异面直线所成角测验

1、1 如图，在正方体 ABCD - ABCiDi中，异面直线 AiD与BCi所成的角为45 °A. 30 °【答案】【解析】试题分析：如图所示,60 °90 °BiC,Bi连接则 B C/ AD, BiC丄 BC,. AD丄 BC,. AD与 BC所成的角为 90°. 故选：D.考点：异面直线及其所成的角ABCDAiBGD中，底面 ABCD是边长为 则异面直线 AC与Ai D所成角的余弦值（的正方形，AA = 2,Z A AB)2 .已知平行六面体=Z Ai AD= i 20 ° ,.i 55【答案】B【解析】试题分析：设向量 AB =

2、a, AD =b, AA =c ,贝 U AC -a b c,AD -c , 二|£ =庞'爲=77,ACi A| Dcos cACi, A|d X |ACiAD m14。考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3 .正方体 ABCD -A BCi Di 中，E,F,G,H 分别是 AA , AB , BBi, BQ 的中点，则直线EF与GH所成的角是（）A. 30°B . 45° C . 60D . 90°【答案】C【解析】 试题分析：由三角形中位线可知 EF LAB，GH _BG，所以异面直线所成角为.A1BC1 , 大小为60°考点

3、：异面直线所成角4在正方体ABCD-ABCiDi中，E是BCi的中点，则异面直线 DCi与BE所成角的 余弦值为（）A.2 5B.迅C .10 D2.55555【答案】B【解析】试题分析：取BC中点F ,连结FD,FC1，则.DCF为异面直线所成角，设边长为2,G F = 5, DG = 8, DF = 一 5 cos/ DC1F考点：异面直线所成角5 如图，正四棱柱ABCD -ABCD，中（底面是正方形，侧棱垂直于底面）,AA-3AB，则异面直线A B与AD 所成角的余弦值为（C'CA、9 B10【答案】A【解析】10试题分析：连结bc',异面直线所成角为 a'bc&

4、#39;,设 AB =1 ,a'bc'中AC'二 2, AB 二 BC 二 109cos_ABC 二一10考点：异面直线所成角6 .点P在正方形ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD , PA二AB，则PB与AC所成的角是A. 60B. 90C. 45D. 30【答案】A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2,所以PB与AC所成的角就是.FEA，由题意可知：EF二AE = AF二、2 , 所以.FEA =60考点：异面直线的位置关系.7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-ABQiU中，M是棱CD的中点，则A,M与DC!所成角的余弦值为（C.、

5、1010D.1010【答案】A【解析】试题分析：以D为原点,分别以DA, DC, DDi为x, y, z轴的正半轴建立空间直角坐标系 D - xyz ,由棱长AM = (-1丄,-1),DC12则 D(0,0,0), A1(1,0,1),M(0,*,0), G(0,1,1),所以0+1-1 2 、，故选A.6=(0 , 1 ,故 cos < AM , DC i >=考点：空间向量所成角的余弦值8.在正方体ABCD -AB1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线 EF与AB所成角的余弦值为A 3 B 三 C .2 D . 12322【答案】D【解析】试题分析：联结 AC、

6、BC贝L BAC即为所成的角。L BiAC为等边三角形，所$ 1以 cosB1 AC = cos602考点：异面直线所成的角9 .在正方体 ABCO AiBCiD中，点P在线段 AD上运动，则异面直线 CP与BA所的0 角的取值范围是（）0<<-0<5<-0<e<-<.B.J C.D.匚【答案】D【解析】如图，连结 CD'，则异面直线CP与BA'所成的角031等于/ D'CP,由图可知，当P点与A点重合时，0 =-3当P点无限接近D'点时，0趋近于0.由于是异面直线，故 0工0.选D考点：空间几何体，异面直线所成角10

7、.如图，正方体 ABCDABGU，则下列四个命题: P在直线BC1上运动时，三棱锥 A-D尸C的体积不变； P在直线BC1上运动时，直线 AP与平面ACD1所成角的大小不变; P在直线BG上运动时，二面角 P-AD1-C的大小不变； M是平面AB1C1D1上到点D和G距离相等的点，贝U M点的轨迹是过D1点的直线其中真命题的个数是【答案】C【解析】 试题分析： BC1 /平面AD1 , BG /上任意一点到平面AD1C的距离相 等，所以体积不变，正确.P在直线BG上运动时，直线AB与平面AD1C 所成角和直线AG与平面AD1C所成角不相等，所以不正确.当P在直线 BG上运动时，AP的轨迹是平面

