第二节命题与其关系充分条件和必要条件

1、2四种命题及其关系四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：四种命题间的相互关系：1命题的概念命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题的陈述句叫做命题判断真假判断真假(2)四种命题的真假关系四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 3充分条件与必要条件充分条件与必要条件(1)如果如果pq，则，则p是是q的的 条件，条件，q是是p的的 条件；若条件；若pq，则，则p是是q的的 条件条件(2)若若 ，则，则

2、p是是q的的 条件条件相同相同充分充分必要必要充要充要既不充分又不必要既不充分又不必要没有关系没有关系1“命题的否定命题的否定”就是就是“否命题否命题”这种判断是否正确？为什么？这种判断是否正确？为什么？【提示提示】不正确，不正确，概念不同，命题的否定是直接对命题的结概念不同，命题的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定构成不同，构成不同，对于对于“若若p，则，则q”形式的命题命题的否定为形式的命题命题的否定为“若若p，则綈，则綈q”；其；其否命题是否命题是“若綈若綈p，则綈，则綈q”，真值不同，命题的否定与原命题真真值不同

3、，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关假相反；而否命题与原命题真假无关2命题命题“若若p，则，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则的逆命题为真，逆否命题为假，则p是是q的什的什么条件？么条件？【提示提示】由逆命题为真，知由逆命题为真，知qp；逆否命题为假，知；逆否命题为假，知pD/q；故故p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件 【答案答案】A2(2011山东高考山东高考)已知已知a，b，cR，命题，命题“若若abc3，则，则a2b2c23”，的否命题是，的否命题是()A若若abc3，则，则a2b2c23B若若abc3，则，则a2b2c23C若若abc3，则，则a2b2c23D

4、若若a2b2c23，则，则abc3【解析解析】命题命题“若若p，则，则q”的否命题是的否命题是“若若 p，则，则 q”，将，将条件与结论进行否定条件与结论进行否定否命题是：若否命题是：若abc3，则，则a2b2c23.【答案答案】A3(2011福建高考福建高考)若若aR，则，则“a1”是是“|a|1”的的()A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件【解析解析】a1|a|1；但；但|a|1a1；|a|1 a1.“a1”是是|a|1的充分不必要条件的充分不必要条件【答案答案】A【答案答案】充分不必要充分不必

5、要 有下列四个命题，其中真命题有有下列四个命题，其中真命题有()“若若xy0，则，则x，y互为相反数互为相反数”的逆命题；的逆命题；“全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”的否命题；的否命题；“若若q1，则，则x22xq0有实根有实根”的逆命题；的逆命题；“不等边三角形的三个内角相等不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；的逆否命题；ABCD【思路点拨】 【尝试解答尝试解答】的逆命题的逆命题“x、y互为相反数，则互为相反数，则xy0”是真命是真命题题的否命题的否命题“不全等的两个三角形的面积不相等不全等的两个三角形的面积不相等”是假命题是假命题的逆命题的逆命题“若若x22xq0有实根，则有

6、实根，则q1”是真命题是真命题的原命题是假命题，知的原命题是假命题，知的逆否命题是假命题的逆否命题是假命题因此正确的命题为因此正确的命题为，错误命题为，错误命题为.【答案答案】C (2012惠州模拟惠州模拟)关于命题关于命题“若抛物线若抛物线yax2bxc的开的开口向下，则口向下，则x|ax2bxc0 ”的逆命题、否命题、逆否命题，下的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是列结论成立的是()A都真都真 B都假都假C否命题真否命题真 D逆否命题真逆否命题真【解析解析】命题：命题：“若抛物线若抛物线yax2bxc的开口向下，则的开口向下，则x|ax2bxc0 ”，这是一个真命题，所以其逆否命题

