《高等数学》第一章函数与极限第一节 函数

1、高等数学学科基础课之 2 目录页 CONTENTS PAGE 第1章 函数与极限第2章 导数与微分第3章 中值定理与导数应用第4章 不定积分Contents Page目录页 过渡页 TRANSITION PAGE 3 函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大第1章 函数与极限 极限运算法则 两个重要极限 函数的连续性Contents Page目录页 过渡页 TRANSITION PAGE 4 1函数集合与邻域函数的概念函数的简单性质初等函数5 1.1 函数第1章函数与极限1. 集合概念 集合是现代数学的一个基本概念之一，无法用数学语言精确定义，只能用描述的方法来说明。 所谓集合，是把一些确

2、定的、彼此不同的研究对象视为一个整体。 组成集合的每个个体，称为这个集合的元素。 一、集合6 1.1 函数第1章函数与极限常用数集N 自然数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集数集间的关系,NZZQ QR 集合的表示方法主要有列举法和描述法,21naaaA Mx x 所具有的特征列举法描述法7 1.1 函数第1章函数与极限2. 区间x axb 开区间( , )a b记作x axb 闭区间 , a b记作oxaboxabx axb x axb 左闭右开区间左开右闭区间 , )a b记作( , a b记作8 1.1 函数第1章函数与极限 ,)ax xa (, )bx xb oxaoxb无穷区间(,)

3、x xR ox9 1.1 函数第1章函数与极限,0,a 设 与 是两个实数且,a邻点为这域的中心称 邻称为这域的半径 ( , )U ax axa xaa a a 去心点的的邻域 ( , )0U axxa xxa 数集称为记作3. 区间和邻域,a 点 的 邻域定义10 1.1 函数第1章函数与极限一、函数的概念 数集 D 称为定义域定义11 1.1 函数第1章函数与极限1. 函数的两要素 定义域例1 判断下列各对函数是否相同？ 相同不同(定义域不同)不同(对应法则不同)相同不同(定义域不同)注意对应法则12 1.1 函数第1章函数与极限(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值.2. 定义域的确

4、定(1)根据实际问题分式的分母不等于零偶次根号内的式子应大于或等于零对数的真数应大于零arsinarccos11xxx 或者 13 1.1 函数第1章函数与极限例2 求下列函数的(自然)定义域。 2(1)2xyx 1(2)ln(32)yx 211(3)arcsin525xyx 解2(1)0 ,2xx 22,x 即 故定义域为 2, 2) 320(2),ln(32)0 xx 2/ 3,1xx 即 2( ,1)(1,)3D 14 1.1 函数第1章函数与极限2115(3),25xx 46,55xx 即 x4 65 5,54 x因此，函数的定义域为.54）， D211(3)arcsin525xyx

5、15 1.1 函数第1章函数与极限例例如如，222ayx 22xay 表格法图形法解析法(公式法) 若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数3. 单值函数与多值函数4. 函数的表示方法16 1.1 函数第1章函数与极限( , )( ),( ).Cx yyf xxDyf x 点集称为函数的图形oxy),(yxxfRD y17 1.1 函数第1章函数与极限1. 单调性(),f xDID 设函数的定义域为区间1212,Ixxxx 如果对于区间上任意两点及当时( )f xI则称函数在区间 上是单调增加的12()(),f xf x 恒有二、函数的

6、简单性质( )yf x 1()f x2()f xxyoI1x2x定义18 1.1 函数第1章函数与极限( )f xI则称函数在区间上是单调减少的( ),f xDID 设函数的定义域为区间1212,Ixxxx 如果对于区间上任意两点及当 时12()(),f xf x 恒有( )yf x 1()f x2()f xxyoI1x2x定义19 1.1 函数第1章函数与极限例如 函数 y = = x3 在 (- - , + ) 内单调增加。x yoy = x3- -1- -1函数y = = 2x2+1 在区间(- - , 0内单调减少,在区间0, + )内单调增加。- -2o22468 yxy =2x2+

