msdc初中数学反比例函数第05讲教师版

1、中考要求知识点睛反比例函数的定义：函数 y = k ( k 为，k 0 )叫做反比例函数，其中 k 叫做比例系数， x 是自变量， y 是函数，自变量 x 的x取值范围是不等于 0 的一切实数.反比例函数的图像：反比例函数 y = k ( k 为， k 0 )的图像由两条曲线组成，每条曲线随着 x 的不断增大(或减小)越来越x接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.反比例函数 y = k 与 y =- k ( k 0 )的图像关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称.xx反比例函数图像的性质：反比例函数 y = k ( k 为， k 0 )的图像是双曲线；x当 k 0 时，函数图像的两个分支分别位

2、于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内， y 随 x的增大而减小；当 k 0 时，双曲线 y = k 的两支分别在一、三象限，在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小x这是由于 x 0 ，即 x 0 或 x 0 的缘故如果笼统地叙述为 k 0) 的图象上，且横坐标为 2.【例2】若将点 P 先向右平移两个，x再向上平移一个是后所得的像为点 P .则在第一象限内，经过点 P 的反比例函数图象的式y321PO123xA y = - 5 ( x 0) B. y = 5 ( x 0) C. y = - 6 ( x 0) D. y = 6 ( x 0)xxxxMSDC 模块化分级讲义体系初

3、中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 2 of 21】根据题意易得 P 2 ， ，因为点平移时符合“上加下减，左减右加”则点 P 平移后的坐标为1 【2 P 4 ， 3 ，又 xy = k ， k = 6 ，故选 D.2 【】见k 2 + 1在下图中，反比例函数 y =【例3】的图像大致是（）xABCDk 2 + 1】 k +1 0 ，反比例函数 y =】见2【的图像在第一、三象限内，故选 D.x【例4】 反比例函数 y = 2m -1 的图象， A(-1，b ) ， B(-2，b ) 是该图象上的两点12x（1） 比较b1 与b2 的大小；（2） 求m 的取值范围】（1）由图知， y

4、随 x 增大而减小 又-1 -2 ， b1 0 ，得 m 1 2【】见【例5】 若 A ( a ， b )， B ( a ， b )是反比例函数 y =- 2 图像上的两个点，且 a a ，则b 与b 的大小11221212x是(A b1 b2D大小不确定】反比例函数 y =- 2 的图像在第二、四象限，且在每一象限内， y 随 x 的增大而增大.【x当0 a1 a2 或 a1 a2 0 时， b1 b2 ；MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 3 of 21当a1 0 0 ，所以 y =的函数在一、三象限内，易得 y2 y3 y1 .2x【】见【例7】 反

5、比例函数 y =- 3 的图像上有三点，( -2 ， a )，( -1， b )，(1 ， c ) ，比较a ， b ， c 大小.x】 -3 0 ，在每个象限内， y 随 x 的增大而增大.【又点( -2 ， a )，( -1， b )在第二象限， -2 -1， 0 a b .又点(1 ， c )在第四象限， c 0 . c a 0 )的图像上取三点 A 、 B 、C ，由这三点分别向 x 轴、 y 轴作垂线，设矩形xAA1OA2 、 BB1OB2 、CC1OC2 的面积分别为 SA 、 SB 、 SC ，试比较三者大小.yAA2BB2 C2CxOA1 B1C1yACBDOEFx【】设点 A

6、 的坐标为( a ， b )，因为点 A 在双曲线 y = k 上，所以b = k ，即 ab = k .因为 A 在第一象限xa内，所以 SA = OA1 A1 A =，abk同理可得 SA = SB = SC =k.由此我们可以得到一个结论：在反比例函数 y = k ( k 0 )中，具有矩形面积的不变性，即 S= S= S=k.AA1OA2BB1OB2CC1OC2x在此基础上可以推得：梯形面积的不变性，即 S= SAA B BAA B B2 21 1【变式】由上题结论可推得：梯形面积与三角形面积的不变性： S梯形ABFE= SDAOB= S- 1 S- 1 S2= S- SS梯形ABFE

7、ABFOCACOEABFOCACOEBDOF2= SABFOC - SACO - SBOF = SDAOB【】见【例10】如图，在反比例函数 y = 2 ( x 0 )的图象上，有点 P ， P ， P ， P 它们的横坐标依次为 1，2，3，1234xMSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 5 of 214分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所求 S1 + S2 + S3 的阴影部分的面积从左到右依次为 S1 ，S2 ，S3 ，2y=xyP1S1P2P3S2P4S3O1234x【】将 S2 和 S3 向左平移，即可拼成一个大的矩形，宽(横向)为 1，

