高三数学第一轮复习-双曲线课件

1、.要点梳理要点梳理1.1.双曲线的概念双曲线的概念 平面内动点平面内动点MM与两个定点与两个定点F F1 1、F F2 2（| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c0 0） 的距离之差的绝对值为常数的距离之差的绝对值为常数2 2a a（2 2a a2 2c c），则点），则点 MM的轨迹叫的轨迹叫 . .这两个定点叫双曲线的这两个定点叫双曲线的 ， 两焦点间的距离叫两焦点间的距离叫 . . 集合集合P P=MM|MFMF1 1|-|-|MFMF2 2|=2|=2a a ，| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c， 其中其中a a、c c为常数且为常数且a a0,0,c c0 0

2、： 双曲线双曲线 基础知识基础知识 自主学习自主学习双曲线双曲线焦距焦距（1 1）当）当 时，时，P P点的轨迹是点的轨迹是 ；（2 2）当）当 时，时，P P点的轨迹是点的轨迹是 ；（3 3）当）当 时，时，P P点不存在点不存在. .a ac ca a= =c ca ac c焦点焦点双曲线双曲线两条射线两条射线.2.2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准标准方程方程图形图形)0, 0(12222babyax)0, 0(12222babxay.性质性质范围范围对称性对称性对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对

3、称中心：原点顶点顶点顶点坐标：顶点坐标：A1（-a,0）,A2(a,0)顶点坐标：顶点坐标：A1（0,-a）,A2(0,a)渐近线渐近线离心率离心率实虚轴实虚轴线段线段A1A2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴，它的长，它的长| |A1A2|=2|=2a；线段；线段B1B2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴，它的长它的长| |B1B2|=2|=2b；a叫做双曲线的叫做双曲线的实半实半轴长轴长，b叫做双曲线的叫做双曲线的虚半轴长虚半轴长. .a、b、c的关系的关系Ryaxax,或ayayx或,Rxabyxbay222(0,0)cab cacb) 1( eacee.3、图解双曲线的几何性质、图解双曲线

4、的几何性质oA1A2B1B2F1F2xyxaby byxa aPFPF2| . 121abcb2.c2=a2+b23.焦点到渐近线的距离是焦点到渐近线的距离是b.基础自测基础自测1.1.双曲线方程：双曲线方程： 那么那么K K的范围是的范围是 （ ） A.A.K K5 B.25 B.2K K 5 5 C.-2 C.-2K K2 D.-22 D.-2K K2 2或或K K5 5 解析解析 由题意知（由题意知（| |K K|-2|-2）（）（5-5-K K）0 0， 解得解得-2-2K K2 2或或K K5.5., 15222kykxD.题型一题型一 双曲线的定义双曲线的定义【例例1 1】已知动圆

5、】已知动圆MM与圆与圆C C1 1：( (x x+4)+4)2 2+ +y y2 2=2=2外切，与外切，与 圆圆C C2 2：（：（x x-4-4）2 2+ +y y2 2=2=2内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心MM的轨的轨 迹方程迹方程. .利用两圆内、外切的充要条件找出利用两圆内、外切的充要条件找出MM 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析.解解 设动圆设动圆MM的半径为的半径为r r，则由已知则由已知| |MCMC1 1|=|=r r+ + ，| |MCMC2 2|=|=r r- - ，|MCMC1

6、 1|-|-|MCMC2 2|=2 .|=2 .又又C C1 1（-4-4，0 0），），C C2 2（4 4，0 0），），|C C1 1C C2 2|=8|=8，2 2 | |C C1 1C C2 2|.|.根据双曲线定义知，点根据双曲线定义知，点MM的轨迹是以的轨迹是以C C1 1(-4(-4，0)0)、C C2 2（4 4，0 0）为焦点的双曲线的右支）为焦点的双曲线的右支. .a a= = ，c c=4=4，b b2 2= =c c2 2- -a a2 2=14=14，点点MM的轨迹方程是的轨迹方程是 =1 =1 （x x ）. .22214222yx222. 探究提高探究提高 求曲

