整式的乘除竞赛题

1、初二上加深提高部分整式的乘除复习题1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题.例：若 x=123456789 X123456786 , y=123456788 X123456787，试比较 x、y 的大小.解：设 123456788=a，那么 x= (a+1 ) (a-2 ) =a2-a-2 , y=a (a-1 ) =a2-a .x-y= (a2-a-2 ) - (a2-a ) =-2 v 0 xv y看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！问题：计算 1.345 X0.345 X2.69-1.3453-1.34

2、5 X0.3452解：设 1.345=x，那么：原式=x (x-1 )?2x-x3-x (x-1 ) 2,=(2x3-2x2 ) -x3-x (x2-2x+1 ) , =2x3-2x2-x3-x3+2x2-x,=-1.345 .4、我们把符号“n!”读作n“的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n工0时，n!=n?(n-1 )?(n-2 )-2?1，当 n=0 时，0!=1 ” .例如：6!=6 X5 X4X3 X X1=720 .又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的”. 按照以上的定义和运算顺序，计算：(1) 4!= ; (2) ( 3+

3、2 ) !-4!=;(3) 用具体数试验一下，看看等式( m+n ) !=m!+n!是否成立？12. 小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的运算这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例女口： (x-1 ) (x2+x+1 ) =x3-1 , (2a+b ) (4a2-2ab+b2 ) =8a3+b3 ,小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊！而且右边都可以看成是某两项的立方的和(或差)”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”2倍”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是

4、两项积的小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？(1) 能否用字母表示你所发现的规律？(2) 你能利用上面的规律来计算(-x-2y ) (x2-2xy+4y2 )吗?2、 一个单项式加上多项式9 (x-1 ) 2-2x-5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式.3、化简：(1 )；2n2tt2)+8nb(2) 多项式x2-xy与另一个整式的和是 2x2+xy+3y2，求这一个整式解:(1) 原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab;(2) (2x2+xy+3y2 ) - (x2-xy

5、)=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2.这个整式是x2+2xy+3y2 .点评：(1)关键是去括号.按5、设-：,求整式T 1的值)+3a2-6、已知整式 2x2+ax-y+6 与整式2bx2-3x+5y-1的差与字母 x的值无关，试求代数式7 ( ab2+2b3-a2b(2a2b-3ab2-3a2 )的值.解：(2x2+ax-y+6 ) - (2bx2-3x+5y-1) =2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=(2-2b ) x2+ ( a+3 ) x-6y+7 ,因为它们的差与字母x的取值无关，所以 2-2b=0 , a+3=0，解得a=-3 , b=1 .2

6、 ( ab2+2b3-a2b ) +3a2- (2a2b-3ab2-3a2 )=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6 x(-3 ) 2-4 x(-3 ) 2 X1+5 x(-3 )X1+4 X1=7 .8。 在盒子里放有四张分别写有整式3x2-3 , x2-x , x2+2x+1 , 2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的 整式分别作为分子和分母.(1) 求能组成分式的概率；(2) 在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式.解：(1)四张分别写有整式 3x2-3 , x2-x , x2+2x+1 , 2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式

7、分 别作为分子和分母共有4X3=12种结果，其中以“ 2”作分母的3个，不能组成分式，故可以组成9个分式，能组成分式的概率为 =;(2)答案不唯一.丐耳=眦杆巴严治十口如，=一9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法： (2x+a ) ( 3x+b ),由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10 ;由于乙漏抄了第二个多项中的x的系数，得到的结果为2x2-9x+10 .请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：设第二个多项中的x的系数为Z,'( 2x+a ) (Zx+b ) =2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10, Z=1 ,第二个多

8、项中的x的系数是1, ( 2x+a ) (x+b ) =2x2-9x+10 , 2b+a=-9 , ab=10 ,-b=-2 , a=-5 ,( 2x+a ) ( 3x+b ) = (2x-5 ) (3x-2 ) =6x2-19x+10 ;13. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去-4a2+2b2+3c2 误以为是加上-4a2+2b2+3c2，结果得出的答案是a2-4b2-2c2，求原题的正确答案.解：设原来的整式为 A贝U A+ (-4a2+2b2+3c2 ) =a2-4b2-2c2 A=5a2-6b2-5c2 A- (-4a2+2b2+3c2 ) =5a2-6b2-5c2-(-4a2

