不定积分的概念和性质

1、 医用高等数学第二节第二节 换元积分法换元积分法 *第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分 第一节第一节 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质第三节第三节 分部积分法分部积分法 第四章第四章 不定积分不定积分 医用高等数学第一节第一节 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质一、不定积分的概念一、不定积分的概念三、不定积分的性质三、不定积分的性质二、基本积分表二、基本积分表 医用高等数学一、不定积分的概念一、不定积分的概念(sin )cosxx 例例 32()3xx 医用高等数学原函数存在定理：原函数存在定理： 区间内的连续函数一定存在原函数区间内的连续函数一定存在原函数32(2),3

2、xx 医用高等数学证明证明 ( )( )xF x 则则( )( )xFx ( )( )0f xf x. .( )( )xf x , , 医用高等数学任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数( )d( )f xxF xC 被积表达式被积表达式积分变量积分变量 医用高等数学32d3xxxC cosdsinxxxC 由定义由定义2，我们有，我们有 医用高等数学根据不定积分的定义，可以得到如下关系式：根据不定积分的定义，可以得到如下关系式： 医用高等数学解解 1d2xxCx 医用高等数学解解 1(ln|)xx ln()x 1()xx 即即 医用高等数学解解 医用高等数学图图4-1 医用高等数学 医

3、用高等数学实例实例 xx 111d(1).1xxxC 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表二、基本积分表 医用高等数学 医用高等数学 医用高等数学三、不定积分的性质三、不定积分的性质证明证明 ( )( )d( )( )f xg xxf xg x 医用高等数学( )d( )df xxg xx ( )( )f xg x( )d( )df xxg xx 医用高等数学证明证明 医用高等数学解解 322331dxxxxx

4、231(3)dxxxx 211d3 1 d3ddxxxxxxx2133ln|2xxxCx32(1)dxxx 医用高等数学解解 3(46e2cos )dxxxx 46e2sinxxxC 34d6 e d2 cosdxxxxxx 医用高等数学解解 2221dd(1)(1)xxxxxxxx 211dd1xxxx arctanln|xxC 221d(1)xxxxx 医用高等数学解解 42d1xxx 222(1)(1)1d1xxxx 221(1)d1xxx 221ddd1xxxxx 31arctan3xxxC4211d1xxx 医用高等数学解解 2sind2xx 11dcosd22xxx1(sin )2xxC1cosd2xx 医用高等数学解解 2tandxx 2secddxxxtan xxC2(sec1)dxx 医用高等数学解解 221dsincosxxx 2211()dcossinxxx tancotxxC2211ddcossinxxxx2222sincosdsincosxxxxx 说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表才能使用基本积分表. 医用高等数学 基本积分表（基本积分表（1） 不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：