特殊平行四边形：证明题

1、5如图，在 ABC中,ABAC D是BC的中点，连结 AD在AD的延长线上取一点E,连结BE CE(1)求证： ABE ACEABEC是菱形？并说明理由基础篇特殊平行四边形之证明题题型一：菱形的证明1、如图，在三角形ABC中，AB > AC , D、E分别是AB、AC上的点， ADE沿线段DE翻 折，使点A落在边BC上，记为A 若四边形 ADAE是菱形，则下列说确的是()a. DE是厶ABC的中位线b.AA是BC边上的中线C. AA是BC边上的高d.AA是厶ABC的角平分线2. 已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将 ABE沿BC方向平移，使点e与点C重 合，得 GFC .H)

2、求证：BE DG ;(2)若 B 60°当AB与BC满足什么数量关系时，四边形 ABFG是菱形？证明你的结论.3、将平行四边形纸片 ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D'处, 折痕为EF .(1) 求证： ABE AD 'F;(2) 连接CF，判断四边形 AECF是什么特殊四边形？证明你的结论.4. 如图， ABC中，AC的垂直平分线 MN交AB于点D,交AC于点O, CE/ AB交MN于E,连结AE、CD . ( 1)求证：AD = CE; ( 2)填空：四边形 ADCE的形状是 6如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把 ACD沿CA方向平移得到

3、ACD(1)证明 AAD CCB ;(2)若 ACB 30°，试问当点C在线段AC上的什么位置时，四边形 ABC D是菱形，并请说明理由.7在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， AB 5, AC 6 .点 BC的延长线于点E.(1)求 BDE的周长；A a(2)点P为线段BC上的点，连接 PO并延长交AD于点Q 求证：BPQ .D/ AC 交（第 B198 如图，在 ABC中，/ A、/ B的平分线交于点 D DE" AC交BC于点E，DF” BC交AC于点F. (1 )点D是厶ABC勺心；(2)求证：四边形 DEC为菱形.9、如图，已知：在四边形ABFC中,AC

4、B =90 , BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE(1)试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形； 当 A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.(特别提醒：表示角最好用数字) 10、如图，矩形 ABCD中，O是AC与BD的交点，过 O点的直线EF与AB，CD的延长线分别 交于 E，F . (1)求证： BOEDOF ；(2)当EF与AC满足什么关系时，以 A, E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.型二：正方形的证明题1、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接 AE、CG.(1)求证：AE=CG;( 2)观察图形，猜想 AE与C

5、G之间的位置关系，并证明你的猜想(2)2、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边FG与BC 交于点H (如图)试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜 想.4、如图12, B、C E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形连接BG DE. (1)观察猜想BG与 DE之间的大小关系，并证明你的结论(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指岀，并说岀旋转过程；若不存在,请说明理由5. 如图，四边形 ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE丄AG于点E，BF丄AG于点F.(1) 求证：DE BF =

6、EF .(2) 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).7、已知：如图，在正方形 ABCD中, G是CD上一点，延长 BC到E，使CE= CQ连接BG并延长交DE于F.(1) 求证： BCG DCE(2) 将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到 DAE，判断四边形E' BGD是什么特殊四边形？并说明理由.9.如图：已知在 ABC中，AB AC , D为BC边的中点，过点D作DE丄AB, DF丄AC , 垂足分别为E, F .(1

7、) 求证： BED CFD ;(2) 若 A 90°求证：四边形 DFAE是正方形.AD题型五：矩形的证明题1.如图，在 ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF=BD，连结 BF。(1) 求证：BD = CD;(2) 如果AB=AC，试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论。2.如图，在梯形ABCD中，AD / BC，AB / DE，AF / DC，E、F两点在边BC上，且 四边形AEFD是平行四边形.(1) AD与BC有何等量关系？请说明理由；(2) 当AB DC时，求证： ABCD是矩形.3如图，四边形ABCD是矩形，

8、 PBC和厶QCD都是等边三角形，且点 P在矩形上方，点 Q在矩形. 求证：(1)Z PBA= / PCQ=30° ;( 2) PA=PQ.DB4.如图， ABC 中，AB=AC, AD、AE 分别是/ BAC 和/ BAC 和 外角的平分线，BE丄AE .( 1)求证：DA丄AE;( 2)试判断 AB与 DE是否相等？并证明你的结论.5、如图，在 ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点 C作直线MM BC设M交/ BC的角平分线于点E,交 / BCA勺外角平分线于点F.(1)求证：EGFO ( 2)当点O运动到何处时，四边形 AEC是矩形？并证明你的结论.6、如图，在 ABC中，