7、120 1.1 函数第1章函数与极限,0,( ),IDMxIf xM 若总有成立2. 有界性( ).f xI则称函数在 上有界否则称无界 Ox yba y = f (x)M-M定义21 1.1 函数第1章函数与极限,( ),IDMxIf xM 若数总有成立( ),( ).f xIMf x则称 在 上有上界为的一个上界定义,( ),IDmxIf xm 若数总有成立( ),( ).f xImf x则称 在 上有下界为的一个下界( ),( ).f xIf xI如果 在上既有上界又有下界则称函数 在上有界22 1.1 函数第1章函数与极限例如 因为存在 M=1，使对任意 x (- - ,+ )，有|s

8、in x| 1，故 y= =sinx是(- - ,+ )内的有界函数 O123123456789yx23 1.1 函数第1章函数与极限3. 奇偶性,DxD 设 关于原点对称对于有()( )fxf x ( )f xD称为 上的偶函数偶函数的图形关于y轴对称yx),(yxP )(xfy ox-x),(yxP定义24 1.1 函数第1章函数与极限,DxD 设关于原点对称对于有()( )fxf x ( )f xD称为 上的奇函数奇函数的图形关于原点对称),(yxP yxox-x)(xfy ),(yxP定义25 1.1 函数第1章函数与极限例3 判断下列函数的奇偶性xx 23 xx 22 1212 xx

9、 ）（xx 21ln 偶函数非奇非偶xx 22 1212)( xxxf 01ln ， 偶函数奇函数)(2121xfxx 奇函数奇函数26 1.1 函数第1章函数与极限4. 周期性(),fxD设函数的定义域为, l如果存在一个正数 ()( )f xlf x ( ),( ).f xlf x则称 为周期函数 称为 的周期 , (),xDxlD 使得且 2l 2l23 l 23 l通常周期函数的周期是指其最小正周期定义,恒成立 27 1.1 函数第1章函数与极限 幂函数的定义域随 a 而异，但不论 a 为何值, 它在(0, + )内总有定义常见的幂函数及其图形 -2-1O12x-2-112 y y=x

10、2y=x3y=x12y=x13()ayxa 是常数xy1 1. 幂函数三、基本初等函数幂函数图形都经过 (1, 1)点28 1.1 函数第1章函数与极限(0,1)xyaaa xya )1( a)1 ,0( xay 定义域为(- , + )值域为(0, + )，都通过(0, 1)点当 a 1 时，函数单调增加当 0a1 时, 函数单调增加 当 0a0) 的定义域各是什么？所以 f(x+a) 的定义域为 - -a, 1- -a(2) 令 0 x+a 1，得 - -a x 1- -a， 所以 f(x2) 的定义域为 -1, 1(1) 令 0 x2 1，得 - -1 x 1，解43 1.1 函数第1章

11、函数与极限2)( ,sin)(xxgxxf ， 注意复合次序 把复杂的函数分解为几个简单函数的复合或四则运算（1 1）xy2sin1e ： uye ， （2 2）321 xxy ： ,3uy , wxu , tw 44 1.1 函数第1章函数与极限12 xy12 xy在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.1. 分段函数21,0( )21,0 xxf xxx 例如五、初等函数定义45 1.1 函数第1章函数与极限 221, 1( )1, 12xxf xxx 再如其定义域为2 , 1()1 , 1()1,2 D yOx11-12-2-1也是分段函数46 1.1

12、函数第1章函数与极限解例521, 01( )4, 12xxf xxx 设2(2)1, 021(2)4(2), 122xxf xxx (2)f x 求25, 212, 10 xxxx 47 1.1 函数第1章函数与极限(1) 符号函数1,0sgn0,01,0 xyxxx 1-1xyo几个分段函数的例子(2) 绝对值函数,0,0 xxyxxx xyo48 1.1 函数第1章函数与极限(3) 取整函数x 表示不超过 x 的最大整数 yx 573 1 0 1 1 3.5 4 取整函数性质1 1, 1 11 , 1xxxxxxxxxx49 1.1 函数第1章函数与极限1( )0 xyD xx 当 是有理数时当 是无理数时(4) 狄利克雷函数o有理数