7、也为真命题但，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题但其逆命题：其逆命题：“若若x|ax2bxc0 ，则抛物线，则抛物线yax2bxc的开口的开口向下向下”是一个假命题，因为当不等式是一个假命题，因为当不等式ax2bxc0的解集非空时，可的解集非空时，可以有以有a0，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题，即抛物线的开口可以向上因此否命题也是假命题【答案答案】D【思路点拨思路点拨】(1)准确理解准确理解x的含义是解题的关键的含义是解题的关键(2)是新是新定义型问题，准确理解信息定义型问题，准确理解信息“a与与b互补互补”的含义的含义【答案】(1)B(2)C本例中若将第本例中若将第(1)题

8、的条件改为题的条件改为“等比数列等比数列an中中”，试判定，试判定“a1a2a3”是是“数列数列an是递增数列是递增数列”的什么条件？的什么条件？【解解】等比数列等比数列an中，中，ana1qn1.由由a1a2a3，得，得a1a1qa1q2.a10，q1或或a10,0q1.因此数列因此数列an是递增数列是递增数列反过来，如果数列反过来，如果数列an递增，显然递增，显然a1a2a3.所以所以“a1a2a3”是是“数列数列an是递增数列是递增数列”的充要条件的充要条件.【思路点拨思路点拨】先解不等式，把命题先解不等式，把命题p，q具体化，第具体化，第(1)问利用真值表问利用真值表求求x；第；第(2

9、)问由互为逆否命题等价确定问由互为逆否命题等价确定p、q之间的关系，列出关于之间的关系，列出关于a的的不等式，问题可解不等式，问题可解已知条件已知条件p：Ax|2axa21，条件，条件q：Bx|x23(a1)x2(3a1)0若若p是是q的充分条件，求实数的充分条件，求实数a的取值范围的取值范围易错辨析之一充分必要条件颠倒致误 (2011山东高考山东高考)对于函数对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关的图象关于于y轴对称轴对称”是是“yf(x)是奇函数是奇函数”的的()A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不

10、充分也不必要条件【错解错解】若函数若函数yf(x)是奇函数，则是奇函数，则f(x)f(x)此时此时|f(x)|f(x)|f(x)|，因此，因此y|f(x)|是偶函数，其图象关于是偶函数，其图象关于y轴对称轴对称但当但当y|f(x)|的图象关于的图象关于y轴对称时，未必能推出轴对称时，未必能推出yf(x)为奇函数，例为奇函数，例如如yf(x)x2不是奇函数不是奇函数故故“y|f(x)|的图象关于的图象关于y轴对称轴对称”是是“yf(x)是奇函数是奇函数”的充分而不的充分而不必要条件，选必要条件，选A.【答案答案】A错因分析：错因分析：(1)错选错选A，主要在于分不清谁是条件，谁是结论，颠倒，主要

11、在于分不清谁是条件，谁是结论，颠倒充分性与必要性充分性与必要性(2)受思维定势影响，盲目认为受思维定势影响，盲目认为y|f(x)|与函数与函数f(x)的奇偶性无必然联的奇偶性无必然联系，错选系，错选D.防范措施：防范措施：(1)要弄清先后顺序：要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是的充分不必要条件是B”是指是指B能推出能推出A，且，且A不能推出不能推出B；而；而“A是是B的充分不必要条件的充分不必要条件”则是指则是指A能能推出推出B，且，且B不能推出不能推出A.(2)准确理解函数的奇偶性，明确准确理解函数的奇偶性，明确|f(x)|f(x)|与与|f(x)|f(x)|都都能得到能得到|f(x)|f(x)|.【正解正解】由由yf(x)是奇函数是奇函数y|f(x)|是偶函数；但是偶函数；但y|f(x)|的图的图象关于象关于y轴对称轴对称 yf(x)为奇函数为奇函数“y|f(x)|的图象关于的图象关于y轴对称轴对称”是是“yf(x)是奇函数是奇函数”的必要不的必要不充分条件，选充分条件，选B.【答案答案】B1(2011