7、线的轨迹方程时求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数从而再用待定系数 法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量,提高提高 解题速度与质量解题速度与质量.在运用双曲线的定义时在运用双曲线的定义时,应特别应特别 注意定义中的条件注意定义中的条件“差的绝对值差的绝对值”,弄清所求轨弄清所求轨 迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一 支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.116922yx)32 , 3(141

8、622yx)2 ,23(题型二题型二 双曲线的标准方程双曲线的标准方程4116922yx181222yx.【练习练习】已知双曲线的渐近线方程为】已知双曲线的渐近线方程为2 2x x3 3y y=0.=0. （1 1）若双曲线经过）若双曲线经过P P（ ,2,2）, ,求双曲线方程；求双曲线方程； （2 2）若双曲线的焦距是）若双曲线的焦距是2 2 ，求双曲线方程；，求双曲线方程； （3 3）若双曲线顶点间的距离是）若双曲线顶点间的距离是6 6，求双曲线方程，求双曲线方程. .用定义法或待定系数法求方程用定义法或待定系数法求方程. 解解 方法一方法一 由双曲线的渐近线方程由双曲线的渐近线方程y

9、y= = x x， 可设双曲线方程为可设双曲线方程为613思维启迪思维启迪32).0(4922yx.（1 1）双曲线过点双曲线过点P P（ ，2 2），），故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为（2 2）若）若 0 0，则，则a a2 2=9 ,=9 ,b b2 2=4 .=4 .c c2 2= =a a2 2+ +b b2 2=13 .=13 .由题设由题设2 2c c=2 , =1,=2 , =1,所求双曲线方程为所求双曲线方程为若若 0 0，则，则a a2 2=-4 ,=-4 ,b b2 2=-9 ,=-9 ,c c2 2= =a a2 2+ +b b2 2=-13 .=-13 .6,31

10、,4496. 1314322xy13. 14922yx.由由2 2c c=2 , =-1,=2 , =-1,所求双曲线方程为所求双曲线方程为所求双曲线方程为所求双曲线方程为（3 3）若）若 0 0，则，则a a2 2=9 ,=9 ,由题设由题设2 2a a=6, =1.=6, =1.所求双曲线方程为所求双曲线方程为若若 0 0，则，则a a2 2=-4 ,=-4 ,由题设由题设2 2a a=6, =- =6, =- ，所求双曲线方程为所求双曲线方程为故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为13. 19422xy. 1941492222xyyx或, 14922yx49. 181491492222xy

11、yx或. 1814922xy.方法二方法二 （1 1）由双曲线渐近线的方程）由双曲线渐近线的方程y y= = x x, ,可设双曲线方程为可设双曲线方程为 （mnmn0 0）. .双曲线过点双曲线过点P P（ ，2 2），），m m0,0,n n0.0.又渐近线斜率又渐近线斜率k= = , ,故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为32122nymx632,343,32146nmmnnm解得. 1314322xy.（2 2）设双曲线方程为）设双曲线方程为c c2 2= =a a2 2+ +b b2 2，13=13=a a2 2+ +b b2 2, ,由渐近线斜率得由渐近线斜率得所求双曲线方程为所求

12、双曲线方程为).0, 0( 1122222222babxaybyax或,3232baab或.9449.1332133222222222bababababaab或解得或故. 1941492222xyyx或.（3 3）由（）由（2 2）所设方程）所设方程故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为.29323,62326232babaabaaab或解得或可得. 181491492222xyyx或.探究提高探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一法之一.（1）与双曲线）与双曲线 有共同渐近线的双曲有共同渐近线的双曲线方程可表示为线方程可表示为（2）若双曲线的渐近线方程

13、是）若双曲线的渐近线方程是y y= x x,则双曲线的方程可表示为则双曲线的方程可表示为（3）与双曲线）与双曲线 共焦点的双曲线方程可共焦点的双曲线方程可表示为表示为12222byax).0(2222ttbyaxab);0(2222ttbyax12222byax);( 1222222akbkbykax.C.3.3.过双曲线过双曲线x x2 2- -y y2 2=8=8的左焦点的左焦点F F1 1有一条弦有一条弦PQPQ在左支在左支 上，若上，若| |PQPQ|=7,|=7,F F2 2是双曲线的右焦点是双曲线的右焦点, ,则则PFPF2 2Q Q 的周长是的周长是 （ ） A.28A.28 B

