新高一数学课程讲义,包含知识点、例题、练习题、作业题

1、 2013年暑期新高一数学课程 新高一数学课程 一、课程介绍课程开发的理论基础初中生刚跨入高中，进入新的环境，开始新的数学学习生活。由于高中数学与初中数学在内容含量以及考察难度上差异较大，而且有部分知识衔接存在问题，很多学生不能很好的适应高中数学的学习，从而对数学产生畏惧感，感觉数学高深莫测，渐渐失去学习兴趣，高中的学习节奏又快，慢慢的学生跟不上课堂，成绩一落千丈。为了学生能很好的适应高中数学的学习，特开发此课程，就初高中数学存在的“断点”（初中不讲，高中要用）进行梳理说明，高中前两章节的课程进行讲解。现初高中数学存在的“断点”：1立方和与立方差公式、三个数和的完全平方式，初中不讲，而高中的运

2、算还在用。2因式分解，初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到。3二次根式，对被开方数中含有根式的二次根式化简初中不作要求，而高中计算中有时会涉及。4二次函数，初中教材对其要求较低，却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次不等式与二次方程、根与系数的关系（韦达定理），在初中几乎不涉及，高中也没有讲解，而运算中经常用到。6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授

3、函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念初中生大都没有学习，而高中都要涉及。课程目标进入高中后，很多学生很快就表现出对于高中数学的不适应。为使初高中数学教学尽快的衔接起来，通过对初中涉及但没展开的内容进行深化，对高中刚开始时期新课超前学习，从内容到方法，使学生尽快进入高中学习状态。适用对象适用于初三毕业，秋季进入新高一学习的学生课时安排共15讲，每讲2小时，共30小时体例设置教学目标知识回顾与拓展/知

4、识点梳理典型例题分析随堂练习课后练习二、课程结构编号课题课时容量主要内容第一讲数与式的运算、因式分解2拓展乘法公式，补充复杂二次根式、与繁分式的化简；拓展因式分解的方法，加强学生恒等变形的能力。第二讲一元二次方程的根与系数的关系、无理方程与多元一次方程的解法2强化一元二次方程根与系数的关系，掌握无理方程与多元一次方程的解法。第三讲二元二次方程、一元高次方程的解法2掌握用换元法解答高次方程的方法，注化归与转化思想。第四讲二次函数图像与性质2深入研究二次函数的图像与性质，熟练应用其解决相应的单调性问题及最值问题。第五讲一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式与高次不等式的解法2熟练掌握一元二次不等

5、式、分式不等式、绝对值不等式与高次不等式的解法，理解解答不等式的原理。第六讲含参数不等式2简单含参数不等式问题的解决方法，体会分类讨论思想。第七讲集合的概念与性质2重点掌握集合的性质第八讲集合运算2熟练掌握集合交、并、补的运算法则第九讲函数的概念及其表示2理解函数的概念、掌握定义域的解法，简单的解析式值域的求法第十讲函数的基本性质2会运用函数的单调性奇偶性进行解题第十一讲指数函数2会互化分数指数幂与根式。掌握指数函数的概念、图像与性质。第十二讲对数函数2会互化指数式与对数式。熟练掌握对数的公式以及对数函数的概念、图像与性质。第十三讲幂函数2掌握幂函数的概念、图像与性质，以及解决幂函数问题的技巧

6、。第十四讲函数与方程2结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。第十五讲函数的模型及其应用2能把实际问题转化为数学问题，建立函数模型进行解答。三、课程讲义示例第一讲 数与式的运算、因式分解【教学目标】熟练掌握各乘法公式，会化简较复杂二次根式、繁分式等；理解并掌握因式分解的步骤与方法，提升学生恒等变形的能力。【知识回顾与拓展】1、 数与式完全平方公式 平方差公式 三个数的完全平方公式 立方和公式 立方差公式 2、 初中二次根式的化简(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式（2）拓展被开方

7、数中含有根式的情形3、 繁分式等一些复杂代数式的化简与变形4、 公式法因式分解的相关公式 5、 因式分解的方法（1） 提公因式法（2） 公式法（3） 十字相乘法型：型：（4） 分组分解法（5） 拆、添项法6、因式分解的步骤：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止【典型例题分析】例1 已知，求的值解： 例2 计算：解：原式=例3 计算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=

8、（3）原式=（4）原式=说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列例4 设，求的值解：原式=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量例 5 化简：（1）； （2）解：（1）原式 （2）原式=， 所以，原式例6 化简解法一：原式=解法一：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法例7 分解因式： （1） （2） （3）； （4）（5）解： （1）= （2）= =（3）由图1，

