函数的某些中间变量又是复合函数的自变量 定理4 设具有连续偏导数，而具有偏导数，则复合函数在点处存在偏导数，且有 ， （7） （8）定理4的函数结构图为 为了避免混淆，公式（7），（8）右端的换成了，要注意和是不同的，是把中的及看成不变而对求偏导数，是把复合函数中的看成不变而对求偏导数例6 设，而，求，解 ， 2 多元复合函数的高阶偏导数在第二节已经给出高阶偏导数的定义，这里通过一个具体例

32、子来说明求复合函数高阶偏导数的方法例7 设，其中具有二阶连续偏导数，求， 解 令，则，于是，再求二阶偏导数时注意到及仍是，的函数，而，是，的函数，且函数结构图为 应用多元复合函数的求导法则得这里因为具有二阶连续偏导数，故有，因此可以合并为方便起见，有时用自然数1，2的顺序分别表示函数中的两个中间变量，这样，和分别用，和来表示，则有， 3 全微分形式不变性我们知道，一元函数的微分具有一阶微分形式的不变性，即不论是自变量还是中间变量，对都有多元函数的一阶全微分也具有同样的性质设函数具有连续的偏导数，如果，是自变量，则全微分为如果，是中间变量，且它们具有连续偏导数，则复合函数的全微分为将多元复合函数

33、求导公式（3）和（4）代入上式，则有 （9）注意到，具有连续偏导数，则有 ， （10）将（10）代入（9）式，得由此可见，无论是自变量，的函数还是中间变量，的函数，其全微分的形式是一样的，这个性质称为一阶全微分形式的不变性，类似地可以证明三元及三元以上的函数的全微分也具有这一性质关于全微分的运算性质，应用全微分形式的不变性容易证明，它与一元函数微分法则相同，即；利用全微分形式的不变性，可得求复合函数偏导数的另一途径例8 设，利用全微分形式的不变性，求，解 由全微分形式的不变性，有，又因为，所以从而，二、隐函数微分法 1 一个方程所确定的隐函数的微分法在上册第二章导数与微分中已经提出了隐函数的概

34、念，并且指出在不经过显式化的情况下，直接由方程求出它所确定的隐函数的导数的方法这里，有些问题尚待解决：在什么条件下，方程可以确定一个隐函数；在什么条件下，方程所确定的隐函数是连续且可导的，下面的定理给出了回答定理5（隐函数存在定理1） 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，则方程在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有 （11）定理5的证明略，这里仅对公式（11）作如下推导把函数代入方程中，得恒等式，其左端是的一个复合函数，它的全导数应恒等于右端零的导数，即，由于连续且，所以存在点的某邻域，在该邻域内，于是有例9 说明由方程在点的某邻域内能确定一个单值

35、的隐函数，并求出的一阶导数解 函数在点的某邻域内具有连续的偏导数，且，即满足隐函数存在定理1的条件，所以方程在点的某邻域内能确定一个单值的隐函数，由公式（11）得与定理5一样，我们同样可以由三元函数的性质来判断由方程所确定的二元函数的存在性及求偏导数的公式，这就是下面的定理定理6（隐函数存在定理2） 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数且，则方程在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有， （12）下面仅对公式（12）作如下推导把函数代入方程中，得恒等式，该式两端分别对和求偏导数得，由于连续，且，所以存在点的某邻域，在此邻域内，于是得，类似地，定理6可推广

36、到由元方程确定元隐函数的存在性与求偏导数的公式 （）例10 设是由方程确定的隐函数，求，解法1（公式法） 设，则，则由公式（12）得，解法2（直接法） 在方程两边分别对，求偏导数，将看成是，的函数，得，于是，解法3（全微分法） 利用全微分形式不变性，在方程两边求全微分得，即 ，于是 ， 例11 设，求解 在方程两边分别对求偏导数，并注意是，的函数，得， （13）于是 ， 再对（13）式两边对求偏导数，并注意是，的函数，得于是 将的表达式代入上式得 2 方程组所确定的隐函数的微分法 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广，不仅增加方程中变量的个数，而且增加方程的个数定理7（隐函数存在定理3）