14、.14-8 C.14+8 D.8 B.14-8 C.14+8 D.8 解析解析 | |PFPF2 2|+|+|PQPQ|+|+|QFQF2 2| | = =（2 2a a+|+|PFPF1 1| |）+|+|PQPQ|+|+（2 2a a+|+|QFQF1 1| |） =4=4a a+2|+2|PQPQ|=8 +14. |=8 +14. 222C2.4.4.（20092009安徽）安徽）下列曲线中离心率为下列曲线中离心率为 的是的是 （ ） A.A.B.B. C. C.D.D. 解析解析 e e= ,= ,e e2 2= .= .即即 故故B B选项正确选项正确. .26B14222yx124

15、22yx110422yx16422yx2623.2322ac.21.2322222ababa.5.5.若若m m0,0,点点 在双曲线在双曲线 上，则上，则点点P P到该双曲线左焦点的距离为到该双曲线左焦点的距离为 . . 解析解析 在双曲线在双曲线 上上, ,且且m m0,0, 代入双曲线方程解得代入双曲线方程解得m m=3,=3,双曲线左焦点双曲线左焦点F F1 1(-3,0),(-3,0), 故故| |PFPF1 1|=|=25,mP15422yx21325,mP15422yx.213025)33(22.知能迁移知能迁移1 1 已知点已知点P P是是 双曲线双曲线 =1=1上除顶点外上除

16、顶点外 的任意一点，的任意一点，F F1 1、F F2 2分别为左、分别为左、 右焦点，右焦点，c c为半焦距，为半焦距，PFPF1 1F F2 2 的内切圆与的内切圆与F F1 1F F2 2切于点切于点MM，则，则 | |F F1 1MM|F F2 2MM|= |= . . 2222byax.解析解析 根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等, ,| |F F1 1MM|-|-|F F2 2MM|=|=|PFPF1 1|-|-|PFPF2 2|=2|=2a a，又又| |F F1 1MM|+|+|F F2 2MM|=2|=2c c，解得，解得| |F F

17、1 1MM|=|=a a+ +c c，| |F F2 2MM|=|=c c- -a a，从而，从而| |F F1 1MM|F F2 2MM|=|=c c2 2- -a a2 2= =b b2 2. .答案答案 b b2 2 .题型二题型二 双曲线的标准方程双曲线的标准方程【例例2 2】已知双曲线的渐近线方程为】已知双曲线的渐近线方程为2 2x x3 3y y=0.=0. （1 1）若双曲线经过）若双曲线经过P P（ ,2,2）, ,求双曲线方程；求双曲线方程； （2 2）若双曲线的焦距是）若双曲线的焦距是2 2 ，求双曲线方程；，求双曲线方程； （3 3）若双曲线顶点间的距离是）若双曲线顶点间

18、的距离是6 6，求双曲线方程，求双曲线方程. .用定义法或待定系数法求方程用定义法或待定系数法求方程. 解解 方法一方法一 由双曲线的渐近线方程由双曲线的渐近线方程y y= = x x， 可设双曲线方程为可设双曲线方程为613思维启迪思维启迪32).0(4922yx.（4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为（5）与椭圆）与椭圆 有共同焦点的有共同焦点的双曲线方程表示为双曲线方程表示为利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度解题过程，提高解题速度.);0( 122mnnymx)0( 1222

19、2babyax).( 1222222abbyax.知能迁移知能迁移2 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程. .（1 1）与双曲线）与双曲线 有共同的渐近线，且过点有共同的渐近线，且过点（-3-3，2 2 ）；）；（2 2）与双曲线）与双曲线 有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点（3 3 ，2 2）. .116922yx3141622yx2.解解 （1 1）设所求双曲线方程为）设所求双曲线方程为将点（将点（-3,2 -3,2 ）代入得）代入得所以双曲线方程为所以双曲线方程为(2)(2)设双曲线方程为设双曲线方程为由题意易求由题意易求c c=2 .=2 .又双曲线