8、长(纵向)为 P1 与 P4 的纵坐标之差，即 2 - 2 = 3 .所以 S + S + S = 3 .1231422【】见【例11】如图，已知正方形OABC 的面积为 9，点O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点C 在 y 轴上，点 B 在函数 y = k ( k 0 ， x 0 )的图像上，点 P ( m ，n )为其双曲线上的任一点，过点 P 分别作 x 轴、yx轴的垂线，垂足分别为 E 、 F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为 S 求 B 点的坐标和 k 的值；当 S = 9 时，求 P 点坐标；2写出 S 关于 m 的函数式yBCFPSxOAE【】设 B

9、点坐标为( x ， y ).则由条件，得 xy = 9 ， x = y 0 ，解方程组得 x = 3 ， y = 3 ，点 B 的坐标是( 3 ， 3 ).又由 y = k ,得 k = xy = 9 .x点 P 的坐标为 ( m ， n ).9当 m 3 时,如图甲, AE = m - 3 , PE = n =.1m当 S = 9 时，有 AE PE = 9 ,即(m - 3) 9= 9 .m = 6 .122m2MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 6 of 21故 P 点的坐标为 ( 6 ， 3 ).129当0 m 3 时, P F = m , FC

10、= n - 3 =- 3 .2m当 S = 9 时，有 P F FC = 9 .即 m 9 - 3 = 9 .m = 3 . m22222即 P 点的坐标为 ( 3 ， 6 ).22参照第题可知,当 m 3 时, S = AE PE = (m - 3) 9= 9 - 27 ;1mm当0 m 0) 在第一象限内的图象【例13】两个反比例函数 y =和 y =k k1212xxx象上， PC x 轴C ，交 y = k2 的图象xA ， PD y 轴D ，交 y = k2 的图象B x（1） 求证：四边形 PAOB 的面积是（2） 当 PA = 2 时，求 DB 的值；PC3BP（3）若点 P 的

11、坐标为(5 ，2) ，DOAB ，DABP 的面积分别记为 SDOAB 、SDABP ，设求 k1 的值；S = SDOAB - SDABP 当 k2 为， S 有最大值，最大值为多少？k1y=xyBPDk2xAy=OCx【】（1）证明：设 A(x1 , y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，P(x3 , y3 ) ，DAOC 与DBOD 的面积分别为 S1 ，S2 ，矩形 PCOD的面积为 S3 由题意，得 y =，y = k2 ，yk2= k13123xx2S = 1 x y = 1 k ， S = 1 x y = 1 k ， S = x y = k 11 12222233312222S四

12、边形PAOB = S3 - (S1 + S2 ) = k1 - k2 四边形 PAOB 的面积是（2）解：由（1）可知 S1 = S2 ，则OD BD = OC AC 又 PA = 2 PC ，3 AC = 1 PC 3 DP = OC ， OD = PC ， BD = 1 DP 3DB = 1 BP2（3）解：由题意知： k1 = xP yP = 10 A，B 两点坐标分别为 A(5, k2 ) ， B( k2 , 2) ，52MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 8 of 21S= 1 AP BP = 1 (2 - k2 )(5 - k2 ) DABP2

13、252= 10 - k - 2 1 (2 - k2 )(5 - k2 ) S = S- 2S四边形PAOBDABP22521S = -k 2 + k 2210当 k = 5 时， S 有最大值 5 22【】见板块三、反比例函数与一次函数综合与 y = m (m 0)xy【例14】函数 y = x + m在 同 一 坐 标 系 内 的 图 像 可 以 是 （）yyyOOxxOOxxABCD】逐个选项分析：选项 A，B， y = m (m 0) 的图像在一、三象限，故 m 0 ，故 y = x + m 的图【x、三象限，故 A 错，B 是正确的；像过选项 C， y = m (m 0) 的图像在二、

14、四象限，故 m 0 ，故 y = x + m 的图像过一、三、四象限，x故 C 错；已知 m 0 ，故 D 错.故选 B.】见【例15】如图，反比例函数 y = k 的图像与一次函数 y = mx + b 的图像交于 A(1，3) ， B(n，-1) 两点x（1）求反比例函数与一次函数的式；（2）根据图像回答：当 x 取，反比例函数的值大于一次函数的值MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 9 of 21yAxOB】（1） A(1，3) 在 y = k 的图像上，【x k = 3 ， y = 3x又 B(n，-1) 在 y = 3 的图像上，x n = -3