9、+2b2+3c2 )=9a2-8b2-8c2.原题的正确答案为 9a2-8b2-8c2 .10. 根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式.(1) 友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？(2) 一列火车从 A站开往B站，火车的速度是 a千米/小时，A, B两站间的距离是120千米，则火车从 A站开 往B站需要多长时间？(3) 某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少 25%勺工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？解：(1)根据题意得，售价为：75%x是整式，是单项式；(2) 根据题意，t=匚,不是整式；(3) 根据题意

10、得，现在人数为：(1-25%) m+3，是整式，是多项式.11. 某村小麦种植面积是 a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍.(1 )玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示 m ;(2) 当a=102亩时，求m的值.解：(1) m=3a- (a+5 ),=3a-a-5 ,=2a-5 ;(2 )当 a=102 时，m=2 X102-5 ,=199 (亩)3014. 红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元.(1)

11、若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润.(注：利润=销售总额-成本-其他费用)(2) 新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利 润多？(3) 若你是红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？解：(1)厂家直销的利润为(30-20 ) x-1200 ;委托商场销售的利润为(24-20 ) X；(2)当x=300时，厂家直销的利润为10X300-1200=1800 (元);委托商场销售的利润为(24-20 )X300=1200 (元);采取厂家直销的利润大；(3 )当x=200时，

12、厂家直销的利润为10X200-1200=800 (元);委托商场销售的利润为 4X200=800 (元);两种销售方式一样.16、探究应用：(1) 计算(a-2 ) (a2+2a+4 ) =(2x-y ) (4x2+2xy+y2 )=.(2) 上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：(请用含a. b的字母表示).(3 )下列各式能用你发现的乘法公式计算的是.A . ( a-3 ) (a2-3a+9 ) B. (2m-n ) (2m2+2mn+n2 )C. ( 4-x) (16+4x+x2 )D. ( m-n ) (m2+2mn+n2 )(4) 直接用公式计算：(3x-2y )

13、(9x2+6xy+4y2 )=(2m-3 ) (4m2+6m+9 )=17. 阅读下面学习材料：已知多项式2x3-x2+m 有一个因式是 2x+1，求m的值.解法一：设 2x3-x2+m=(2x+1 ) (x2+ax+b ),则 2x3-x2+m=2x3+(2a+1 ) x2+ (a+2b ) x+b比较系数得：，解得，所以m=0.5解法二：设2x3-x2+m=A (2x+1 ) (A为整式).由于上式为恒等式，为了方便计算，取x=-0.5 ,得 2 X(-0.5 ) 3-0.52+m=0，解得 m=0.5根据上面学习材料，解答下面问题：已知多项式x4+mx3+nx-16 有因式x-1和x-2

14、，试用两种方法求 m、n的值.解：解法 1:设 x4+mx3+nx-16=(x-1 ) (x-2 ) (x2+ax+b ),( 1 分)贝V x4+mx3+nx-16=x4+(a-3 ) x3+ ( b-3a+2 ) x2+ (2a-3b ) x+2b (2 分)a3 = m63a+2 = 02a36 = n36 =fa = 21 m = 5解得，=a；所以 m=-5 , n=20 .(4 分)18. (1)化简：3x2y-2xy-(xy-x2y+2xy )(2) 已知 A=2x2+xy+3y2 , B=x2-xy+2y2 , C 是一个整式，且 A+B+C=O，求 C.解：(1)原式=3x2