20、过点（又双曲线过点（3 3 ，2 2）,又又a a2 2+ +b b2 2= =（2 2 ）2 2，a a2 2=12=12，b b2 2=8.=8.故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为),0(16922yx3,41,4116922yx. 149422yx即. 12222byax52. 14)23(222ba5. 181222yx.题型三题型三 双曲线的性质双曲线的性质【例例3 3】中心在原点，焦点在】中心在原点，焦点在x x轴上的一椭圆与一轴上的一椭圆与一 双曲线有共同的焦点双曲线有共同的焦点F F1 1，F F2 2，且，且| |F F1 1F F2 2|=2 |=2 ， 椭圆的长半轴

21、与双曲线实半轴之差为椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4 4，离心率，离心率 之比为之比为37.37. （1 1）求这两曲线方程；）求这两曲线方程； （2 2）若）若P P为这两曲线的一个交点为这两曲线的一个交点, ,求求coscosF F1 1PFPF2 2 的值的值. .13.思维启迪思维启迪设椭圆方程为设椭圆方程为双曲线方程为双曲线方程为),0( 12222babyax)0, 0( 12222nmnymx分别求分别求a a，b b，m m，n n的值的值利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得cosF F1PFPF2.解解 （1 1）由已知：）由已知：c c=

22、,= ,设椭圆长、短半轴长分设椭圆长、短半轴长分别为别为a a、b b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m m、n n，解得解得a a=7,=7,m m=3.=3.b b=6=6，n n=2.=2.椭圆方程为椭圆方程为 双曲线方程为双曲线方程为13,1331374mama则, 1364922yx. 14922yx.（2 2）不妨设）不妨设F F1 1、F F2 2分别为左、右焦点，分别为左、右焦点，P P是第一象是第一象限的一个交点，则限的一个交点，则| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=14|=14，| |PFPF1 1|-|-|PFPF2 2|=6,|=

23、6,所以所以| |PFPF1 1|=10|=10，| |PFPF2 2|=4.|=4.又又| |F F1 1F F2 2|=2 |=2 ，coscosF F1 1PFPF2 2= =132122222121PFPFFFPFPF.544102)132(410222.探究提高探究提高 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容内容;双曲线的离心率涉及的也比较多双曲线的离心率涉及的也比较多.由于由于e e=是一个比值，故只需根据条件得到关于是一个比值，故只需根据条件得到关于a a、b b、c

24、 c的的一个关系式，利用一个关系式，利用b b2=c c2-a a2消去消去b b，然后变形求，然后变形求e e，并且需注意并且需注意e e1.ac.知能迁移知能迁移3 3 已知双曲线的方程是已知双曲线的方程是1616x x2 2-9-9y y2 2=144.=144. （1 1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线 方程；方程； （2 2）设）设F F1 1和和F F2 2是双曲线的左、右焦点是双曲线的左、右焦点, ,点点P P在双在双 曲线上曲线上, ,且且| |PFPF1 1|PFPF2 2|=32,|=32,求求F F1 1PFPF2 2的大小的大

25、小. . 解解 （1 1）由）由1616x x2 2-9-9y y2 2=144,=144,得得 a a=3,=3,b b=4,=4,c c=5.=5.焦点坐标焦点坐标F F1 1(-5(-5，0),0),F F2 2(5(5，0),0), 离心率离心率e e= ,= ,渐近线方程为渐近线方程为y y= = x x. ., 116922yx3534.（2 2）|PFPF1 1|-|-|PFPF2 2|=6|=6，coscosF F1 1PFPF2 2= =F F1 1PFPF2 2=90=90. .2122222121PFPFFFPFPF. 064100643622)(2122121221PF

26、PFFFPFPFPFPF.题型四题型四 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系【例例4 4】(12(12分分) )已知双曲线已知双曲线C C: : 的右焦点为的右焦点为B B，过点，过点B B作直线交双曲线作直线交双曲线C C的右支的右支 于于MM、N N两点，试确定两点，试确定 的范围的范围, ,使使 =0, =0, 其中点其中点O O为坐标原点为坐标原点. .直线方程与双曲线方程联立，寻找直线方程与双曲线方程联立，寻找 交点坐标的关系交点坐标的关系. ) 10( 1122yxOMON思维启迪思维启迪.解解 设设MM（x x1 1，y y1 1），），N N（x x2 2，y y2 2

