《微分几何》陈维桓习题及答案

1、1 / 356.1测地曲率1.证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为r二 f(v)cosu, f (v)sin u, g(v),1= f2(v)(du)2+(f2(v) +g，2(v)(dv)2，E =f2(v),G =f2(v) g2(v)纬线即 u曲线：V=V（常数），f （V。）f（v。）、, f2（v。）g2（v。）2、证明：在球面Sr （acosucosv, acosusinv,asinu），JI71u ,0 v 2_22上，曲线C的测地曲率可表示成. d日（s）. / /、dv（s）kgsin（u（s）-dsds7其测地曲率为kg1；:l nE2好GIn ff2g

2、2泊为常数。2 / 35其中（u（s）,v（s）是球面S上曲线C的参数方程，s是曲线C的弧长参数，e（s）是曲线C与球面上经线（即u-曲3 / 35线)之间的夹角证明易求出E=a2,F=0,G=a2cos2u,因此1 Jn E1：ln G-=-cos=-2 .G：v2、.E；:u2 2d v 1ln(a cos u)sin ds 2a；:ud r sin usi n,ds acosu?3、证明：在曲面S的一般参数系(u,v)下，曲线C :u =u(s),v = v(s)的测地曲率是kg二,g(Bu (s) - Av(s) u (s)v (s) - v (s)u (s)，并且11n(u (s)2

3、2；2U(S)V(S)-；2(V(S)2，B -：(u (s)22u(s)v(s)丨；2(v(s)2特别是，参数曲线的测地曲率分别为kgdrds而dv1a cosusinkgdds-sin u色ds其中s是曲线C的弧长参数,g = EG-F2，1sin4 / 35kg.二.g】：(u(s)3，kgv= - g】122(v(s)3。!证明 设曲面S参数方程为r(u1,u2)，c：s =*(s),u2二 u2(s)5 / 35曲面 S 上的曲线的参数方程为 C : Ui= Ui(s),U2= U2(s),s 为C的弧长参数;n为S上沿C的法向量;曲线八Rs)二Rui(s),U2(s),2dUii=

4、1ds，ij2z rkij k=1r (s)duidu：rij -d2Uids2，i,j,k=1ijdsdsd2Ukk=ids2kiji,j =1代入计算kg2dUi4=I z .,i=idsiJdUj/d2Udq dUjnds dsk=1d2Ukids2dUidUj)rkds ds(r ,r ,n)ij1dqds ds，(也k 2殂)(1ijds2訂胡ijds dsixijds ds=ijds ds2dUidUj)i,j=ids ds6 / 357 / 35由此得到du2d2u112( a丨12jds dsi,j=i以上是测地曲率的一般计算公式。换回参变量Ui 二U,U2 二v，即可得到结果

5、。4.若曲面S:r=r（u,v）上曲线C:u = u（t）,v = v（t）,t上的任意参数，试导出测地曲率 kg的计算公式。所以所以.g（t）=%罟； 记厂Ui,v = U2又弹，idtdu2dsd2qds22+ z r1jij i, j=ds ds珂r性(M(dt(吧汙吟)n/,r,n)(号)dt dtdtds3n)(ds)3八gl|r|，dui Rdr(i72ijduidUj)ds dsdq dUjds ds)，为曲线C而3/生,dtd2sdF，8 / 35r i，jdt dtidt22 2 2xvzxvz6、求椭球面22=1上由平面1所截的截线在点C =(0,0, c)的测地曲率。ab

6、cabcdmyd.dUidUjL2dUidUjd Uk4n亠二2咔，dtkdt29 / 35从而(r, r, n) = (r r) ndUidUj,jdt dt由此得到:2 2 25、求椭球面22-1上由平面-1所截的截线在点A = (a,0,0)的测地曲率。ab ca bdU2 ,dU dv ,dv2-TEF(MLF)(ds)+(心上口05+(心呵口).证明 证法一g= (n(s) r (s) n，打叫(咚2処叫)dU2d2U1dt dt dt(希:瞪轨G，C gij i,j3dUidUj)2dtdt dt2dUidUj、 du2/d2q 1dq dUj(.26 j)dt dt dt dt2

