区间估计与假设检验

1、双侧置信区间双侧置信区间设设X分布函数为分布函数为F(x; ), 未知，给定未知，给定 (01),若由样本若由样本 X1,X2, ,Xn确定的两个确定的两个统计量统计量),.,(),.,(212211nnXXXXXX和1)(21P满足的为参数则称随机区间),(21置信度为置信度为1- 的的置信区间置信区间。单侧置信区间单侧置信区间设设X分布函数为分布函数为F(x; ), 未知，给定未知，给定 (01),若由样本若由样本 X1,X2, ,Xn确定的统计确定的统计量量),.,(211nXXX1)(1P满足的为参数则称随机区间),(1置信度为置信度为1- 的的单侧置信区间单侧置信区间。称为单侧置信下

2、限1单侧置信区间单侧置信区间设设X分布函数为分布函数为F(x; ), 未知，给定未知，给定 (01),若由样本若由样本 X1,X2, ,Xn确定的统计确定的统计量量),.,(212nXXX1)(2P满足的为参数则称随机区间),(2置信度为置信度为1- 的的单侧置信区间单侧置信区间。称为单侧置信上限2区间估计区间估计对于给定的置信度，根据样本来确定未对于给定的置信度，根据样本来确定未知参数知参数的置信区间，称为未知参数的置信区间，称为未知参数的的区间估计区间估计。求双侧置信区间的步骤求双侧置信区间的步骤(1) 根据题意，根据题意，构造分布已知、含参数构造分布已知、含参数、 不含其它未知参数的样本

3、函数不含其它未知参数的样本函数U，且，且U 充分包含已知信息；充分包含已知信息；(2) 给定置信度给定置信度1-，定出常数，定出常数a,b，使，使 PaUb= 1-；(3) 将将aU1.96,拒绝拒绝H0。即。即) 1 , 0(/NnX(2) 右侧检验右侧检验:检验假设检验假设H0:0, H1: 0 ) 1 , 0(/NnXunXP/nXnXU/0unXPunXP/0,0HuU拒绝当否则否则,接受接受H0.2已知时已知时的假设检验的假设检验(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0:0, H1: 0 ,),1(0HntT拒绝当否则否则,接受接受H0.) 1(/ntnSX) 1(/ntnSX

4、PnSXnSXT/0) 1(/) 1(/0ntnSXPntnSXP2未知时未知时的假设检验的假设检验(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0:0, H1: 3.25476. 2269. 0)25. 3399. 3(20/0nSXT73. 1) 1(,20,05. 0ntnT =2.4761.73,拒绝拒绝H0。已知时已知时2的置信区间的置信区间niNXi,.,2 , 1) 1 , 0()(2212nXnii2)(2)(221212221nXPnXPniinii1)()(2221221nXnPnii1)()()()(2211222212nXnXPniinii即得即得2的置信区间的置信区间)

5、()(,)()(221122212nXnXniinii例例6. 一批钢筋的一批钢筋的20个样品的屈服点为：个样品的屈服点为：4.98 5.11 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.385.46 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54 5.20 设屈服点服从正态分布设屈服点服从正态分布N(5.21,2),求屈服点求屈服点 总体方差总体方差2的置信度为的置信度为95的置信区间。的置信区间。解：解：代入得查表,59. 9)20()(,17.34)20()(05. 095. 01,21. 5,202975. 02212025

6、. 022nnn2的置信区间为的置信区间为(0.027,0.096).已知时已知时2的假设检验的假设检验(1) 双侧检验双侧检验:检验假设检验假设H0: 2= 02)()(1221202nXnii2)(2)(2212222nPnP,),()(02212222Hnn拒绝或当否则否则,接受接受H0.(2) 右侧检验右侧检验:检验假设检验假设H0: 202)(22nP,),(022Hn 拒绝当否则否则,接受接受H0.已知时已知时2的假设检验的假设检验(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0: 2 02)(212nP,),(0212Hn 拒绝当否则否则,接受接受H0.已知时已知时2的假设检验的假

7、设检验例例7.设维尼纶纤度在正常生产条件下服从设维尼纶纤度在正常生产条件下服从 N(1.405,0.0482)，某日抽出，某日抽出5根纤维，根纤维， 测得其纤度为：测得其纤度为： 1.32 1.36 1.55 1.44 1.40 问这一天生产的维尼纶的纤度的方差问这一天生产的维尼纶的纤度的方差 是否正常？（是否正常？（=0.10）解：解：H0: 2=0.048267.13)(1512202iiX07.11)5(,145. 1)5(2205. 095. 02=13.6711.07,拒绝拒绝H0。未知时未知时2的区间估计的区间估计) 1() 1(2222nSn2) 1() 1(2) 1() 1(2

