北京大学数学物理方法经典课件第十四章——格林函数法

1、 格林（格林（GreenGreen）函数）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和的一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法初始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场计算出任意源所产生的场 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一 14.1 14.1 格林公式格林公式T上具有连续一阶导数上具有连续一阶导数, 在区域在区域 及其边界及其边界 ( )u r( )v r和 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理中

2、具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理TdddTTdivASA V =A V(14.1.1) 单位时间内流体流过边界闭曲面单位时间内流体流过边界闭曲面S S的流量的流量单位时间内单位时间内V V内各源头产生的流体的总量内各源头产生的流体的总量 将对曲面将对曲面 的积分化为体积分的积分化为体积分 d()dddTTTuuVuVuVSvvvv(14.1.2)()uvu vu v 以上用到公式称上式为称上式为第一格林公式第一格林公式同理有同理有 d()dddTTTuuVu Vu VSvvvv(14.1.3) 上述两式相减得到上述两式相减得到 () d()dTuuuuV Svvvvn表示沿边界表示沿边

3、界 的外法向偏导数的外法向偏导数称式（称式（14.1.414.1.4）为）为第二格林公式第二格林公式进一步改写为进一步改写为()d()dTuSuuVn vuvvvn（14.1.4） 14.2 14.2 泊松方程的格林函数法泊松方程的格林函数法讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题 泊松方程泊松方程 ( )( ) uf rr(14.2.1) 边值条件边值条件 ()uunr（14.2.2） ()r是区域边界是区域边界 上给定的函数上给定的函数. 是第一、第二、第三类边界条件的统一描述是第一、第二、第三类边界条件的统一描述 典型的泊松方程（三维稳定分布）边值

4、问题典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题 ( )( )()ufuun rrr(14.2.3)n表示边界面表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数上沿界面外法线方向的偏导数 一、格林函数的引入及其物理意义一、格林函数的引入及其物理意义 引入：为了求解定解问题（引入：为了求解定解问题（14.2.314.2.3），我们必须定义一个与此），我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数定解问题相应的格林函数 0( ,)G r r它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件： ( ,)()0GGGn 00r rrr（14.2.4） ()0rr代表

5、三维空间变量的代表三维空间变量的 函数函数，在直角坐标系中其形式为，在直角坐标系中其形式为 0000()() () ()xxyyzzrr（14.2.414.2.4）式中）式中函数前取负号是为了以后构建格林函数方便函数前取负号是为了以后构建格林函数方便格林函数的物理意义格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T内） 0r处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, , 那么那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)(14.2.4)的的解解格林函数由此可以进一步理解通常人们为什么称

6、格林格林函数由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数函数为点源函数 格林函数互易定理格林函数互易定理： 因为格林函数因为格林函数 0( ,)G r r代表代表 0r处的脉冲（或点源）在处的脉冲（或点源）在 r处所产生的影响（或所产生的场）处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离所以它只能是距离 0|rr的函数的函数, 故它应该遵守如下的互易定理故它应该遵守如下的互易定理：00( ,)()GG,r rr r（14.2.5） 根据格林公式（根据格林公式（14.1.414.1.4） 令令0( ,)Gr rv得到得到 ( )( ( ) d( ( )( )dTGuuGSuGG uVn

7、rrrrn（14.2.6） 即为即为0( ) d( )( )d( )( ) ()dTTuGGuSG uuGVnGfuV rrrrrrrn (14.2.7)根据根据函数性质有函数性质有： 00( ) ()d( )TuVurrrr (14.2.8)故有故有 0000( ,)( )( ,) ( )d ( ,)( )dTGuuGfVGuSnr rr)rr rrr rrn (14.2.9)称式称式(14.2.9)(14.2.9)为为泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式 0000000000( ,)( )( ,) ( )d ( ,)( )dTuGuGfVGuSnr )r rrr rrr rrn格林

8、函数满足互易定理格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到并利用格林函数的对称性则得到 （14.2.10） 二、二、解的基本思想解的基本思想 通过上面解的形式（通过上面解的形式（14.2.914.2.9）我们容易观察出引用格林函数）我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程的目的：主要就是为了使一个非齐次方程(14.2.1)(14.2.1)与任意边值与任意边值问题（问题（14.2.214.2.2）所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值）所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题（问题（14.2.414.2.4）. . 一般后者的解容易求得，通（一般后者的解容易求

9、得，通（14.2.914.2.9）即可）即可求出（求出（14.2.114.2.1）和（）和（14.2.214.2.2）定解问题的解）定解问题的解 考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下： 1.第一类边值问题第一类边值问题：( )( )|( )ufu rrr（14.2.11） 相应的格林函数相应的格林函数0( ,)G r r是下列问题的解是下列问题的解：000( ,)( -)( ,)|0 GG r rr rr r （14.2.12） 考虑到格林函数的考虑到格林函数的齐次边界条件齐次边界条件，由公式（由公式（14.2.914.2.9）可得可得第一类边值问题的解 0