27、），由已知易求），由已知易求B B（1 1，0 0），），当当MNMN垂直于垂直于x x轴时，轴时，MNMN的方程为的方程为x x=1=1，设设MM（1 1，y y0 0），），N N（1 1，- -y y0 0） （y y0 00 0），），由由 =0 =0，得，得y y0 0=1=1，MM（1 1，1 1），），N N（1 1，-1-1）. .又又MM（1 1，1 1），），N N（1 1，-1-1）在双曲线上，）在双曲线上，因为因为0 0 1,1,所以所以 4 4分分OMON,251, 01, 11112.215 .当当MNMN不垂直于不垂直于x x轴时轴时, ,设设MNMN的方程为的方

28、程为y y= =k k( (x x-1).-1).得得 -(1- )-(1- )k k2 2x x2 2+2(1- )+2(1- )k k2 2x x-(1- )-(1- )( (k k2 2+ )=0,+ )=0, 8 8分分由题意知：由题意知： -(1- )-(1- )k k2 20,0,所以所以x x1 1+ +x x2 2= =x x1 1x x2 2= =于是于是y y1 1y y2 2= =k k2 2( (x x1 1-1)(-1)(x x2 2-1)=-1)= 10 10分分,) 1(1122xkyyx由,)1 ()1 (222kk,)1 ()(1 (22kk,)1 (222k

29、k.因为因为 =0, =0,且且MM、N N在双曲线右支上，在双曲线右支上，由由，知，知 1212分分OMON.322150111)1 (11)1 (0002222221212121kkxxxxyyxx所以.32215.探究提高探究提高 （1）直线与双曲线的位置关系与直线与）直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零.(2)当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上时，在消元时要注意消去范围为时，在消元

30、时要注意消去范围为R的变量，为解决的变量，为解决根据一元二次方程两根的正负条件的问题打下基础根据一元二次方程两根的正负条件的问题打下基础.知能迁移知能迁移4 4 双曲线双曲线C C与椭圆与椭圆 有相同的有相同的 焦点，直线焦点，直线y y= = x x为为C C的一条渐近线的一条渐近线. . （1 1）求双曲线）求双曲线C C的方程；的方程； （2 2）过点）过点P P（0 0，4 4）的直线）的直线l l，交双曲线，交双曲线C C于于A A、 B B两两 点，交点，交x x轴于轴于Q Q点点( (Q Q点与点与C C的顶点不重合的顶点不重合).). 当当 时，求时，求Q Q 点的坐标点的坐标

31、. .14822yx338,2121且QBQAPQ.解解 （1 1）设双曲线方程为）设双曲线方程为由椭圆由椭圆 求得两焦点为求得两焦点为(-2(-2，0),(2,0),0),(2,0),对于双曲线对于双曲线C C：c c=2.=2.又又 为双曲线为双曲线C C的一条渐近线，的一条渐近线， ，解得，解得a a2 2=1=1，b b2 2=3=3，双曲线双曲线C C的方程为的方程为x x2 2- -. 12222byax, 14822yxxy33ab. 132y.（2 2）方法一方法一 由题意知，如图所示，直线由题意知，如图所示，直线l l的斜率的斜率 k k存在且不等于零存在且不等于零. .设设

32、l l的方程为：的方程为：y y= =kx kx+4+4，A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2）. .则则Q Q.0 ,4k. = = 1 1 ，A A（x x1 1，y y1 1）在双曲线）在双曲线C C上，上，PQQA.,44,4111ykxk.44444411111111ykkxykxk. 0316163216. 013161162122211212112 kkk.（16-16-k k2 2） +32 +16- =0.+32 +16- =0.同理有（同理有（16-16-k k2 2） +32 +32 2 2+16- =0.+16- =0.若若16-