9、得 （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图2所示）aybyxx图111xy图2（5） 【随堂练习】1选择题：（1）若，则 （ ） （A） （B） （C） （D）（2）计算等于 （ ）（A） （B） （C） （D）2解方程3计算：4试证：对任意的正整数n，有5在实数范围内因式分解：（1） ； （2）； （3）； （4）6三边，满足，试判定的形状7分解因式：x2x(a2a)【随堂练习参考答案】1（1）C （2）C 2 34提示：5（1）；（2）；（3）； （4）6等边三角形7【课后练习】1计算：(1) (2) (3) (4) 2.已知，求的值 3.若，求常数的值4把下列各式分解因式：(1

10、) (2) (3) (4) (5) 5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 6已知，求代数式的值7证明：当为大于2的整数时，能被120整除8已知，求证：【课后练习参考答案】1 (1) (2) (3) (4) 2.，3 ， 解得 4（1） ； （2） ； （3）；（4） （5）5 ； （4） 678第二讲 一元二次方程根与系数的关系、无理方程与多元一次方程的解法【教学目标】 能熟练应用韦达定理解决实际问题，会应用消元法解多元一次方程，了解无理方程的解法。【知识回顾与拓展】1、根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2bxc

11、0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2这一关系也被称为韦达定理利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：2、多元一次方程的解法 解多元一次方程的基本思想：消元、化归。3、无理方程无理方程的定义：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程解无理方程的基本思想：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的一边只保

12、留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；下同含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤。 解无理方程的常用方法：1平方法解无理方程2换元法解无理方程【典型例题分析】例1 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由题意，根据根与系数的关系得：(1) (2) (3) (4) 例2 一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。解一：由 解得：解二：设，则如图所示，只须，解得例3 已知一元二次方程一个根小于0，另一根大于2，求的取值范围。解：如图，设则只须，解之得 例4 已知关于的方程，根据下列条件，分别

13、求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2) 方程的两实根满足解：(1) 方程两实根的积为5 所以，当时，方程两实根的积为5(2) 由得知：当时，所以方程有两相等实数根，故；当时，由于 ，故不合题意，舍去综上可得，时，方程的两实根满足说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足例5 解方程组 解：（2）3（3），得 11x10z35 （4） （1）与（4）组成方程组 解这个方程组，得把x5，z2代入（2），得253y29，得所以 例6 解方程 解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根

14、把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根所以，原方程的解是例7 解方程 解：原方程可化为： 两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根 把代入原方程，左边右边，所以是增根所以，原方程的解是【随堂练习】1若是方程的两个根，则的值为()ABCD2已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()ABCD3若实数，且满足，则的值为()ABCD4若方程的两根之差为1，则的值是 _ 5设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _ ，= _ 6一元二次方程两根、满足求取值范围。7已知关于的一元二

15、次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值。8解方程 9解方程 10 解下列三元一次方程组 【随堂练习参考答案】1 A 2A 3A 4 9或5 6由可得或 7 8. 移项得两边平方后整理得 再两边平方后整理得x23x-280，所以 x1=4，x2=-7经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=49设，则 原方程可化为：，即，解得：或(1)当时，；(2)当时，因为，所以方程无解检验：把分别代入原方程，都适合所以，原方程的解是10. 【课后练习】1若关于x的方程x2(k21) xk10的两根互为相反数，则k的值为 （ ） （A）1，

16、或1 （B）1 （C）1 （D）02（1）若m，n是方程x22005x10的两个实数根，则m2nmn2mn的值等于 （2）如果a，b是方程x2x10的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是 3已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围4若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x235关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值6. 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成

17、立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值7解下列方程：(1) (2) (3) 8. 解下列方程组（1） （2） 【课后练习参考答案】1C 提示：由于k=1时，方程为x220，没有实数根，所以k12（1）2006 提示：mn2005，mn1，m2nmn2mnmn(mn1)1(20051)2006 （2）3 提示；ab1，ab1，a3a2bab2b3a2(ab)b2(ab)(ab)( a2b2)(ab)( ab) 22ab(1)(1)22(1)33（1）(k)241(2)k280，方程一定有两个不相等的实数根 （2）x1x2k，x1x22，2k2，即k14x

18、1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()()23()5| x1x2|，m3把m3代入方程，0，满足题意，m36. (1) 假设存在实数，使成立 一元二次方程的两个实数根 ， 又是一元二次方程的两个实数根 ，但 不存在实数，使成立 (2) 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为7 8. (1) (2) 第三讲 二元二次方程（组）与一元高次方程的

19、解法【教学目标】了解什么是二元二次方程（组），掌握二元二次方程组的常用解法；能用试根法因式分解或换元法解答一元高次方程。【知识回顾与拓展】1、二元二次方程及二元二次方程组二元二次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的特点：含有两个未知数；是整式方程；含有未知数的项的最高次数是2. 二元二次方程的一般形式是： （a、b、c不同时为零）.其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项. 二元二次方程组的定义：有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组二元二次方程组求解的基本思想：是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元