7、 i，jJdt dt1、6、2对曲面测地挠率匕上的曲线-的测地挠率,duI 2i,j10 / 35将n代入，利用拉格朗日恒等式，得M（s）沧）農血）如）后|1 n(s) rul|rU牯；R（s）rV将n(s)dunv-dv,ds ds；(s)“dV代入，ds干1g1l；h(ds)2-Ldu - MdvEdu FdvMdu - NdvFdu +Gdv1iirurvii(ds)2Edu FdvLdu MdvFdu +GdvMdu + Ndv1llrurv|(ds)2(ME -LF)(du)2(NE -LG)dudv (NF -MG)(dv)21iiru：ii(ds)2(dv)2EL2-dudv(d

8、u)FGMN1 EG -F2dv(ds)du dvds dsFMdu2(ds)得n n =r斗nrv|1(打v,n|rur,|从而g川W)的|(rU,n11 / 35=(n(s)r(s), n)T|41r |(ru,rv, n)2、设:r = r (s)是曲面3上的曲线，证明：-是曲率线的充分必要条件是勺=(n(s)F(s),n)=o。证明 设】是曲率线，于是：(s)是主方向，则有n (s)/?(s)，从而g=(n(s):(s),n)=o；若g=(n(s),：(s),斗)=0，则有n (s),r (s),n共面，于是有n (s ar(s) - bn，而n (s)瞎=0，必有b = 0，于是n

9、(s ar (s)，llrurv|n (s) ru：(s)；0n(s)*i ir(s) run (s) rV；(s)；0n(s)寸(s) %将花)出理仁色,ds ds1r (s) ru包沖代入，得ds dsg =iirUh(ds)2-Ldu - MdvEdu FdvEdu FdvLdu Mdv一 Mdu - NdvFdu +GdvFdu +GdvMdu 十 NdvEG -F2(ME -LF )(理)2(NE - LG)dsdu dvds ds(NF -MG)(dv)2ds-rru4nTr呻n呻nJrn1ids从而g川W)的|(rU,n12 / 35即得r (s)是主方向，-是曲率线。13 /

10、353、曲面二上一点p(u,v)处的单位法向量为n.设曲面匕上曲线】，以n的夹角.命TJ,dp设曲面三上曲线-在P点处的挠率和测地挠率分别为.,，则有 g = ds显然，如果沿曲线有二常数，则对此种曲线有飞证明根据向量之间的关系，易得n = cos：- sin，444=cos n sin， 二sin *一cos呻，利用上述关系式及曲线论的Frenet 公式，代入计算，得g 花)(S)彳片4=_cos(s) -sin(s) sin(s) coss)(s)；(s)-cos:(k：亠 )sin：(s) sin (_ ) cos (s):(s) (s)二cos2 ?sin?：(s)sin?cos2 (

11、s)=(s)。I4、设曲面三：广=N(U,V)上的坐标曲线构成正交网.曲面二上曲线-的切方向与ru的夹角为二，则有.1 knG1).g2dB证明 在正交坐标曲线网下，我们有F = 0，屯一1-cos-cos，包一1-曲，d d s s、.E E d d s s、G G将它代入测地挠率的计算公式，计算得T表示一 与14 / 351du2du dvdv2TEG=F(ME(訂+(NE-LG)dsh(N-MG)(d；)二1(M cos2八【一1一(NE LG)sin 2勺, 、EG2；EG心(小L(巴)22M巴巴N(巴)2dsds ds ds二L1cos2 2M I COST sin r N EEGs

12、in2,kn(R =1EG(2M cos2：r J (NE -LG)sin 2旳,J EG1d2 drknG).5、证明:曲面上任何两正交的方向的测地挠率之和为零* & 证明在曲面上选取正交坐标曲线网，曲面方程rr (u, v).故有.g曲面上两正交方向与ru的夹角分别为 二和一二，21 1由于.g(R：-=(M cos2一(NE -LG)sin 2,gJEG2EG1JT1g() =M cos2( -) :(NELG)sin 2(-)2 VEG2/EG21 1-(M cos2：- -(NE-LG)si nA),EG2.EG所以有g(R yG jH0 .15 / 35选取曲率线网作为曲面