33、16-k k2 2=0=0，则直线，则直线l l过顶点，不合题意过顶点，不合题意. .16-16-k k2 20.0. 1 1、 2 2是二次方程（是二次方程（16-16-k k2 2）x x2 2+32+32x x+16-+16-=0=0的两根的两根. . 1 1+ + 2 2= =k k2 2=4=4，此时，此时0 0，k k= =2.2.所求所求Q Q的坐标为（的坐标为（2,0).2,0).2112316k222316k2316k.3816322k.方法二方法二 由题意知直线由题意知直线l l的斜率的斜率k k存在且不等于零存在且不等于零. .设设l l的方程：的方程：y y= =kx

34、kx+4,+4,A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),),则则Q Q = = 1 1 ，.0 ,4kPQQA.,44,4111ykxk.4444111kxkxk.4422kx同理.即即2 2k k2 2x x1 1x x2 2+5+5k k( (x x1 1+ +x x2 2)+8=0.)+8=0. ( (* *) )又又消去消去y y得得(3-(3-k k2 2) )x x2 2-8-8kx kx-19=0.-19=0.当当3-3-k k2 2=0=0时，则直线时，则直线l l与双曲线的渐近线平行，不与双曲线的渐近线平行，不合题意，合

35、题意，3-3-k k2 20.0.3844442121kxkx.13422yxkxy.由根与系数的关系有由根与系数的关系有代入（代入（* *）式得）式得k k2 2=4=4，k k= =2 2，所求所求Q Q点的坐标为（点的坐标为（2,02,0）. .,319,38221221kxxkkxx.方法与技巧方法与技巧1.1.两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心. .2.2.焦点到渐近线的距离等于虚半轴长焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b b. .3.3.共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线； 放大的双曲线放大的

36、双曲线; ;共轭放大或放大后共轭的双曲线共轭放大或放大后共轭的双曲线. . 所以与双曲线所以与双曲线 共用渐近线的双曲线共用渐近线的双曲线 的方程可设为的方程可设为 ( (t t0).0).12222byaxtbyax2222思想方法思想方法 感悟提高感悟提高.4.4.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程 时，只要令双曲线的标准方程中的时，只要令双曲线的标准方程中的“1”1”为为“0”0” 就得到两渐近线方程，即方程就得到两渐近线方程，即方程 就是就是 双曲线双曲线 的两条渐近线方程的两条渐近线方程. .02222byax12222byax.失误与防

37、范失误与防范1.1.区分双曲线中的区分双曲线中的a a, ,b b, ,c c大小关系与椭圆大小关系与椭圆a a, ,b b, ,c c关关 系系, ,在椭圆中在椭圆中a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2，而在双曲线中，而在双曲线中c c2 2= =a a2 2+ +b b2 2. .2.2.双曲线的离心率大于双曲线的离心率大于1,1,而椭圆的离心率而椭圆的离心率e e(0,1).(0,1).3.3.双曲线双曲线 ( (a a0,0,b b0)0)的渐近线方程的渐近线方程 是是y y= = , ( , (a a0,0,b b0)0)的渐近线的渐近线 方程是方程是y y= =1222

38、2byaxxab12222bxay. xba.4.4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意 说明斜率不存在的情况说明斜率不存在的情况. .5.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如： 当直线与双曲线的渐近线平行时当直线与双曲线的渐近线平行时, ,直线与双曲线直线与双曲线 相交于一点，但不是相切；反之相交于一点，但不是相切；反之, ,当直线与双曲当直线与双曲 线相切时，直线与双曲线仅有一个交点线相切时，直线与双曲线仅有一个交点. .一、选择题一、选择题1.1.双曲线双曲线 的焦点坐标为的焦点坐标为 （ ）

39、 A.A.（-1,0-1,0）, ,（1,01,0） B.B.（-3,0-3,0）, ,（3,03,0） C.C.（0,-10,-1）, ,（0,10,1） D.D.（0,-30,-3）, ,（0,30,3） 解析解析 a a2 2=4=4，b b2 2=5=5，c c2 2= =a a2 2+ +b b2 2=9.=9. 又焦点在又焦点在y y轴上，轴上，焦点坐标为（焦点坐标为（0 0，-3-3）和）和 （0 0，3 3）. .定时检测定时检测15422xyD.2.2.若双曲线若双曲线 =1=1的一条渐近线方程为的一条渐近线方程为 + +y y=0=0，则此双曲线的离心率为，则此双曲线的离心