15、y-2xy-3xy+x2y, (2 分)=3x2y-x2y+xy ，=x2y+xy ；解：(2)A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2=3x2+5y2 (2 分)，A+B+C=0，C=- (A+B)，=-3x2-5y2 . (4 分)19、问题1 :同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷相信通过下 面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.例：用简便方法计算195 X205 .解：195 X205=(200-5 ) (200+5 =2002-52 =39975(1 )例题求解过程中，第步变形是利用(填乘法公式的名称)；(2)用简便方法

16、计算：9X11 X101 X10001 .问题2：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成( x+a) 2的形式.但对于二次三项 式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了 .此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项 a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去 a2,整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=(x2+2ax+a2 ) -a2-3a2=(x+a) 2- (2a) 2=(x+3a ) (x-a).像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.(1)利用“配方法”分解因

17、式：a2-4a-12 .问题 3 :若 x-y=5 , xy=3，求： x2+y2 : x4+y4 的值.15阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决.例：若 x=123456789 X123456786 , y=123456788 X123456787，试比较 x、y 的大小.解：设 123456788=a，那么 x= (a+1 ) (a-2) =a2-a-2 , y=a (a-1 ) =a2-a ,-x-y= (a2-a-2 ) - (a2-a ) =-2 v 0，xv y.看完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！问题：计算 3.456 X

18、2.456 X5.456-3.4563-1.4562 .解：设 3.456 为 a,则 2.456=a-1 , 5.456=a+2 , 1.456=a-2，可得:3.456 X2.456 X5.456-3.4563-1.4562=a X(a-1 ) X(a+2 ) -a3-(a-2 ) 2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4 =2a-4 ,a=3.456 ,原式=2a-4=2 X3.456-4=2.91220. 计算：(1) (-8a4b5c )-(4ab5)?(3a3b2 )(2) 2 (a2x) 3-9ax5 +(3ax3)(3) ( 3mn+1 ) (-1+3mn ) - (3mn-

19、2 ) 2(4 )运用整式乘法公式计算1232-124 X122(5) ( xy+2 ) (xy-2 ) -2x2y2+4 + (xy)，其中 x=10 , y=-. 解：(1) (-8a4b5c )-(4ab5)?(3a3b2 ),=-2a3c ?(3a3b2 ),=-6a6b2c ;(2) 2 (a2x) 3-9ax5 +(3ax3),=2a6x3-9ax5 +(3ax3),(3) ( 3mn+1 ) (-1+3mn ) - (3mn-2 ) 2,=(9m2n2-1 ) - (9m2n2-12mn+4 ),=9m2 n2-1-9m2 n2+12 mn-4,=12mn-5 ;(4) 1232

20、-124 X122 ,=1232-(123+1 )X(123-1 ),=1232-(1232-1 ),=1232-1232+1,=1 ；(5) ( xy+2 ) (xy-2 ) -2x2y2+4 -(xy),=x2y2-4-2x2y2+4 -(xy),=(-x2y2 )-(xy),=-xy ;当 x=10 , y=-时，原式=-10 x(-)=.21、 一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？(这个角是45°22、 如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相 对面上的数字相等，求 x、y的值.5A

21、23、已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数.(60)先化简后求值：(x-y) 2+ (x+y) (x-y ) *2x，其中 x=3，y=1.5 . (1.5).¥_L(2001?宁夏)设 a-b=-2，求.'的值.(2)丁令旳D计算：:'解：由题意可设字母 n=12346，那么 12345=n-1 ，12347=n+1， 于是分母变为n2- (n-1 ) (n+1 ).应用平方差公式化简得n2- (n2-12 ) =n2-n2+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24690 .(2007?淄博)根据以下10个乘积，回答问题：11X29 ；12X28

22、;13 X27;14X26 ;15 X25;16X24;17X23;18 X22;19X21 ;20 X20.(1) 试将以上各乘积分别写成一个“口 2- O2” (两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2) 将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3) 试由(1 )、( 2)猜测一个一般性的结论.(不要求证明分析：(1)根据要求求岀两数的平均数，再写成平方差的形式即可.(2) 减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可.(3) 根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小解答：解：(1) 11 X29=202-92 ; 12X28=202-82 ; 13 X27=202-72 ;