13、坐标网，主曲率分别为k1, k2,16 / 3522由欧拉公式，得kn二k1cos二k2sin,1 d1是厂2启人(小尹2一朋心6、证明：曲面二:rr(u,v)上一点P沿一方向(d)=du:dv(d)=du:dv 上的法曲率kn为和测地挠率g之间满足：k22-2Hk + K = 0ngn221证明 由kn二k2cos二k2sin，g(k2-kjsin 2二，经过计算，可得kn2g2=k22cos2v k22sin2丁 - (k2k2)(k2cos2丁 k2sin2- k2k2二2H (k2cos2= k2sin2巧 - K二2Hkn- K，此即kn2g2- 2HknK = 0.!7、证明：极小

14、曲面曲面-: r = r(u,v)上一点P沿一方向(d(d) ) = = dudu : : dvdv 上的法2 2曲率ki为和测地挠率g与曲面的 Gauss 曲率K满足：gknK = 08、 证明：若曲线为过曲面上一双曲点P的渐近曲线，且 曲率k = 0，则曲线在P点的挠率和曲面在P点的 Gauss 曲率K满足：2- K =0.2 2证明由条件可知，g= ,kn= 0，利用kn g- 2Hkn0，即得 K = 09、 试证明：在曲面的双曲点，主方向平分两渐近方向证:设曲面为 S,渐近方向所对应得单位方向向量为vTp(S),从而dd-kn(R - -k1sin2r k2sin2v -(k2kjs

15、in 2=取Tp(S)在主方向下所对应的标准正交基为，叨，17/35则v =ecosv e2sin二,其中，是按Tp(S)的定向从q到v的角，则沿v的法曲率由 Euler 公式,有kn= k,cos2 3- k2sin2二，因为p是双曲点，不妨设k,0,k20,又v所对应的方向为渐近方向，所以kjcos v k2sin2v - 0，从而可知主方向平分两渐近方向10、证明：假定曲面上经过一双曲点P的两条渐近曲线在该点的曲率不为零，则这两条曲线在该点的挠率的绝对值相等，符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的高斯曲率K.证明 这两条曲线在该点的挠率分别等于各自的测地挠率,选取曲率线网作为曲面坐

16、标网，主曲率分别为k, k2，且其中一条渐近曲线与ru成二角，则另一条渐近曲线与ru成一二角，于是两条渐近曲线在该点的测地挠率分别为2iig(C= 2化2_ki)sin 2寸，g(宀)=_ k,)sin( _2旳=_?(k2_ ki)sin 2二，显然g(二)=-g(J)，* ( = ) = - * ( J)，由于p) K =0,( () K =0,所以O = K, (-) - -、-K，解得哥=218 / 356.3测地线1.证明:柱面上的测地线必定是定倾曲线.证明 不妨设柱面的直母线与Oz轴平行，故曲面方程可取为r =r(u,v)二f (u),g(u),v，rU= f (u),g(u),v

17、(u)，rUu= f (u), g (u),v (u)，对于测地线，有(n,rp)=o,g-f0于是fg八0，胖FFFFf g v可得(g2f2)v -(gg ff )v =0，由于u为准线的弧长参数，所以有 g2(up f2(u) =1， 从而gg ff =2g2(u) f2(u) =0，2所以v (u) =0，因而v=Guc；由此，测地线族的方程为r = f (u), g(u),c1u c2COS 丁 -COS(7；d)-qllr ll 卩 II Jg2即测地线与Oz轴(即直母线)成定角，从而形如v=v(u)的测地线为定倾曲线。现在求形如V =v(u)的测地线方程。(g ,- f ,0 (