8、21222222nSnPnSnP1) 1() 1() 1(2222221nSnnP1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP即得即得2的置信区间的置信区间) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn例例8.从一批服从正态分布从一批服从正态分布N(,2)的零件中随的零件中随 机抽取机抽取16个，分别测得其直径为：个，分别测得其直径为：12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.0112.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 试求零件直径的方差试求零件直径的方差2

9、对应于置信度对应于置信度98 的置信区间。的置信区间。解：解：代入查表,23. 5)15() 1(, 6 .30)15() 1(299. 0221201. 022nn可得可得2的置信区间为的置信区间为(0.001196,0.006998).02. 098. 01,00244. 0,162Sn) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn未知时未知时2的假设检验的假设检验(1) 双侧检验双侧检验:检验假设检验假设H0: 2= 02) 1() 1(22022nSn2) 1(2) 1(2212222nPnP,),1() 1(02212222Hnn拒绝或当否则否则,接受接受H0.(2)

10、右侧检验右侧检验:检验假设检验假设H0: 202) 1(22nP,),1(022Hn拒绝当否则否则,接受接受H0.(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0: 2 02) 1(212nP,),1(0212Hn拒绝当否则否则,接受接受H0.例例9.某炼铁厂铁水的含碳量某炼铁厂铁水的含碳量X，在正常情况下服从正，在正常情况下服从正态分布。现对操作工艺进行某些改变，从中抽取了态分布。现对操作工艺进行某些改变，从中抽取了7炉铁水的试样，测得含碳量数据如下：炉铁水的试样，测得含碳量数据如下：4.421，4.052，4.357，4.394，4.326，4.287，4.683试问：是否可以认为新工艺炼出

11、的铁水含碳量的方试问：是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为差仍为0.1122？（？（ =0.05 ）解：解：H0: 2=0.1122789.16)(1712202iiXX45.14)6(,237. 1)6(22025. 0975. 02=16.78914.45,拒绝拒绝H0。l双正态总体双正态总体设设X N(1,12)，Y N(2,22)，X1,X2,Xm来自来自X，Y1,Y2,Yn来自来自Y，且两样本相互独立。且两样本相互独立。均值差均值差1- 2的区间估计与假设检验的区间估计与假设检验方差比方差比12/ 22的区间估计的区间估计与假设检验与假设检验1,2已知时已知时1- 2的置信区

12、间的置信区间),(),(),(222121222211nmNYXnNYmNX),(2N则22,uu即得即得1- 2的置信区间的置信区间nmuYXnmuYX2221222212,nmYX2221221,令例例1.两台机床加工同一种轴两台机床加工同一种轴,第一台机床加工的第一台机床加工的轴的椭圆度轴的椭圆度X服从方差为服从方差为0.0252的正态分布的正态分布, 第第二台机床加工的轴的椭圆度二台机床加工的轴的椭圆度Y服从服从方差为方差为0.0622的正态分布现分别从两机床加工的轴中随机抽的正态分布现分别从两机床加工的轴中随机抽取取200根和根和150根，测量其椭圆度根，测量其椭圆度,经计算得：经计

13、算得：解：解：可得可得1- 2的置信区间为的置信区间为(0.0085,0.0205).062. 0,200,081. 0,20021YnXn给定置信度为给定置信度为95%,试求两机床加工的轴的平均试求两机床加工的轴的平均椭圆度之差的置信区间椭圆度之差的置信区间.0085. 02221212nnuYX0205. 02221212nnuYX12, 22已知时已知时均值均值的假设检验的假设检验(1) 双侧检验双侧检验:检验假设检验假设H0: 1 = 2) 1 , 0()(2221222121NnmYXnmYXU2uUP,02HuU拒绝时当否则否则,接受接受H0.(2) 右侧检验右侧检验:检验假设检验

14、假设H0: 1 2uUP,0HuU拒绝时当否则否则,接受接受H0.(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0: 1 2 uUP,0HuU拒绝时当否则否则,接受接受H0.例例2. 从甲、乙两厂所生产的钢丝总体从甲、乙两厂所生产的钢丝总体 X、Y中中 各取各取50束作拉力强度试验，束作拉力强度试验，mPamPamPaYmPaXYX94,80,1284,1208已知得甲乙两厂钢丝的抗拉强度是否有显著差异？甲乙两厂钢丝的抗拉强度是否有显著差异？(=0.05)解：解：H0: 1 = 235. 42221nmYXU96. 1025. 02uu4.351.96,拒绝拒绝H0。1=2=未知时未知时, ,1