23、14X26=202-62 ; 15 X25=202-52 ; 16X24=202-42 ;17X23=202-32 ; 18 X22=202-22 ; 19X2 仁202-12 ;20X20=202-02(4 分)例如，11 X29 ;假设 11 X29= 2- O2，因为口 2- 02= ( + O) ( -O);所以，可以令口 - O=11，口 + O =29 .解得，口 =20，O =9 .故 11 X29=202-92 .(或 11 X29= (20-9 ) ( 20+9 ) =202-92(2)这 10 个乘积按照从小到大的顺序依次是：11 X29V 12X28< 13X<

24、; 14X26< 15X25V 16 X24< 17 X23< 18 X22< 19 X21 <20X20整式的乘除复习题一.学新知识应用1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答 后面的问题.例：若 x=123456789 X123456786 , y=123456788 X123456787，比较 x、y 的大小.2 2解：设 123456788=a，那么 x= (a+1 ) (a-2) = a -a 2 , y=a (a-1 ) = a a .22/ x-y= a -a 2- ( a a ) =-2

25、 v 0. xv y看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行！3 2问题：计算 1.345 X0.345 X2.69- 1.345 -1.345 xO.34532计算 3.456 X2.456 X5.456- 3.456 - 1.456 .2、 我们把符号“n!”读作n“的阶乘”，规定“其中n为自然数，当n工0时，n!=n?(n-1 )?(n-2 )-2?1, 当 n=0 时，0!=1 ” .例如：6!=6 X5X4X3X2 X1=720 .又规定“在含有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面的” 按照以上的定义和运算顺序，计算：(1 )4!=

26、;(2)( 3+2 ) !-4!=;(3)用具体数试验一下，看看等式(m+n ) !=m!+n!是否成立？3、小明和小强平时是爱思考的学生，他们在学习整式的运算这一章时，发现有些整式乘法结果很有特点，例如：332233(x-1 ) x +x+1 = x -1, (2a+b ) ( 4a -2ab+b ) = 8a +b ,小明说：“这些整式乘法左边都是一个二项式跟一个三项式相乘，右边是一个二项式”，小强说：“是啊!而且右边都可以看成是某两项的立方的和(或差)”小明说：“还有，我发现左边那个二项式和最后的结果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间

27、不是两项积的2倍”小明说：“二项式中间的符号、三项式中间项的符号和右边结果中间的符号也有点联系”亲爱的同学们，你能参与到他们的讨论中并找到相应的规律吗？(1) 能否用字母表示你所发现的规律？2 2(2) 你能利用上面的规律来计算(-x-2y ) x -2xy 4y吗？(3) 下列各式能用你发现的乘法公式计算的是.2 2 2A. (a-3 ) ( a 3a 9 ) B. (2m-n ) (2 m 2mn n )2 2 2C. (4-x) (16+4x+ x )D. (m-n ) ( m 2mn n )2 2(4) 直接用公式计算：(3x-2y ) ( 9x 6xy 4y )=(2m-3 ) (

28、4m2 6m +9 )=4、问题1:同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦例：用简便方法计算195 X205 解：195 X205=(200-5 ) (200+5 =2002-52 =39975(1 )例题求解过程中，第步变形是利用(填乘法公式的名称)；(2)用简便方法计算：9X11 X101 X10001 .2 2 2问题2：对于形如x 2ax a这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a)的形式.但对于二次三项2 2 2 2 2式x 2ax 3a，就不能直接运用公式了 .此时，我们可以

29、在二次三项式x 2ax 3a中先加上一项a，使它与x 2ax的和成为一个完全平方式，再减去 a，整个式子的值不变，于是有：x2 2ax 3a2 = x22 ax a2- a2 3a2= (x+a)2(2a)2(x+3a)(x-a)像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.2(1)利用“配方法”分解因式：a 4a 12二.乘法公式应用25、一个单项式加上多项式 9(x-1) -2x5后等于一个整式的平方，试求所有这样的单项式.12求整式" 1 ! ! 7的值若x-y=5，xy=3，求：x y ;x y的值.三整式的计算化简：(1)