9、D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点 A作BC的平行线交 BE的 延长线于F，且AF DC，连接CF .(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB AC，试猜测四边形 ADCF的形状，并证明你的结论.题型六：综合证明题2.如图所示，在 Rt ABC中，/ ABC 90 .将Rt ABC绕点C顺时针方向旋转 60得到 DEC，点E在AC上，再将Rt ABC沿着AB所在直线翻转180得到 ABF .连接AD.(1)求证：四边形AFCD是菱形；么？3如图， ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN / BC ,设MN交 BCA的 平分线于点E，交 BCA的外角平分线于点 F (1) 探究

10、：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2) 当点0在边AC上运动时，四边形 BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3) 当点0运动到何处，且 ABC满足什么条件时，四边形 AECF是正方形？N5、如图15,平行四边形 ABCD中，AB AC，AB 1，BC .5 对角线AC，BD相交于点0 ,将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F (1) 证明：当旋转角为 90：时，四边形ABEF是平行四边形；(2) 试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等；(3) 在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0

11、顺时针旋转的度数.选讲四边形证明经典题1.在口 ABCD中，AC、BD交于点O,过点0作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条 边于 E、G、F、H 四点，连结 EG、GF、FH、HE.(1) 如图，试判断四边形 EGFH的形状，并说明理由；(2) 如图，当 EF丄GH时，四边形EGFH的形状是(3)(4)如图，在(2)的条件下，若 AC=BD，四边形EGFH的形状是 如图，在(3)的条件下，若 AC丄BD,试判断四边形 EGFH的形状，并说明理由.(第 1题图)2.已知：如图，在正方形ABCDK点E、F分别在BC和CDk,AE =AF.(1) 求证：BE = DF;(2) 连接AC交EF于点

12、O延长0C至点M使0M= OA连接EM FM判断四边形 AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.FD MG3. 如图， ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点(不与 点B重合)，连结AD ,作BE AD ,垂足为E ,连结CE ,过点E作EF CE，交BD于F .(1)求证：BFFD ;(2)A在什么围变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；(3)A在什么围变化时，线段1DE上存在点G，满足条件DGDA，并说明理由44. 如图，等腰梯形 ABCD中, AD/F、H分别是BE、BC CE的中点.(1) 试探索四边形EGFH的形状，并说明理由. B 若 中的菱形EGF

13、H是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论.（第 25 S）5.如图所示，在 ABC中，分别以 AB AC BC为边在BC的同侧作等边 ABD等边 ACE等边 BCF 求证：四边形 DAEF是平行四边形; 当AABC满足 当AABC满足 当AABC满足 存在.（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明条件时，四边形 DAEF是矩形；条件时，四边形 DAEF是菱形；（第29题图）条件时，以D A、E、F为顶点的四边形不6如图，已知正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O, E是AC上一点，过 A作AG 丄EB于G , AG交BD于点F,贝U OE= OF,对上述命题，

14、若点 E在AC的延长线上，AG 丄EB，交EB的延长线于点 G , AG的延长线交DB的延长线于点 F,其它条件不变，则结 论"OE= OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由。AEBEFCBFGCDGAHk （ k >o），阅读卜列材料，然后回答卜面的冋题：HD7、在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA上的点，且如上图，连结 BD/ 些=如, 匹=GC EH / BD , FG/ BDBE HD BF DG 连结AC,则EF与GH是否一定平行，答：; 当k值为时，四边形EFGH是平行四边形； 在的情形下，对角线 AC和BD只需

15、满足条件时，EFGH为矩形； 在的情形下，对角线 AC和BD只需满足条件时，EFGH为菱形；8如图，E、F分别是正方形 ABCD的边AB、BC上的点，且 EF / AC ,在DA的延长线上 取一点G,使AG = AD , EG与DF相交于点H。求证：AH = AD。9、如图，等腰梯形 ABCD中，AB / CD ,对角线 AC、BD相交于点 0, / ACD = 60°,点S、 P、Q分别是OD、OA、BC的中点。(1) 求证： PQS是等边三角形；(2) 若 AB = 8, CD = 6，求 S pqs 的值。(3) 右 S pqs : S aod = 4 : 5，求 CD : AB 的值。10将一把三角尺放在边长为 1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点 P在对角线AC上滑 行，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC相交于点Q。探究：设A、P两点间的距离为X。(1) 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的关系？试证明你观察得 到的结论；(2) 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y ,求y与X之间的函数关