8、PAD1，即二面角P - ADj - C的大小不受影 响，所以正确. M是平面AjBiGDi上到点D和G距离相等的点，二M点 的轨迹是一条与直线DCi平行的直线，而DDi二DiCi,所以正确，故答案为：C .考点：异 面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题11.如图，正方体 ABCD-ABGD中，AB的中点为 M DD的中点为 N,则异面直线 BM与 CN所成的角是（）.0QQQA. 0 B. 45 C. 60 D. 90DiCl【答案】D【解析】试题分析：解：取 AA的中点E，连接EN , BE交B1M于点O ,Ct则 EN / BC，且 EN = BC.四

9、边形BCNE是平行四边形.BE/CN.BOM就是异面直线B1M与CN所成的角,而 Rt=BB<|M 二 Rt=ABEABEh/BBjM , . BMB/AEB, BOM -90° 故选 D.考点：异面直线所成角12 如图，直四棱柱ABCD-A1BC1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AAjf 2 ,则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 【答案】6°°【解析】试题分析：由直四棱柱 ABCD-A1BC1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA=-. 2可得BD1 =2,由AbLIaB 知NABD1就是异面直线AB与B。的夹角，且AB 1cos ABD1,所

10、以 ABD1=6° ° ,即异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于BD1260°.考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13 .如果直线AB与平面相交于B,且与内过点B的三条直线BC, BD, BE所成的角相同，则直线 AB与CD所成的角=.【答案】900【解析】试题分析：因为，直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，所以，直线 AB在平面内的射影应是BC, BD夹角的平分线，同时也应是 BD,BE夹角及BC, BE的平分线，因此，直线 AB在平面内的射影是点B，即AB _ :，而CD :，所以AB _ CD ,直线AB与CD所成的

11、角为90° 考点：直线与直线、直线与平面的位置关系以顶点A为端点的三条棱长度都为 2,且两两夹角为60°，则DBi和GA所成角大小为【答案】76arccos6【解析】DB； =AB+AA AD,AG = AB +AD ,DB! GA = -2 -AB AA -AD (AB AD) = AB ABAD+ AA AB+AA ADAD AB - 2ADDB；22+二 AB；“2 . .AD +2AB； AA；-2AB AD -2AA AD=8, DB；设DBi和GA所成角大小为日cos日=cosc DB1,C1 A| > =DR C1Adb； |gaJ 226 6 ，二=a

12、rccos6 614 .平行六面体 ABCAiBCD中，考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角;15 已知四面体 ABCD中，DA = DB=DC=3J2，且DA, DB , DC两两互相垂直,点O是 ABC的中心，将 DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角的余弦值的最大值是 D【答案】丄6.3【解析】试题分析：当OA/BC时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即cos._OAD ；易知：AB_ACBC_6,OA=6 3 =2 3，cos OAd = da=3.2= 3考点：异面直线所成的角16 如图所示， A

13、BCD - A1B1C1D1为正方体，给出以下五个结论: BD/ 平面 CB1D1 ； AC1丄平面CB1D1 ; AG与底面abcd所成角的正切值是、一 2 ； 二面角c Bu G的正切值是 2 ； 过点A且与异面直线 AD和CR均成70。角的直线有2条.其中，所有正确结论的序号为 .【答案】【解析】试题分析：如下图，正方体 ABCD- ABCD中，由于BD/ B1D，由直线和平面平行的判定定理可得BD/平面CBD，故正确.由正方体的性质可得 B1D丄AC, CG丄B1D,故 BD丄平面 ACCA, 故 B4丄AG . 同理可得BQ丄AC.再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC丄平面CBD