15、，即 B(-3，-1)3 = m + b： m = 1， b = 2 ，-1 = -3m + b反比例函数的式为 y = 3 ，x一次函数的式为 y = x + 2 .（2）从图像上可知，当 x -3 或0 x 1时，反比例函数的值大于一次函数的值.】见【）的图象与反比例函数 y = k （ k 为【例16】如图 7，已知一次函数 y = x + m （ m 为， k 0 ）12xA(1，3) 的图象相交（1） 求这两个函数的式及其图象的另一交点 B 的坐标；（2） 观察图象，写出使函数值 y1 y2 的自变量 x 的取值范围y3AxO1B【】（1）由题意，得3 = 1+ m ，m = 2 ，

16、所以一次函数的式为 y1 = x + 2 由题意，得3 = k ，1MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 10 of 21k = 3 ，所以反比例函数的式为 y = 3 2x由题意，得 x + 2 = 3 ，x = 1，x = -3 12x当 x2 = -3 时， y1 = y2 = -1 ，所以交点 B(-3，-1) （2）由图象可知，当-3 x 0 或 x 1时， 函数值 y1 y2 】见【14，已知 A(-4 ，n)，B (2 ，- 4) 是一次函数 y = kx + b 的图象和反比例函数 y = m【例17】如图的图象的两x个交点(1)求反比例函数

17、和一次函数的式；(2)求直线 AB 与 x 轴的交点C 的坐标及DAOB 的面积；(3)求方程 kx + b - m = 0 的解（请直接写出x）；(4)求不等式 kx + b - m = 0 的x（请直接写出）.yAxOB【】（1） B (2 ，- 4) 在函数 y = m 的图象上x m = -8 反比例函数的式为： y =- 8 x点 A(-4 ，n) 在函数 y =- 8 的图象上x n = 2 A(-4 ，2) y = kx + b 经过 A(-4 ，2) ， B (2 ，- 4) ， -4k + b = 2解之得k = -12k + b = -4b = -2一次函数的式为： y =

18、 -x - 2（2） C 是直线 AB 与 x 轴的交点MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 11 of 21当 y = 0 时， x = -2点C (-2 ，0) OC = 2+ S= 1 2 2 + 1 2 4 = 6 S= SDAOBDACODBCO22（3） x1 = -4 ，x2 = 2（4） -4 x 2】见【例18】如图，直线 y = kx + b 与反比例函数 y = k( 0 的.xMSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 12 of21y = mxyy = kx + bA1O-12xnB】（1） 反比例函数

19、 y = m 的图象过点 A（2，1），【x m=2. 点 B（-1，n）在反比例函数 y = 2 的图象上，x n = -2 . 点 B 的坐标为（-1，-2）. 直线 y = kx + b 过点 A（2，1），B（-1，-2），2k + b = 1,-k + b = -2.k = 1,b = -1.（2） -1 x 2 .】见【k2【例20】在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=k x+b 与反比例函数 y=的图象交于 A(1,6)，B(a,3)两点.1x（1）求 k 1 ， k 2 的值；（2）如图，点 D 在 x 轴上，在梯形 OBCD 中，BCOD,OB=DC,过点 C 作 C

20、EODE，CE 和反比例函数的图象交P，当梯形 OBCD 的面积为 18 时，求 PE：PC 的值.yACBPODxEMSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 13 of 21】（1）点 A(1,6),B(a,3)在反比例函数 y= k2 的图象上，x k 2 =16=6. a 3=6，a=2.B(2，3).由点 A(1,6),B(2,3)也在直线 y=k 1 x+b 上，【得k1 + b = 6,2k + b = 3,1k 1 =-3.k 1 =-3， k 2 =6.(2) 设点 P 的坐标为（m,n）.依题意，得1 3 （m+2+m-2）=18，m=6.2

21、C（6,3），E（6,0）.6 点 P 在反比例函数 y=的图象上，x n=1.PE ：PC=1：2 .】见【例21】如图，一次函数 y = kx + b (k 0)的图象与反比例函数 y = m (m 0)的图象交于 A(-3,1) ，B(2, n)x两点.（1） 求反比例函数和一次函数的（2） 求AOB 的面积式；yA1O2-31xB】（1） 反比例数 y = m (m 0)的图象经过 A(-3,1) ， B(2, n) 两点，（如图 2）【x m = -31 = -3 ， n = m = - 3 22式为 y =- 3 反比例函数xMSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02

22、讲教师版Page 14 of 21点 B 的坐标为 B(2，- 3)2 一次函数 y = kx + b (k 0)的图象经过 A(-3,1) ，B(2，- 3) 两点，2k =- 1 ,-3k + b = 1,22k + b = - 3 .1b =- .22 一次函数的式为 y = - 1 x - 1 22（2）设一次函数 y = - 1 x - 1 的图象与 x 轴的交点为 C，则点 C 的坐标为C(-1,0) 2211 3 = 5 =S+ S S=DAOBDACODCOB224【】见A ，与 y 轴交B ，与双曲线 y = 4 在第一象限内交x【例22】如图，直线 y = x + n 与

