洛伦兹变换的详细推导

1、精品第三节洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导xx vt12v cyyzzttvx c212v c或xvtx1v c 2yyzztvx c2t1v c 2据狭义相对论的两个基本假设 来推导洛仑兹变换式。1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时

2、空坐标间的变换必须是线性的。对于任意事件 P 在 S 系和S'系中的时空坐标 (x，y，z，t )、(x' ， y' ， z' ，t') ，因 S' 相对于S 以平行于 x 轴的速度 v 作匀速运动，显然有 y'=y, z'= z。感谢下载载精品在 S 系中观察 S 系的原点，x= 0；在 S'系中观察该点，x'= - vt' ，即 x'+ vt'= 0。因 此 x= x'+ vt'。在任意的一个空间点上，可以设：x= k （ x '+ vt'），k 是 比例

3、常数 。同样地可得到： x'= k'（x- vt ）= k'（ x+ (- v )t）根据相对性原理，惯性系 S 系和 S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以 k= k'。2. 由光速不变原理可求出常数 k设光信号在 S 系和 S'系的原点重合的瞬时从重合点沿 x 轴前进，那么在任一瞬时（t 或 t' ），光信号到达点在 S 系和 S'系中的坐标分别是：x= ct, x'= ct'，则：xx c2ttk 2 x vt x vtk 2 ct vt ct vtk 2tt c2v2kc1c2v21

4、v c2由此得到。xxvtxxvt这样，就得到1v c21v c2。 由上面二式，消去 x'，tvx c2ttvxc2tv c 221；若消去 x 得到1v c得到，综合以上结果，就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换感谢下载载精品xx vtxxvt1v c 21v c 2yyyyzzzzttvx c2ttvx c21v c 21v c 2可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。3. 讨论（ 1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。（ 2）当 |v/ c|

5、< < 1 时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形低速极限。四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。ux , uy , uz，ux ,uy ,uz，根据洛仑兹变设物体在 S、S'系中的的速度分别为换式可得：dxdxvdtdx dtv dtux v dt1 v c 21 v c 21 v c 2dtdtvdx c2dt 1vux c21v c 21v c 2dxuxv dtdt 1vuxc2uxux vdt1 v c 21 v c 21

6、 vux c2因此：，即：dydydt 1vux c2因 y'= y,z'= z ， 有 dy'= d y, dz'= d z则dt1v c 2， 即感谢下载载精品u y1v c 2uzuyvuxc21。同理：因此得相对论的速度变换公式：2uz 1v c21vux cuxuxvuyuy 1 v c 2uzuz 1 v c 21 vuxc21 vuxc21 vux c2、其逆变换为：uxv2uz 1 v c 2uxuyuy 1 v cuz1 vuxc21 vuxc21 vux c2、。讨论（ 1）当速度 u 、 v 远小于光速 c 时，即在非相对论极限下，相对论的

7、速度变换公式即转化为伽利略速度变换式 uxuxv 。（ 2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是 c 。证明：设 S'系中观察者测得沿 x' 方向传播的一光信号的光速为 c，在 S 系中的观察者uxcvc1vc c2测得该光信号的速度为：，即光信号在 S 系和 S'系中都相同。第四节狭义相对论的时空观一、一、同时的相对性1. 概念狭义相对论的时空观认为： 同时是相对的。 即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。如图设 S 系

8、为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。当灯发出闪光时：S 系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、B 两端；S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v、c 反向）， B 与光同向运动，所以光先到达 A 再到达 B，不同时到达。感谢下载载精品结论：同时性与参考系有关 这就是同时的相对性。假设两个事件 P1 和 P2，在 S 系和 S 系中测得其时空坐标为：S： x1，y1，z1，t1 ，x2，y2，z2，t2S：x1，y1，z1，t1 ，x2，y2，z2，t2由洛伦兹变换得：t1t1vx1 c2，t2t2v x2 c21v c 21v c 2在 S 系和

9、S 系中测得的时间间隔为 t2t1 和（t 2- t 1），它们之间的关系为：t2tv x2x c2t2t1111v c 2可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。2. 讨论（1）在 S 系中同时发生： t2= t1，但在不同地点发生， x2x1 ，则有：v xx2c21t2 t1v c 21这就是同时的相对性。在 S 系中同时发生：t2= t1，而且在相同地点发生，x2x1，则有：（2）感谢下载载精品t2tx2x v c2t1 t2t1110， t2t11v c 2x2x2x1v t2t10，x2x1x11v c 2即在 S 系中同时同地点发生的两个事件，在

10、S系 中也同时同地点发生。（ 3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后假设在 S 系中， t 时刻在 x 处的质点经过t 时间后到达 xx 处，则由：tx v c2t1v c 2得到tx v c2t 1 u v c2xtv c 21 v c 2u1t因为 vc，u c，所以t 与 t 同号 。 即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。（4 ）上述情况是相对的。同理在 S系中不同地点同时发生的两个事件，在 S系看来同样也是不同时的。（ 5）当 v c 时， tt ，回到牛顿力学。二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒 A B 静止于 S系 中 lx2x1 ，在 S 系中同时 t1t2t 测量得 l

11、x2 x1 。 由洛伦兹坐标变换式：感谢下载载精品x1x1vt1，x2x2vt21v c 21v c 2得：x2x1x2x1v t2 t1x2x11v c 21v c 2即ll 1v c 21. 固有长度观察者与被测物体相对静止时， 长度的测量值最大， 称为该物体的固有长度（或原长），用 l 0 表示。即ll01v c 22. 洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的21 v c 倍，即物体沿运动方向缩短了， 这就是洛伦兹收缩 （长度缩短）。讨论：（ 1）长度缩短效应具有相对性。若在 S 系中有一静止物体，那么在 S 系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动

12、方向缩短，同理有2ll1v c即看人家运动着的尺子变短了。（ 2）当 v<< c 时，有 ll三、时间膨胀（时间延缓）t2tv x2x c2t2 t1111v c 2由洛伦兹变换得，事件 P1、P2在 S 系中的时间间隔为 tt2t1 ，事件 P1、 P2 在 S系 中的时间间隔为 tt2 t1 。如果在 S系 中两事件 同地点 发生，即 x2x1 ，则有：感谢下载载精品t2t1tt t2 t1v c 21 v c 211. 固有时间（原时）的概念在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用0 表示，且：t01v c 2。2. 时间膨胀在 S 系看来

13、：t0 ，称为时间膨胀。3. 讨论（ 1）时间膨胀效应具有相对性 。若 在 S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为 t（称为原时），则同理有tt1 v c 2就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。（ 2）当 vc 时，有 tt（3）实验已证实子， 介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。例 1:在惯 性系 S 中 ，有 两个事件 同时 发生 ， 在 xx 轴上 相距1.0103 m 处，从另一惯性系 S 中观察到这两个事件相距 2.0103 m 。问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少？解 ： 由 题 意 知 ， 在 S 系 中 ， t 2，tt 2t10 ，t1 ， 即x2x11.0 103 m 。 而在 S系 看来，时间间隔为 tt2t1 ，空间间隔为x2x12.0 103 m。由洛伦兹坐标变换式得：感谢下载载精品x2x2x1v t2t1x2x11x11v c 21v c 2t2tv xxtt2t11c2211v c 2vx1x2vc2x1x221v c 2c221 21 23 cv 1x2x12c 1 1由（ 1）式得x2x142t3210331035.7710 6s代入（2）式得2c3103例 2:半人马星座 星是离太阳系最近的恒星， 它距地球为 4.31016m 。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座 星之间。若宇宙飞船的