20、二次方程或二元一次方程组。2、一元高次方程的解法一元高次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。一元高次方程的解法：通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。【典型例题分析】例1 解方程组解：由，得把代入，整理，得解这个方程，得 .把 代入，得 ；把 代入，得 .所以原方程的解是例2 解方程组分析：可用“代入法”解。也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看作一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x，y。 解：从根与系数的关系，这个方程组的解，可以看作一元二次方程的两个

21、根。解此方程得，t的这两个值，不论哪一个作为x、y都可以。因此，所求的解为 例3 解方程 x3+3x2-4x=0 解： 原方程可化为 x（x-1）（x+4）=0例4 解方程x4-13x2+36=0解：原方程可化为（x2-9）（x2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0，【随堂练习】1. 解方程组2. 解方程组 3. 解方程组 4、解方程 x3+5x2-6x=05、解方程 （x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0【随堂练习参考答案】1.把第一个方程因式分解为，得两个一次方程，从而降次解为 2.解为： 3.解为：4解为5解为【课后练习】1、方程组的解是 。2、方程组的解是 。3

22、、解方程组时可先化为 和 两个方程组。4、由方程组消去后得到的方程是（ ）A、 B、C、 D、5、方程组解的情况是（ ）A、有两组相同的实数解 B、有两组不同的实数解21世纪教育网C、没有实数解 D、不能确定6、方程组有唯一解，则的值是（ ）A、 B、 C、 D、以上答案都不对7、方程组有两组不同的实数解，则（ ）A、 B、 C、 D、以上答案都不对8、解下列方程组：（1）、； （2）、（3）、 （4）、； （5）、21世纪教育网21世纪教育网【课后练习参考答案】1、，； 2、； 3、，；4、A 5、B 6、C 7、B8、（1）、； （2）、，； （3）、，；（4）、，； （5）、，第四讲 二

23、次函数的图像与性质【教学目标】了解二次函数的三种表示形式，熟练掌握二次函数在给定区间上的最值的求法，能灵活应用二次函数的图像与性质解决实际问题，【知识回顾与拓展】二次函数的表示形式： 一般式：()，对称轴是顶点是；顶点式：()，对称轴是顶点是；交点式：()，其中（），（）是抛物线与x轴的交点二次函数的性质 ：函数的图象关于直线对称。时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值时，在对称轴 （）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值xyOxAxyOxA函数yax2bxc图象作图要领：（1） 确定开

24、口方向：由二次项系数a决定（2） 确定对称轴：对称轴方程为（3） 确定图象与x轴的交点情况，若0则与x轴有两个交点，可由方程x2bxc=0求出。若=0则与x轴有一个交点，可由方程x2bxc=0求出。若0； f（x）g（x）02、转化为不等式组 或 或 等价转化法形如a b 的不等式可等价转化为不等式ab0,这样会更加简捷.绝对值不等式简单绝对值不等式的基本转化方法：xa(a0)的解集是xaxaxa(a0)的解集是xxa或xa高次不等式用“数轴标根法”来解可分解的高次不等式直观又简单。具体方法步骤如下： 将不等式等价化为形式，并将各因式的系数化“+”(为了统一方便)； 求出对应方程的根（或称零点

25、），并在数轴上表示出来； 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意“奇穿偶不穿”（“奇穿偶不穿”是指当左侧有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶数时，曲线在点处不穿过数轴）； 若不等式（的系数化“+”后）是“”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“”,则找“线”在x轴下方的区间。【典型例题分析】1. 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90； （5）4xx20 解：（1）0，方程x22x30的解是 x13，x21 不等式的解为 3x1 （2）整理，得 x2x60 0，方程x2x6=0的解为 x12，x23所以，原不等式

26、的解为 x2，或x3（3）整理，得 (2x1)20.由于上式对任意实数x都成立，原不等式的解为一切实数（4）整理，得 (x3)20.由于当x3时，(x3)20成立；而对任意的实数x，(x3)20都不成立，原不等式的解为 x3（5）整理，得 x2x400，所以，原不等式的解为一切实数例2 解不等式解析： 检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； 在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： 原不等式的解集为【评注】3是三重根，在C处来回穿三次，2是二重根，在B处穿两次，结果相当于没穿. 若些不等式若带“=”号，点画为实心，解

27、集边界处应有等号；另外，线虽不穿2点，但满足“=”的条件，不能漏掉.。例3 解不等式解析：先将原不等式等价化为不等式且，即且，用“数轴标根法”0-1-342x原不等式的解是【评注】在不等式时我们应该考虑不等式左式的定义域，也就是在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解.例4 解关于的不等式：.解析：此不等式是含参数的高次不等式，是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对的所处位置进行讨论。 将二次项系数化“+”并分解为：； 相应方程的根为：； 讨论：）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为.）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为）当，即时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为。综上所得，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时