定理对称矩阵特性值为实数教学讲义

1、定理定理1 1对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数. .证明证明, 对对应应的的特特征征向向量量为为复复向向量量的的特特征征值值为为对对称称矩矩阵阵设设复复数数xA . 0, xxAx 即即, 的的表表示示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 .xxAx 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说实对称矩阵实对称矩阵, 的的表表示示xx共轭复向量共轭复向量于是有于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得两式相减，得 . 0 xxT , 0 x但因为但因为 , 0 , 即即.是实数是实数

2、由此可得由此可得 , 0 121 niiniiiTxxxxx所所以以定理定理1 1的意义的意义.,0,0)( , 以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 EAxEAAiii ., 221212121正正交交与与则则若若是是对对应应的的特特征征向向量量的的两两个个特特征征值值是是对对称称矩矩阵阵设设定定理理ppppA 证明证明,21222111 AppApp,AAAT 对对称称 TTTAppp11111 ,11ApApT

3、TT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp. 021 ppT. , 41素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理nAAPPPnA 证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,21. ,)( , , 3个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量恰恰有有对对应应特特征征值值从从而而的的秩秩则则矩矩阵阵重重根根的的特特征征方方程程的的是是阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理rrnEAREArAnA

4、 ).(21nrrrs 根据定理根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定（对称矩阵的特征值为实数）和定理理3( 如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A,21知知由由nrrrs 由定理由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，知对应于不同特征值的特征向量正交，., ), 2 , 1( 单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rrsiiii PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵n

5、Arrss 这样的特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2. ;, 0的的特特征征向向量量求求出出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A解解 20212022EA 214 0 . 2, 1, 4321 得得,020212022)1( A 310130004)2(

6、A例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi, 0 得得由由对对, 04, 41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系 .1221 得得由由对对, 0, 12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 得得由由对对, 02, 23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三

7、步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3, 321321故故它它们们必必两两两两正正交交的的特特征征向向量量个个不不同同特特征征值值的的是是属属于于由由于于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化. 3 , 2 , 1, iiii 令令,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则 310130004)2(A 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值 得得基基础础解解系系由由对对, 02, 21 xEA 1101 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432 xEA .110,00132 ,32恰好正交恰好正交与与 .,321两两正交两两正交所以所以 得得令令单位化单位化再将再将3 , 2 , 1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则 .2det, 2的值的值试求行列式试求行列式的秩为的秩为且且满足满足阶实对称矩阵阶实对称矩阵设设AErAAAAn 使得使得故存在可逆阵故存在可逆阵且秩为且秩为阵阵是实