23、x 轴交C(m, 4) .（1） 求 m 和 n 的值；（2） 若将直线 AB 绕点 A 顺时针旋转15 得到直线l ，求直线l 的式.yCB1O-11xA-1】（1） y = 4 经过C(m, 4) ，【x m = 1 直线 y = x + n 经过点C (1,4) ，n = 3 （2）依题意，可得直线 AB 的式为 y = x + 3 直线 y = x + 3 与 x 轴交点为 A(-3,0) ，与 y 轴交点为 B(0,3) OA = OB . BAO = 45 .设直线l 与 y 轴相交于 D 依题意，可得BAD = 15. DAO = 30 .在 AOD 中， AOD = 90 ,t

24、an DAO = tan 30 = OD = OD =3 .3.OA3MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 15 of 21 点 D 的坐标为(0, 3).设直线l 的式为 y = kx + b(k 0) 3k =,b =3,3- 3k + b = 0.b =3. 直线l 的式为 y =3 x +33ylCBD1A-1O-1x1【】见【例23】如图，反比例函数 y = k （x0）的图象过点 Ax（1）求反比例函数的式；（2）若点 B 在 y = k （x0）的图象上，x式求直线 AB 的yABO1 26x】（1）反比例函数 y = k 的图像过点 A(2,

25、 3) ,【xk = 6反比例函数的式为 y = 6 ；x（2）点 B 在 y = 6 的图像上且其横坐标为 6，x点 B 的坐标为(6,1)式为 y = kx + b ，设直线 AB 的MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 16 of 21k =- 13 = 2k + b： ，2b = 41 = 6k + b直线 AB 的式为 y = - 1 x + 42【】见mx( x 0) 的图象上.【例24】如图，A、B 两点在函数 y =（1） 求m 的值及直线 AB 的式；（2） 如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（

26、不边界）所含格点的个数。yA6B1O16x】（1）由图象可知，函数 y = m （ x 0 ）的图象经过点 A(1，6) ，【x可得 m = 6 设直线 AB 的式为 y = kx + b A(1，6) ， B(6，1) 两点在函数 y = kx + b 的图象上，k + b = 6，k = 1， 6k + b = 1.b = 7.式为 y = -x + 7 直线 AB 的（2）图中阴影部分（不边界）所含格点的个数是3yA6B1O16x【】见= k (k为x【例25】已知一次函数 y = x + b(b为，且k 0) 的图像相）的图像与反比例函数 y12P(3,1)交MSDC 模块化分级讲义体

27、系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 17 of 21（1）（2）求这两个函数的当 x 3 时，试式；y1 与 y2 的大小，并说明理由。】（1） 点 P(3,1) 在一次函数 y1 = x + b 的图像上，【 1 = 3 + b ，一次函数的b = -2 。式为 y1 = x - 2 。点 P(3,1) 在反比例函数 y = k 的图像上，2x 1 = k ，k = 33= 3x反比例函数的式为 y2（2） y1 y2 。理由如下： 当 x = 3 时， y1 = y2 = 1，又当 x 3 时，一次函数 y1 随 x 的增大而增大，反比例函数 y2 随 x 的增大而减小，当 x

28、 3 时， y1 y2】见【课后作业【习题1】已知点 P (1 ， a )在反比例函数( k 0 )的图像上，其中 a = m2 + 2m + 3 ( m 为实数)，则这个kxy =函数的图像在第象限.】点 P (1 ， a )在反比例函数 y = k 的图像上， a = k = k .【x1又 a = m2 + 2m + 3 = (m +1)2 + 2 2 . k = a 2 0 .反比例函数 y = k ( k 0 )的图像在第一、三象限.x【】见【习题2】已知三角形的面积一定，则它底边 a 上的高 h 与底边 a 之间的函数的图象大致是（）MSDC 模块化分级讲义体系初中数学反比例函数第 02 讲教师版Page 18 of 21bbbbOaOaOaOaABCD】根据题意可知： h = 2s 且 s 0 的【，又因为线段的长度非负且 a0，此反比例函数的图像在a第一象限。故选 D.】见【习题3】如图，点 A 、 B 在反比例函数 y = k ( k 0 )的图象上，且点 A 、 B 的横坐标分别为a 和x2a ( a 0 ) AC x 轴，垂足为C ， DAOC 的面