10、00( ,)( )( ,) ( )d( )dTGuGfVSnr rrr rrr （14.2.13）另一形式的另一形式的第一类边值问题的解第一类边值问题的解 000000( ,)( )( ,) ( )d( )dTGuGfVS0nr rrr rrr (14.2.14)2.第二类边值问题第二类边值问题 ( )( )|()pufun rrr相应的格林函数相应的格林函数0( ,)G r r是下列问题的解是下列问题的解：（14.2.15）000( ,)( -)( ,)|0GGn r rr rr r （14.2.16）由公式（由公式（14.2.914.2.9）可得）可得第二类边值问题解第二类边值问题解 00

11、0( )( ,) ( )d( ) ( ,)dTuGfVGSrr rrrr r （14.2.17） 3.第三类边值问题第三类边值问题 ( )( ) ()pufuun rrr 相应的格林函数相应的格林函数0( ,)G r r是下列问题的解是下列问题的解：（14.2.18）000( ,)( -)( ,) 0GGGn r rr rr r（14.2.19） （14.2.1814.2.18）的）的边值条件边值条件，两边同乘以格林函数，两边同乘以格林函数G（14.2.1914.2.19）的边值条件的两边同）的边值条件的两边同乘以乘以函数函数u得得 0GuGn相减相减得到得到uGGuGnn ()puGuGnr

12、代入（代入（14.2.914.2.9）得到）得到第三类边值问题的解第三类边值问题的解 0001( )( ,) ( )d( ,)dTuGfVGSrr rrr)r r (14.2.20) 利用利用格林函数的互易性格林函数的互易性则得到则得到 000001( )( ,) ( )d( )( ,)d0TuGfVGSrr rrrr r(14.2.21) 这就是第三边值问题解的积分表示式这就是第三边值问题解的积分表示式右边第一个积分表示区域右边第一个积分表示区域 T中分布的源中分布的源 0()f r在在r点产生的场的总和点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对第二个积分则代表边界上的状况对r 点场

13、的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场场 对于对于拉普拉斯方程拉普拉斯方程 0()0fr第一边值问题的解第一边值问题的解为为0000( ,)( )( )dGuS r rrrn (14.2.22)第三边值问题的解第三边值问题的解为为0001( )( ) ( ,)duGSrrr r (14.2.23)14.3 14.3 无界空间的格林函数无界空间的格林函数 基本解基本解无界区域无界区域这种情形公式（这种情形公式（14.2.1014.2.10）中的）

14、中的面积分面积分应为应为零零，故有，故有 0000( )( ,) ( )dTuGfVrr rr (14.3.1) 选取选取( )u r和和0( ,)G r r分别满足下列方程分别满足下列方程 ( )( )uf rr (14.3.2) 00( , )( - )Gr rr r (14.3.3) 一、三维球对称一、三维球对称对于对于三维球对称三维球对称情形，我们选取情形，我们选取 00r对（对（14.3.314.3.3）式两边在球内积分）式两边在球内积分 ( ,0)d( )dTTGVV rr （14.3.4）( )d1TVr （14.3.5）利用利用高斯定理高斯定理（14.1.114.1.1）得到）

15、得到 2( ,0)d( ,0)d( ,0) dsin d dTTSSGGVGVGrr rrrS (14.3.6) 故有故有 2sin d d( ,0)d1STGrGVr r使上式恒成立使上式恒成立，有，有 2( ,0)41Grr r 1( ,0)4Gcrr r 0G 因此因此0c ，,故得到故得到 1(, 0 )4 Grr对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001( ,)4|Gr rrr （14.3.7） 代入代入 （14.3.114.3.1）得到）得到三维无界区域问题的解三维无界区域问题的解为为00T00( )1( )d4|fuVrrrr （1

16、4.3.8） 上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式 二、二维轴对称情形二、二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即，即因为( ,0)d( )dTTGVV rr( )d1TVr( ,0)d( ,0)d( ,0) dTTSGVGVG rrrS由于由于 ,rGGGre只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的圆柱体上、下底的面积分为零面积分为零，只剩下沿，只剩下沿侧面的积分侧面的积分，即，即 d d( )d1TGrzVr r选取的选取

17、的圆柱的高度圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果为单位长，则很容易得到下面的结果 12Grr 11( ,0)ln2Gcrr令令积分常数为积分常数为0 0，得到，得到 11( ,0)ln2Grr因此二维轴对称情形的格林函数为因此二维轴对称情形的格林函数为0011( ,)ln2|Gr rrr （14.3.9） 将（将（14.3.914.3.9）代入式（）代入式（14.3.114.3.1）得到）得到二维无界区域的解二维无界区域的解为为000011( )( )lnd2|SufS|rrrr14.4 14.4 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的用格林函数法求解的主要困难主要困

18、难还在于还在于如何确定格林函数本身如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 一、电像法定义一、电像法定义 考虑一个具体的考虑一个具体的物理模型物理模型：设在一接地导体球内的：设在一接地导体球内的 0M放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点对于对于第一类边值问题第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解，其格林函数可定义

19、为下列定解问题的解000( ,)( -)( ,)|0GG r rr rr r （14.4.1） 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像边界外像点（或对称点）点（或对称点）放置放置一个合适的负电荷，这样才能使这两一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零个电荷在界面上产生的电势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所，所以我们称这种构建方法为以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）电像法（也称为镜像法） 二、二、 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一