30、;加象比血)+啊as1-22 2 2(2)多项式x -xy与另一个整式的和是 2x +xy 3y，求这一个整式解:37( ab +2b a b)+ 3a -a的符号，得到的结果为298、已知整式2x +ax-y+6与整式2bx -3x+5y-1的差与字母x的值无关，试求代数式(2a2b-3ab2 3a2)的值.9. 甲乙两人共同计算一道整式乘法：(2x+a ) ( 3x+b ),由于甲抄错了第一个多项式中26x +11x-10 ;由于乙漏抄了第二个多项中的2x的系数，得到的结果为2x -9X+10 .请你计算出a、b的值各是2 2 2 2 2 2-4 a +2 b +3 c误以为是加上-4 a

31、 +2 b +3 c，结果得出的答案多少，并写出这道整式乘法的正确结果解：10. 由于看错了运算符号，某学生把一个整式减去2 2 2是a -4 b -2 c，求原题的正确答案.11. 根据题意列出代数式，并判断是否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式.(1) 友谊商店实行货物七五折优惠销售，则定价为x元的物品，售价是多少元？(2) 一列火车从 A站开往B站，火车的速度是 a千米/小时，A, B两站间的距离是120千米，则火车从 A站开 往B站需要多长时间？(3) 某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少 25%勺工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位现有多少人？12. 某村小麦种植面

32、积是 a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积的3倍.(1)玉米种植面积与水稻种植面积的差为m，试用含口的整式表示 m ; ( 2)当a=102亩时，求m的值.13. 红星中学校办工厂，生产并出售某种规格的楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30元，同时每月要消耗其他人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元.(1) 若每月销售x块，用整式分别表示两种销售方式所获得的利润.(注：利润=销售总额-成本-其他费用)(2) 新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预计11月份可销售300块，采取哪一种销售方式获得的利润 多？(3) 若你是

33、红星中学校办工厂的厂长，请你进行决策：当预计销售200块黑板时，应选择哪一种销售方式较好？2 2 2 2 2 214. (1)化简：3 x y-2xy- (xy- x y+2xy )(2)已知 A=2 x +xy+3 y , B= x -xy+2 y ,C 是一个整式，且 A+B+C=0 ,求C.15、如图所示，是一个正方体的平面展开图，标有字母A的面是正方体的正面，如果正方体的相对的两个面上标注的代数式的值与相对面上的数字相等，求 x、y的值.53-3-5A2 /16计算:4 5, 53 22 、353(1) (-8 a b c) + (4ab )?(3a b )(2) 2(a x) -9a

34、 x +(3ax )2 2(3) ( 3mn+1 ) (-1+3mn ) -(3mn 2)(4)运用整式乘法公式计算 123 -124 X122三写多项式方法17、阅读下面学习材料：32已知多项式2X - x +m有一个因式是 2x+1，求m的值.根据上面学习材料，解答下面问题：43已知多项式x +m x +nx-16有因式x-1和x-2，试用两种方法求 m、n的值.四.余角和补角18、 一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？19、 已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数.小测验 姓名2 2 21在盒子里放有四张分别写有整式3x -3 , x -x , x

35、+2x+1 , 2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母.(1)求能组成分式的概率；(2 )在抽取的能组成分式的卡片中，请你选择其中能进行约分的一个分式，并化简这个式.22. 先化简后求值(x-y) + (x+y) (x-y ) +2x,其中 x=3 , y=1.5日+龌_ I3. 设a-b=-2 ，求的值:m如4. 计算: i'5根据以下10个乘积，回答问题：11X29 ;12 X28 ;13 X27 ;14X26 ;15X25 ;16X24 ;17 X23 ;18 X22 ;19X21 ;20X20 .(1) 试将以上各乘积分别写成一个“口 2- O2

36、”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程;(2) 将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3) 试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论.(不要求证明)初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的 思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一 讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和