40、率为 （ ） A.A.B.B.C. C. D.D. 解析解析 渐近线方程为渐近线方程为 + +y y=0,=0, 又又a a2 2+ +b b2 2= =c c2 2, ,从而从而 即即e e= =2222byax3x101033102210B3x.31ab,310ac.310.D.4.4.（20092009全国全国）设双曲线设双曲线 ( (a a0,0,b b0)0)的渐近线与抛物线的渐近线与抛物线y y= =x x2 2+1+1相切，则相切，则 该双曲线的离心率等于该双曲线的离心率等于 （ ） A. A. B.2B.2C. C. D. D. 解析解析 双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方

41、程为 因为因为y y= =x x2 2+1+1与渐近线相切，故与渐近线相切，故x x2 2+1+1 x x=0=0只有只有 一个实根，一个实根， -4=0, -4=0, e e= .= .12222byax635C12222byax, xabyab22ab, 5, 422222acaac5.5.5.（20092009四川）四川）已知双曲线已知双曲线 ( (b b0)0) 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1、F F2 2，其一条渐近线方程，其一条渐近线方程 为为y y= =x x，点，点P P( ,( ,y y0 0) )在该双曲线上在该双曲线上, ,则则 （ ） A.-12 B.

42、-2 C.0 D.4A.-12 B.-2 C.0 D.4 解析解析 渐近线方程为渐近线方程为y y= =x x,b b2 2=2.=2. 又又P P（ ，y y0 0）在双曲线上，）在双曲线上，y y =1.=1. 又又F F1 1（-2-2，0 0），），F F2 2（2 2，0 0），）， （-2- -2- ，- -y y0 0）（2- ,-2- ,-y y0 0） =3-4+=3-4+y y =0. =0.12222byx21PFPF3C32021PFPF3320.6.6.已知点已知点F F是双曲线是双曲线 =1=1（a a0,0,b b0 0）的左）的左 焦点，点焦点，点E E是该双曲

43、线的右顶点，过点是该双曲线的右顶点，过点F F且垂直于且垂直于 x x轴的直线与双曲线交于轴的直线与双曲线交于A A、B B两点，若两点，若ABEABE是直是直 角三角形，则该双曲线的离心率是角三角形，则该双曲线的离心率是 （ ） A. B.2 C.1+ D.2+ A. B.2 C.1+ D.2+ 解析解析 将将x x=-=-c c代入双曲线方程得代入双曲线方程得y y= = . . 由由ABEABE是直角三角形得是直角三角形得 = =a a+ +c c， 即即a a2 2+ +ac ac= =b b2 2= =c c2 2- -a a2 2, ,整理得整理得c c2 2- -ac ac-2-

44、2a a2 2=0.=0. e e2 2- -e e-2=0-2=0，解得，解得e e=2(=2(e e=-1=-1舍去舍去).).2222byax222Bab2ab2.二、填空题二、填空题7.7.（20092009湖南）湖南）过双曲线过双曲线C C： ( (a a0,0, b b0)0)的一个焦点作圆的一个焦点作圆x x2 2+ +y y2 2= =a a2 2的两条切线的两条切线, ,切点切点 分别为分别为A A、B B. .若若AOBAOB=120=120( (O O是坐标原点是坐标原点) )，则，则 双曲线双曲线C C的离心率为的离心率为 . . 解析解析 如图，由题知如图，由题知OA

45、OAAFAF， OBOBBFBF且且AOBAOB=120=120, , AOFAOF=60=60, , 又又OAOA= =a a, ,OFOF= =c c, , =cos 60 =cos 60= ,= , =2. =2.12222byaxOFOAca21ac2 2.8.8.P P为双曲线为双曲线x x2 2- =1- =1右右支上一点支上一点, ,MM、N N分别是圆分别是圆 ( (x x+4)+4)2 2+ +y y2 2=4=4和和( (x x-4)-4)2 2+ +y y2 2=1=1上的点，则上的点，则| |PMPM|-|-|PNPN| | 的最大值为的最大值为 . . 解析解析 已知