14、，故正确.AC与底面ABCD所成角的正切值为 CC =丄=，故不正确.AC 722取 B1 D 的中点 M 则/ CMC即为二面角 C- B D- C的平面角， Rt CMC中，tan /CMC= - - - ' 2，故正确.C1M. 22如下图，由于异面直线 AD与CB成45°的二面角，过 A作MN/ AD PQ/ CB,设MNW PQ确定平面 a，/ PAM=45，过 A 在面a上方作射线 AH,则满足与 MN PQ成70°的射线 AiH有4条：满足/ MAH=Z PAH=70的有一条，满足/ PAH=Z NAH=70 的有一条，满足/ NAH=Z QAH=7C

15、° 的有一条，满足QAH=Z MAH=70的有一条.故满足与MN PQ成70°的直线有 4条，故过点 A与异面直线AD与CB成70°角的直线有4条，故不正确.故答案为.考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定17 .如图，正方体 ABCD-Ai B C D中，E, F分别是正方形 ADDA和ABCD勺中心，G是CC的中点。设GF, C E与AB所成的分别为:-，贝y« :!-二【答案】-2【解析】试题分析：取正方形 Bi C CB的中点为点 0,连结0G，0E,取BC的中点为点 A，连结GH, FH，通过分析可

16、知 0C 1 / GH , 0E / FH得平面C 1 EO/平面GFH ,设正方形边长为 2，在 GFH中，GH2, FH二1 ,3C 1 E02:,cos：3_:21OE =2, GE 二.6, 0G »2，则 sin,J6<3COS 0 = 3 =芈,所以 a + p = oJ6常 32考点：直线与平面所成角，面面平行问题。18 .如图所示，在三棱柱 ABC A1B1G 中，AA丄底面 ABC AB= BG= AA,/ ABG= 90°, 点E、F分别是棱 AB BB的中点，则直线 EF和BG的夹角是【答案】【解析】试题分析:如图所示，建立空间直角坐标系.AB=

17、BC=AA 不妨取 AB=2,贝U E (0,(0，- 1, 1) , BC1 = ( 2, 0, 2). /cos石BC1菲2| EF | | BC112.异面直线EF和BG的夹角为.故3考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角.答案为：319 .如图，在直三棱柱 ABC -ABG 中，.ACB = 90°, AA =2,AC 二 BC =1，则异 面直线 A B与AC所成角的余弦值是 .【答案】上66【解析】试题分析：由于 AC / AC1，所以.BAiCi （或其补角）就是所求异面直线所成的角,在.BA1C1 中,A|B = -、6 ， ACi = 1 ，BC

18、1 -；5，cos. BAG =61 二566 1 6考点：异面直线所成的角.20.在正三棱柱 ABC - AG中，各棱长均相等， BC1与B1C的交点为D，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 【答案】6C0【解析】试题分析：如图所示取 BC中点E,连接AE, DE易得AD与平面BB1C1C所成角为.ADE，设正三棱柱棱长为 2,则等边三角形 ABC边上的中线 AE =3 , DE =1，直角三角形中.ADE=60°考点：直线与平面所成的角.21.如图，直三棱柱 ABC-ABQ 中，AB= AC= 1 , AA = 2，/ B1AG = 90°, D 为 BB 的中 点

19、，则异面直线 GD与AC所成角的余弦值为 .【答案】-1515【解析】试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与 另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于90 ）本题中我们就可以把CE/ C D,然后在 ACE中求出.AQE，就可得出题中要求的角.考点：异面直线所成的角.22 .四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为 5，底面ABCD是边长为2的正方形，则 CD与PA所成角的余弦值为.5【解析】试题分析：正方形ABCD中，CD/ AB,aZ PAB或其补角就是异面直线CD与PA 所成的角， PAB 中,PA=PB= 5, AB=2 ,cos /“c p

20、a2+ab2_pb25 4 -55PAB=2PA AB25 25考点：1.余弦定理的应用 ；2.异面直线及其所成的角23 .如图所示，正方形 ABCD中, E、F分别是AB AD的中点，将此正方形沿 EF折成直 二面角后，异面直线 AF与BE所成角的余弦值为1【答案】丄2【解析】试题分析：过F做FH /DC，过A做AG _ EF，连接GH , 在三角形AGH中，AH3，AFH即为异面直线AF与BE所成角.设正方形ABCD的边长为2,则在LAFH中，AF = 1, FH =2, AH3 ,1 1 cos AFH ，故答案为一 2 2考点：异面直线所成的角的计算cos_ DAEAD 2AE 325 .有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成