37、应用作进一步的介绍.1 运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:2 2(1) a -b =(a+b)(a-b)；2 2 , 2(2) a ±2ab+b =(a +b)；3 322(3) a +b =(a+b)(a -ab+b )；3 322(4) a -b =(a-b)(a +ab+b ).下面再补充几个常用的公式:2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)3 33222(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)；(7) an-b n=(a-b

38、)(a n-1 +an-2 b+an-3b255+ -+ab n-2+bn-1)其中 n 为正整数;(8) a"-b ”=(a+b)(a -a "+日"=(a -b )(a +b )-+日©-")，其中n为偶数；(9) an+bn =(a+b)(a n-1 -an-2 b+an-3 b2-ab n-2 +bn-1)，其中 n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1分解因式:5n-1 n3n-1 n+n-1 n+4(1) -2xy+4x y -2x y ;33 3(2) x -8y

39、-z -6xyz ;2 2 2(3) a +b +c -2bc+2ca-2ab ;752257(4) a -a b +a b -b .解(1)原式=-2x n-1 yn(x4n-2x 2ny2+y4)=-2x n-1 yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2n-1 n 22 2=-2x y (x n-y )n-1 n n x 2 n2=-2x y (x-y) (x +y).3 33原式=x +(-2y) +(-z) -3x(-2y)(-Z)2 2 2=(x-2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz)(3) 原式=(a2-2ab+b 2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b) +

40、2c(a-b)+c =(a-b+c)本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下:原式=a2+(-b) 2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)2=(a-b+c)752257(4) 原式=(a -a b )+(a b -b )5/22522=a (a -b )+b (a -b )4 32234=(a+b)(a-b)(a+b)(a -a b+a b -ab + b )=(a+b) Si - 1-(39 + +DG：J + u(K*n说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用. .拆项、添项法(a-b)(a 互抵消为零在对某些多项式分

41、解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多-a 项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.b+a 2b2-ab因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相+b4)例 2 分解因式：a3+ b3+c3-3abc .本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分析我们已经知道公式3 3223(a+b) =a +3a b+3ab +b的正确性，现将此公式变形为333a +b =(a+b) -3ab(a+b).

42、这个 '式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 3-3abc3=(a+b)3+c -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c -3ab(a+b+c)2 2 2=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为333a +b +c -3abc=7- : k + b 十匚)(2a"十2己-Zab-2bc-Em)f h + b+u(fl-b) J+ (b-O 3 + Cc qa=b=c333333333

43、显然，当 a+b+c=0 时，贝U a +b +c =3abc ；当 a+b+c >0 时，贝U a +b +c -3abc >0，即 a +b + c >3abc，而且，当且仅当时，等号成立.如果令 x=a3>0， y=b3 >0，z=c3> 0，则有等号成立的充要条件是 x=y=z .这也是一个常用的结论.1514132例 3 分解因式：x +x +x + -+x +x+1 .分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至 0,由此想到应用公式an-bn来分解.解因为x16-1=(x-1)(x 15+ x14+x13+ -x

44、2+x+1)，所以_ .61 -“妝】"+31"+!+七"+二 + 0-1匣式二1TT.3例4分解因式：x-9x+8 .分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1将常数项8拆成-1+9 .原式=x3-9x-1+93=(x -1)-9x+92=(x-1)(x +x+1)-9(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法2将一次项-9x拆成-x-8x .原式=x3-x-8x+83=(x -x)+(-8x+8)=x(x+1)(x_1)_8(x_1)2=(x-1)(x +x-8).333解法3将三次项x拆成9x -8

45、x .原式=9x【8x 3-9x+833=(9x -9x)+(-8x +8)2=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)2=(x-1)(x +x-8).2 2解法4添加两项-x +x .原式=x3-9x+8322=x -x +x -9x+82=x (x-1)+(x-8)(x-1)2=(x-1)(x +x-8).说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观 察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.例5分解因式：(1) x9+x6+x3-3 ;2 2(2) (m - 1)(n -1)+4mn