20、边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型物理模型：若在：若在 000(,)Mx y处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设的则虚设的负负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 100(,)Mxy于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoyxoy 的上半平面的的上半平面的电位分电位分布布也就是本问题的格林函数，即为也就是本问题的格林函数，即为 0010022220000220022001111( ,)lnln2|2|1111( ,|,)lnln22()()()()()()1 ln4()()GG x y xyxxyyxxyyxxyyxxyyr

21、 rrrrr （14.4.2） 据上述据上述物理模型物理模型可求解下列定解问题可求解下列定解问题 例例1 1 定解问题：定解问题： 00, (0)|( ) xxyyyuuyux解：解： 根据根据第一边值问题第一边值问题，构建的格林函数满足，构建的格林函数满足 200() ()xxyyGGGxxyy 0|0yG0000(,),(,)xyxy处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源） 构构建格林函数为建格林函数为 2200002200()()1( ,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy边界外法线方向为负边界外法线方向为负y轴，故有轴，故有 00

22、00222222000000111|=2 () () ()yyyyGGnyxxyxxyxxy 代入到代入到拉普拉斯第一边值问题拉普拉斯第一边值问题解的公式（解的公式（14.2. 1314.2. 13），拉普拉），拉普拉斯方程的斯方程的自由项自由项0f ,则由则由000( ,)( )( ,) ( )d( )dTGuGfVSr rrr rrrn得得 0002200( )(,)d()yxu xyxxxy (14.4.3)或代入或代入拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题的解公式（的解公式（14.2.2214.2.22）0000( ,)( )( )dGuS r rrrn得到00220()

23、( , )d()g xyu x yxxxy (14.4.4) 公式（公式（14.4.314.4.3）或（）或（14.4.414.4.4）称为）称为上半平面的拉普拉斯积分上半平面的拉普拉斯积分公式公式三、三、 泊松方程的第一边值问题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例2 2 定解问题：定解问题： ( , ) ( + ,0)( ,0)( ) ( + ,0)xxyyuuf x yxyu xxxy 根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式(14.2.14)得到 000000000000( ,)( , )( , ;,) (,)d d()|dyGu x yG x y xyf xyxyxx 0nr

24、r （14.4.514.4.5）根据根据半平面区域第一类边值问题的格林函数半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)(14.4.2)式式，得到，得到 2200002200()()1( ,|,)ln4()()xxyyG x y xyxxyy (14.4.6) 因为边界上的法线为负因为边界上的法线为负y y轴，轴，故故 002200|()yyGGnyxxy (14.4.7)将（将（14.4.614.4.6）和）和(14.4.7)(14.4.7)代入（代入（14.4.514.4.5）得到泊松方程在）得到泊松方程在半平半平面区域第一边值问题的解面区域第一边值问题的解22000000002222

25、0000()()()11( , )ln (,)d dd4()()()xxyyyxu x yf xyxyxxxyyxxy 四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物理模型物理模型: : y z x 0000(,)Mx y z 1000(,)M x yz ( , , )M x y z 图 14.1 例例.3.3 在上半空间0z内求解拉普拉斯方程的内求解拉普拉斯方程的第一边值问题第一边值问题 00,(0)|( , )xxyyzzzuuuzux y解：解：构建格林函数构建格林函数000( , , ,)G x y z xyz满足满足0000() () ()

26、|0 zGxxyyzzG 00111( ,)4|4|Gr rrrrr根据根据物理模型和无界区域的格林函数物理模型和无界区域的格林函数可以构建为可以构建为022222200000011( , )4 ()()()4 ()()()Gx xyyz zx xyyzzr r (14.4.8) 即有 为了把为了把0( ,)G r r代入代入拉普拉斯拉普拉斯第一边值问题第一边值问题的解的公式（的解的公式（14.2.2214.2.22），），需要先计算需要先计算000|zGn即为即为000|zGz 000000222000002220000222 3/200|11 ()4()()()1 +()|()()()1

27、=2()()zzzGGnzzxxyyzzzxxyyzzzxxyyz代入代入 （14.2.2214.2.22）即得到）即得到 0000222 3/200(,)( , , )d d2()()g xyzu x y zx yxxyyz 这公式叫作这公式叫作半空间的拉普拉斯积分半空间的拉普拉斯积分 （14.4.9）五、五、 圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型物理模型2 2：在圆内任找一点 0()M 1R P 2R 1M 图 14.2 x 00()M 放置一个单位根据图根据图14.214.2，这两线电荷在圆内任一观察点，这两线电荷在圆内任一观察点( )P 所产生的所产生的电势电势为为0111lnln2|2|ucb 当观察点当观察点P位于圆周上位于圆周上()a时，应该有时，应该有0u ，即满足即满足第一类齐次边值条件第一类齐次边值条件|0u, 即为即为2222001ln2cos()ln2cos()044aaababc上式应对任何上式应对任何值成立，所以上式对值成立，所以上式对的的导数应为零导数应为零，即，即