15、- 2的置信区间的置信区间)2(11)(21nmtnmSYXTw1)2(11)(221nmtnmSYXPwnmSnmtYXnmSnmtYXww11)2(,11)2(222) 1() 1(2221nmSnSmSw其中例例3.某公司利用两条流水线灌装矿泉水某公司利用两条流水线灌装矿泉水,现从生现从生产线上分别随机抽取样本产线上分别随机抽取样本X1,X2,X12和和Y1,Y2,Y17测量每瓶矿泉水的体积测量每瓶矿泉水的体积,计算得到计算得到解：解：可得可得1-2的置信区间为的置信区间为(-0.101,2.901).7 . 4, 7 .4994 . 2, 1 .5012221SYSX求求1-2的置信度

16、为的置信度为95%的置信区间的置信区间),(),(2221NYNX设101. 011)2(2nmSnmtYXw901. 211)2(2nmSnmtYXw12=22未知时均值未知时均值的假设检验的假设检验(1) 双侧检验双侧检验:检验假设检验假设H0: 1 = 2)2(111121nmtnmSYXnmSYXTww)2(2nmtTP,)2(02HnmtT拒绝时当否则否则,接受接受H0.(2) 右侧检验右侧检验:检验假设检验假设H0: 1 2)2(nmtTP,)2(0HnmtT拒绝时当否则否则,接受接受H0.(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0: 1 2)2(nmtTP,)2(0HnmtT

17、拒绝时当否则否则,接受接受H0.例例4.在一台自动车床上加工直径为在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的毫米的 轴，现在每相隔轴，现在每相隔2小时，各取容量都为小时，各取容量都为10的的 样本，所得数据列表如下表，问这台车床的样本，所得数据列表如下表，问这台车床的 生产是否稳定？生产是否稳定？ (=0.01)解：由于数据取自同一车床解：由于数据取自同一车床,所以所以1=2 H0: 1 = 2327. 311nmSYXTw88. 2)18()21010(005. 0201. 0tt3.3272.88,拒绝拒绝H0。1,2未知未知, ,且且12，但容量，但容量m,n很大很大时时, , 1- 2

18、的置信区间的置信区间221222211221)(11)(11niiniiYYnSXXmS近似代替以近似代替以nSmSuYXnSmSuYX2221222212,1, 2已知时已知时, ,方差比方差比12/22的区间估计的区间估计),()()(2122122121nmFYmXnFniimii1),()()(),(2212212212121nmFYmXnnmFPniimii1),(1)()(),(1)()(2112212122212122121nmFYmXnnmFYmXnPniimiiniimii可得可得12/22的置信区间：的置信区间：),(1)()(,),(1)()(21122121212212

19、1nmFYmXnnmFYmXnniimiiniimii同理，同理，22/12的置信区间：的置信区间：),(1)()(,),(1)()(211211222121122mnFXnYmmnFXnYmmiiniimiinii1, 2已知时已知时方差方差的假设检验的假设检验(1) 双侧检验双侧检验:检验假设检验假设H0: 12= 22),()()(122121nmFYmXnFniimii2),(2),(212nmFFPnmFFP,),(),(0221HnmFFnmF接受当否则否则,拒绝拒绝H0.(2) 右侧检验右侧检验:检验假设检验假设H0: 12 22),(nmFFP,),(0HnmFF拒绝时当否则否

20、则,接受接受H0.(3) 左侧检验左侧检验:检验假设检验假设H0: 12 22),(1nmFFP,),(01HnmFF拒绝时当否则否则,接受接受H0.1, 2未知时未知时, ,方差比方差比12/22的区间估计的区间估计) 1, 1(22222121nmFSSF1) 1, 1() 1, 1(22222212121nmFSSnmFP1) 1, 1(1) 1, 1(1212221222122221nmFSSnmFSSP可得可得12/22的置信区间：的置信区间：) 1, 1(1,) 1, 1(121222122221nmFSSnmFSS同理，同理，22/12的置信区间：的置信区间：) 1, 1(1,) 1, 1(121212222122mnFSSmnFSS例例5.某自动机床加工同类型套筒某自动机床加工同类型套筒,假设套筒的直假设套筒的直径服从正态分布径服从正态分布,现在从现在从A和和B两个不同班次的产两个不同班次的产品中各抽验了品中各抽验了5个套筒个套筒,测定它们的直径如下：测定它们的直径如下： A班班:2.066 2.063 2.068 2.060 2.067 B班班:2.066 2.063 2.068 2.060