37、设函数在点的某一邻域内对各个变量具有连续的偏导数，又且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比行列式）在点不等于零，则方程组在点的某邻域内能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，且它们满足条件 （14） 此处仅对公式（14）作如下推导将，代入方程组 得应用复合函数求导法则，将恒等式两端分别对求偏导数，得或这是关于，的线性方程组，由定理7的条件可知在点的某邻域内系数行列式，从而可得到唯一的一组解，同理，可求得， 例12 求由方程组确定的函数的偏导数， 解 此题可直接利用公式（14）求解，但也可依照推导公式（14）的方法求解下面我们用后一种方法将所给方程两边对求导，得或当系数行列式时，可解得，习

38、题8-3 1设，而，求全导数 2设，而，求全导数 3设，而，求， 4设，而，求， 5求下列函数的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数：（1）； （2）；（3）； （4） 6求下列函数的二阶偏导数，其中具有二阶连续偏导数：（1）； （2）；（3）； （4） 7设，其中为可导函数，验证： 8设，其中，具有二阶连续导数，验证：9利用全微分形式的不变性求函数的全微分，并求，10设，求11设，求，12设，求，13设，求，14设函数由方程所确定，其中都是可微函数，验证15设函数由方程所确定，其中具有连续偏导数，验证16设，求17设，求，18设，求19求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1） 求，；（

39、2） 求，§4 方向导数与梯度 一、方向导数图8-9 函数在点的偏导数，分别表示函数在点沿着轴方向与轴方向的变化率，它们只描述了函数沿着坐标轴方向的变化情况，现在要考虑函数在点沿任一方向的变化率，即方向导数 定义1 设在点的某邻内有定义从点引射线，的方向角为，（即从，正向到射线的转角分别为，），在射线上取一点（图8-9），则为两点和之间的距离，若极限存在，则称此极限值为函数在点处沿着方向的方向导数，记作，即 由定义可知，当函数在点的偏导数，存在时，则函数在点处沿着轴正向，轴正向的方向导数都存在，且其值依次为，函数在点处沿着轴负向，轴负向的方向导数也都存在，且其值依次为， 沿任一方向的

40、方向导数与偏导数的关系由下述定理给出定理1 设函数在点可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数都存在，且， （15）其中，为的方向余弦证 因为函数在点可微，所以函数在点处的增量可表示为由图8-9可知，在上，所以有于是有极限这就证明了函数函数在点沿方向的方向导数存在，且其值为证毕需注意在公式（15）中，当，时，当，时，可见当可微时，偏导数是方向导数的特例类似地，可以定义三元函数的方向导数，且对可微的三元函数在点处沿任一方向的方向导数也存在，且有，其中，为的方向余弦 例1 求函数在点处沿着从点到点的方向的方向导数解 这里方向即向量的方向，因此的方向余弦为，又因为，于是，所以 例2 设，求在点处沿方向

41、的方向导数解 的方向余弦为，由因为，所以 二、梯度定义2 设函数在点处存在对所有自变量的偏导数，则称向量为函数在点处的梯度，记作，即若在点处可微，为方向上的单位向量，则方向导数公式（15）又可写成 （16）其中是梯度与的夹角由公式（16）可以看出，方向导数就是梯度在方向上的投影，且方向导数还具有下述性质：（1）当与同方向时，方向导数有最大值；（2）当与反方向时，方向导数有最小值； （3）当与垂直时，方向导数为零 因此，函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向是函数在该点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值类似地，可以定义三元函数在点处的梯度为同样当在点处可微，为方向上的单位向

42、量，则有 例3 求函数在点处的梯度及沿方向的方向导数 解 因为，于是，所以又因为的单位向量为，所以习题8-41求函数在点处沿着从点到点的方向的方向导数2求函数在点处沿方向（其方向角分别为，）的方向导数3求函数在点处沿着从点到点的方向导数4求函数在抛物线上点处，沿着这条抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数5求函数在点处沿与轴正方向成角的射线方向的方向导数，并问角取何值时，方向导数取：（1）最大值；（2）最小值；（3）零6求函数在点处的梯度7设，都是，的函数，的各偏导数都存在且连续，证明：（1）；（2）；（3），其中，是可微函数8设，试求：（1）；（2）§5 多元函数微分学在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为，其中，存在且不同时为零在曲线上取对应于的一点图8-10及对应于的邻近一点，则曲线的割线的方程为，用去除上式各分母，得 当点沿着曲线趋于点时，割线的极限位置就是曲线在点处的切线（图8-10）令（这时），对上式取极限，就得到曲线在点处的切