46、 ；(3) (x+1)4+(x2-1)2+(x-1) 4;3322(4) a b-ab +a +b +1 .解(1)将-3 拆成-1-1-1 .原式=X9+X6+X3-1-1-1963=(x -1)+(x -1)+(x -1)=(x3-1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x3+1)+(x 3-1)3=(x -1)(x6+2x3+3)263=(x-1)(x +x+1)(x +2x +3).(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn .2 2原式=(m -1)(n -1)+2mn+2mn2 2 2 2=m n -m -n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(m n +2mn+1)-(m -2m

47、n+n )2 2=(mn+1) _(m_n)=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3) 将(x2-1)2 拆成 2(x2-1)2-(x2-1)2.4 22224原式=(x+1) +2(x -1) -(x - 1) +(x-1)4 22422=:(x+1) +2(x+1) (x-1) +(x-1) -(x -1)2 2 2 2 2=:(x+1) +(x-1) -(x -1)2 22 2 2 2=(2x +2 ) - (x -1) =(3x +1)(x +3).(4) 添加两项+ab-ab .33原式=a b-ab +a +b +1+ab-ab3322=(a b-ab )+(a -ab)+(

48、ab+b +1)2=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)=a(a-b) b(a+b)+1+(ab+b 2+1)2=a(a-b)+1(ab+b+1)2 2=(a -ab+1)(b +ab+1).说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.3 换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例 6 分解因式

49、：(x2+x+1)(x 2+x+2)-12 .分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.解设x2+x=y，则2原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-102 2=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x +x+5)2=(x-1)(x+2)(x +x+5).2 2说明本题也可将x +x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试.例7分解因式：2 2(x +3x+2)(4x +8x+3)-90 .分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重

50、新组合.解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-902 2=(2x +5x+3)(2x +5x+2)-90 . 令 y=2x2+5x+2 ，则I ” . 2原式=y(y+1)-90=y+y-90=(y+10)(y-9)2 2=(2x +5x+12)(2x +5x-7)2=(2x +5x+12)(2x+7)(x-1).说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.例8分解因式：2 2 2(x +4x+8)2+3x(x +4x+8)+2x .2解设x +4x+8=y，则原式=y 2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)

51、2 2=(x +6x+8)(x +5x+8)2=(x+2)(x+4)(x +5x+8).说明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新 变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式.例 9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6 .42解法1原式=6(x +1) + 7x(x-1)-36x4 222=6 : (x -2x +1)+2x +7x(x -1)-36x2 2 2=6(x -1)2+2x +7x(x -1)-36x2 2 2 2=6(x -1) +7x(x -1)- 2 4x2 2=2 (x -1)-3x 3(x

52、-1)+8x2 2=(2x -3x-2)(3x +8x-3) =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).2说明 本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体.解法2? £ 原式-丄十p)s X.令上勺卿y +于是XX2 2原式=x 6(t +2)+7t-362 2 2=x (6t +7t-24)=x (2t-3)(3t+8)2=x 2(x-1/x)-33(x-1/x)+82 2=(2x -3x-2)(3x +8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).2 2 2 2例 10 分解因式：(x +xy

53、+y )-4xy(x +y ).分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式.解 原式=(x+y) 2-xy 2-4xy(x+y) 2-2xy.令 x+y=u，xy=v，贝U2 2 2原式=(u -v) -4v(u -2v)=u 4-6u 2v+9v2 2=(u -3v)2 2=(x +2xy+y -3xy)2 2 2=(x -xy+y ).练习一1 分解因式:1 ik n 十 jotjr"+r105 _(2)x +x -2 ;-4H73 +4r3y+yJ (4十t4 322(4) (x +x +x +x +x+1) -x .2 分解因式:4222(2)x -11x y +y ;3 2(1)x +3x -4 ;3 分解因式：2 2 2(1)(2x-3x+1) -22x +33x-1 ;432(2)x +7x +14x +7x+1 ;3(3)(x+y) +2xy(1-x-y)