18、g f ,0)其中U为准线的弧长参数Q2f2G2C119 / 35又因直母线也是测地线，且与Oz轴平行，故直母线也是定倾曲线20 / 35故 柱面上的测地线必定是定倾曲线2、设曲线C是旋转面r = f (u)cos V, f(u)sin v, g(u)上的一条测地线，用二表示曲线C与经线的交角。证明：沿测地线C成立恒等式f (u)sin ,二常数。证明经线即 u曲线：V=V(常数)；I = (fu) +g2(u)(du)2+ f2(u)(dv)2,E=(f2(u) g2(u),G 二 f2(u),F =0；由测地线方程，有从而，可得f (u)sin =f (u)dusinr f (u)cos

19、rdsdsf (u)sin v_ 常数。TT3、设在旋转曲上存在一条测地线C与经线交成定角二,并且0,2证明：此旋转面必为圆柱面。证明 设旋转面方程为r =f (u)cosv, f (u)sinv, g(u),经线即 u曲线：V=Vo(常数)；小1nE1门nGcossinsin，ds2(G&72/E %f (u) Jf (u) + g2(u)1f (u)1cos-二ds、Edu_ cos丁,f2(u) g2(u)1H1- Asinsi nxds、Gf (u)dvg 0，ds21 / 35=(f2(u) g2(u)(du)2f2(u)(dv)2,E=(f2(u) g2(u),G = f2

20、(u),F =0；22 / 35巴一cos：一1co“,ds Ef2(u) g2(u)匕一血tax，由于匕=0,所以-也tawO,又常数*0二,du f（u）duf（u）2于是f （u） =0，故f （u）=常数，因此曲面为圆柱面。4、证明：（1）若曲面上一条曲线既是测地线，又是渐近曲线，则它必定是直线。（2）若曲面上一条曲线既是测地线，又是曲率线，则它必定是平面曲线（3）若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线，则它必定是曲率线.证明：（1）因为所给曲线是测地线，所以 kg=0 ；又因为所给曲线是渐近线，所以 kn=0，而 k k2k2，所以k = 0，故所给曲线是直线。（2）设曲面曲线C是既是

21、测地线，又是曲率线；则若C为直线，当然是平面曲线；若C不是直线，由C为测地线，知n =1，从而n =（存 ）；又因C为曲率线，故依罗德里格定理，有n= -= -：4；于是有 - -，即- 0，故.=0，所以C是平面曲线。由测地线方程，有drds1：n ECOST2G :v1：lnG .-Sin丁2E :ufW)f(u)Jf u)：g(u)sinrdvds1、sinsi n.f(u)23 / 35因为所给曲面曲线 C 是非直线的测地线，所以沿此曲线有n =-弓, 从而 n 二二（八匸_），又因为曲线C是平面曲线，所以 t=0，于是 J ,因此由罗德里格定理可知曲线C的切线方向为主方向，故所给曲面

22、曲线C为曲率线。5.证明： 若曲面S上所有的测地线都是平面曲线，则该曲面必是全脐点曲面.证明：证法 1 因对任意P S及点P的任一单位切向量V，均存在唯一的一条测 地线C过点P，且以V为其在P处的切向量故S上任一点处均存在至少三条测地线是非直线的平面曲线，任意P S，设 G,C2,C3为过点P的三条非直线的测地线，对应的在点处的单位切向量分别为 ViEJs。由习题 4 (3)的结论，知 CiGG 均为曲率线，从而 Vi,V2,V3均为点P处的主方 向。故由P的任意性知，曲面S在每一点处均有三个不同的主方向，而这只有在脐点处 才会产生。因此，S为全脐点曲面。证法 2 因对任意PS及点P的任一单位

23、切向量V，均存在唯一的一条测 地线C过点P，且以V为其在P处的切向量.由曲面曲线C是测地线，所以g；又C是平面曲线，可知.=0；于是.=.=0。由于一kn(R =2.gL) =0，gd0g所以在点P的任意方向kn(E =const.从而知P是脐点，故S为全脐点曲面。6 已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的测地线：(1)詢(du)2(dv)2；224 / 35(2)=冷(du)2(dv)2。V25 / 35dv| 需一vta,于是有d于是有空珂”duvJc2-v2解此方程组，得笳二c，tan_k，史=c，从而u二c2_ v2G。duc7.若在曲面上存在两族测地线，它们彼此相交成定角，则它的高斯