46、两圆圆心（已知两圆圆心（-4-4，0 0）和（）和（4 4，0 0）（记为）（记为 F F1 1和和F F2 2）恰为双曲线）恰为双曲线x x2 2- =1- =1的两焦点的两焦点. . 当当| |PMPM| |最大，最大，| |PNPN| |最小时，最小时，| |PMPM|-|-|PNPN| |最大，最大， | |PMPM| |最大值为最大值为P P到圆心到圆心F F1 1的距离的距离| |PFPF1 1| |与圆与圆F F1 1半半 径之和，同样径之和，同样| |PNPN| |最小最小=|=|PFPF2 2|-1|-1，从而，从而| |PMPM|-|-| |PNPN|=|=|PFPF1 1

47、|+2-|+2-（| |PFPF2 2|-1|-1）=|=|PFPF1 1|-|-| |PFPF2 2|+3=2|+3=2a a+3=5.+3=5.152y5 5152y.9.9.（20092009辽宁）辽宁）已知已知F F是双曲线是双曲线 =1=1的左的左 焦点，焦点，A A（1 1，4 4），），P P是双曲线右支上的动点，则是双曲线右支上的动点，则 | |PFPF|+|+|PAPA| |的最小值为的最小值为 . . 解析解析 设右焦点为设右焦点为F F,由题可知由题可知F F坐标为坐标为 （4,04,0）, ,根据双曲线的定义，根据双曲线的定义，| |PFPF|-|-|PFPF|=4,|

48、=4, | |PFPF|+|+|PAPA|=4+|=4+|PFPF|+|+|PAPA| |， 要使要使| |PFPF|+|+|PAPA| |最小，只需最小，只需| |PFPF|+|+|PAPA| |最小最小 即可，即可， | |PFPF|+|+|PAPA| |最小需最小需P P、F F、A A三点共线，最小三点共线，最小 值即值即4+|4+|F FA A|=4+ =4+5=9.|=4+ =4+5=9.12422yx9 9169.三、解答题三、解答题 10.10.已知已知AOBAOB的顶点的顶点A A在射线在射线l l1 1: :y y= = x x（x x0 0）上上, ,A A, ,B B两

49、点关于两点关于x x轴对称，轴对称，O O为坐标原点，且线段为坐标原点，且线段ABAB上有一点上有一点MM满足满足| |AMAM|MBMB|=3.|=3.当点当点A A在在l l1 1上移动上移动时，记点时，记点MM的轨迹为的轨迹为W W. .求轨迹求轨迹W W的方程的方程. . 解解 因为因为A A，B B两点关于两点关于x x轴对称，所以轴对称，所以ABAB边所边所 在的直线与在的直线与y y轴平行轴平行. . 设设MM( (x x, ,y y),),由题意由题意, ,得得A A( (x x, , x x),),B B( (x x，- - x x),), 333.所以所以| |AMAM|=

50、 |= x x- -y y，| |MBMB|=|=y y+ + x x. .因为因为| |AMAM|MBMB|=3|=3，所以（所以（ x x- -y y）（y y+ + x x）=3=3，即，即x x2 2- =1.- =1.所以点所以点MM的轨迹的轨迹W W的方程为的方程为x x2 2- =1- =1（x x0 0）. .333332y32y.11.11.已知离心率为已知离心率为 的椭圆的中心在原点，焦点在的椭圆的中心在原点，焦点在x x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为且焦距为2 .2 .（1 1）求椭圆及双曲线的方程；）求椭圆及双曲线的方程；（2 2）设椭圆的左、右顶点分别为）设椭圆的左、右顶点分别为A A、B B, ,在第二象在第二象 限内取双曲线上一点限内取双曲线上一点P P, ,连结连结BPBP交椭圆于点交椭圆于点MM, ,连连 结结PAPA并延长交椭圆于点并延长交椭圆于点N N，若，若 , ,求点求点MM、 点点P P的坐标的坐标. .5