《实变函数》期末辅导pptConvertor

1、1 / 5实变函数期末辅导一、考试题型1.单项或多项选择题：每题 4 分，共 16 分.2.填空题：每题 6 分，共 24 分.3.叙述定义：10 分4.证明题：每题 10 分，共 50 分.二、总复习提纲1.作业复习范围光盘课件上每章练习题和综合模拟试题，每次网络作业和期中测试作业，请参阅实变函数学习辅导材料一书中习题解答部分（只要求A 类习题）2.重点难点内容提要第一章 集与点集：会求集合列的上、下极限；判断两集合的对等，求集合的基数，判断集 合的可数性，掌握开集、闭集、完备集、稠集、疏集、G 型集和F；_型集的概念及其性质，会求一个点集的内部、导集、闭包、边界；掌握Can tor集、-P

2、的结构和性质.第二章 测度与可测函数：掌握可测集和测度的概念及其性质；会求一些常见可测集的测度（例如：可数集的测度， 区间和区域的测度等）；测度的完备性；零测度集的概念及其性质； 会判断一个集合的可测性；掌握可测函数的概念及其性质；重点掌握特征函数的性质；会判断一个函数是否可测函数；掌握可测函数列几种收敛性之间的关系（包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、几乎一致收敛、测度收敛）第三章Lebesgue积分：掌握Lebesgue积分的定义（包括非负简单函数的积分、非 负可测函数的积分、一般可测函数的积分）及其性质；会判断一个函数是否L 可积；掌握三大积分收敛定理及其推论；掌握 R 积分与 L 积

3、分之间的区别和联系；掌握Funibi定理及其应用.第五章微分论：掌握单调增函数的连续性、可积性和可微性；有界变差函数的概念及其性质；会利用全变差的可加性和单调函数全变差公式来求一个函数的全变差；绝对连续函数的概念及其性质；会利用牛顿一一莱布尼兹公式判断一个函数是否绝对连续；掌握几类函数之间的关系（包括连续可微函数、Lipschitz函数、绝对连续函数、有界变差函数、单调函数、连续函数）.三、典型问题解答（共 40 个习题，8 个例题）教材中的典型习题有：第一章习题 9，18，19, 24, 29, 31；第二章习题 5，9，10，12，13, 15，17，20，26，27，30，35，36;第

4、三章习题3，8，9，11，12，17，18，19，22，23,27，43；第五章习题 4, 5, 8, 9, 10, 13, 14, 18, 19.以上习题（共 40 题）请参阅实变函数学习辅导材料一书中的习题解答部分例1 -设片若厶和EJE都是可测集，且御巴二0,则E2也是可测集.证明已知民二（瓦UEJ目山（；门乞） 因为册&=0,厶门坊，所以ECE2为零测度集，又因为（爲UEJE也是可测集，所以昆为可测集.2/5例2设“X v+o人(X),而且兀二f ,则且li町 人弘庐“.H*-1，使当HN时，对一切XEX都有|九(兀)一几(工)|1从而|Z(x)|ZvW|+1因为pX n),则

5、limn,pXn= 0证明 令Et= JV(A-l|/|fc),则X=QE,且瓦n為=0(沖丿时)因为/ wL(x).所 以feL(X)?从而由积分的n- pEkk=n十1t=n+l= ”#( UEQapX”A?=n+1从而lim n *JLIXU-0n例4设/为R= (-00, +QC) )上单增有界函数，求证fELR)证明 已知/为R =上单増有界函数，贝U tz= lim /(x)和/?=lim /(x)都是有限数对任3 / 5X-Y意t 1,则/V)在-k7k为单增有界函数，从 而由Lebesgue定理知/在-k.k上几乎处处可 微，且f 沁咤于一斤用，f匚U-MT J：/如5/(幻-

6、/(-約从而/在丘二(-血,+边)上几乎处处可微，且/于EC /为R上可测函数.不妨设厂在R上非负己知 也口心t=l则由积分的下连续性知ff dm lim ff dm lim|f(A)f(k) = a p8ks-求证gx)在M上几乎处处存在有限导数，而宜g(x) = f(x)?a.e证明已知对每一个总或(工展口止的绝对连续函数，从而由牛顿莱布尼兹公式知J：gk冈二gk也() S 兰 6因为|監厲| 玉F(x)且F(x)eZ為址lim g；(x) =f(x),aje所以由Lebesgue控制收敛定理知fx)cLa,bT代且lim|；(斗皿二/(对必当然也有JtJaJalimgkt)dt = V

7、f(t)dta xb)从而=卿甌-p史甌(。)=削 k) -gx0,只要处盼$,就有 (剛.因肥禺二述 kQ时，有pE-/.iEk= p(EEk)S从而|L皿-k皿卜|U皿| 即陀匸帀丄丙.例7求limf(x)cosHxdx,其中fi0J ,解因/e0J,所以|/|40J,且/在0, 1上 几乎处处有限，当xe0,l时，阴虫1而且COM在0, 1上几乎处处小手1,从而函数列fx)cosnx在0, 1上几乎处处收斂于零又因 |/(x)|,故由 控制收敛定理知原式二仏二0 .例&设/是有限可测函数,g：RrR为连续或单调函数，则或/W)可测.证明：(1)当geC(R)时，由于(並+8)为R中开集，所 以)为只中开集，从而梦严)为R中可数个互 不相交的构成区间(兔，力)的并集，即昇从而厂gjgworU广又因/可测,所以广 g 即为可测集,从而厂g 1(6+8)为可测集，故g(f()为可测函数.(2)当g为单调函数时，不