24、曲率处处为零, 可展曲面.证明 取其中一族测地线 G 为 u-曲线，建立正交参数系（u,v）；drds 2v JVducos日,解 （1）测地线方程：1COS , ds vdv 1.si nxds；v于是有dv2v tan v,ddv , tanx du解此方程组，得.v co - c,tanr二一v c,c岂=v c，从而u - _2c v -c2y；du c（2） 测地线方程:dsduvcosadv v .ds=si n廿.ds a该曲面必是26 / 352 2.匕 E(u,v)(du) G(u,v)(dv),设另一族测地线 C2与 u-曲线的夹角为二,由o=kg=竺十二已叫in日，又日=

25、CO nst.且&己(0“)，得q =0 ,ds2jE cu得K =0，所以曲面为可展曲面。8.设丨是曲面二上的一条曲线，P是曲线丨上一点，曲线】在P点处的挠率和测地挠率证明 由曲线论的 Frenet 公式知道,0 0，得二 一 nn；F T T于是十(ng(ng； 歸 J)J)，故有.二-gy率分别为 ，g.如果】是渐近曲线，且曲率k = 0，则有二g.证明 由曲线论的 Frenet 公式知道,d d t( ( ) )，1：lnE,得 E.2、G：v=0代入公式:1匚(JE)v丄；(JG)uU列兀兄i分别为-，g g.如k H 0，证明.二.g.Tddsdsds匸,：),ds9、设】

26、是曲面 Z Z 上的一条曲线， P P 是曲线上一点，曲线-在P点处的挠率和测地挠dsds27 / 35ds由】是渐近曲线和 k k = = 0 0，得于是.g=（n（s）,y（s）,n）=（g，二）,ds故有.=.g.注：设】是曲面匕上的一条曲线，P是曲线丨上一点，曲线】在P点处的挠率和测地挠率分别为.，.g .若】是一条直线，则曲率k=0,. =0,】既是测地线又是渐近曲线，曲面匸非平面，但.g。事实上，-r（S）是常向量，由,n（s）二o，得,n（S）=o，由n（s）n（s）二o，所以n（s）/（n:巧，n（s）（滾:4） - 0，故有-g-n （s） （n 7） = 0，=g。10、假

27、定曲面 s 和 S2沿曲线 C 相切，证明：（1）若C是 S 上的测地线，则C也必定是$上的测地线；（2）如果C是S上的曲率线，贝U C也是S上的曲率线；（3）若C是 S 上的渐近曲线，则C也是 S 上的渐近曲线。证明：因曲面 S 和 5 沿曲线 C 相切，故曲面S和S沿曲线C的单位法向量m平行，即盍=：n；（1）证法 1 若C是直线，则C既是s上的测地线，也是 3 上的测地线;?n若C不是直线，则因C是 S 上的测地线，故C的主法向量门1，从而=一n2，故C也是 S上的测地线。证法2因曲面S和S2沿曲线C相切，故曲面28 / 35Fxkg二（n,r ,r ）二FyFzdxdsdydsdzds

28、d2xds2d2yds2d2zds2S和S2沿曲线C的单位法向量n；,n2平行，即魚总； 因C是3上的测地线，则有dJ _(d，&) =0,即得d，-(d，：2用2=0,所以C也是S2上的测地线。(2)若C是 S 上的曲率线，则有 dni/ /dr，从而 dn2/ /dr，即C也是 S2上的曲率线。(3)若C是 S 上的渐近曲线，此时若C为直线，则显然C也是 S2上的渐近曲线;若C不是直线，则 dri _ dr，从而 dn2_ dr，故C也是 S 上的渐近曲线。曲面F (x, y, Z) = 0上的测地线满足微分方程d2xd2yd2z设C:r = r (s) = (x(s), y(s)

29、, z(s)是曲面S其中s是曲线的弧长参数，n是曲面s上的法向量,曲线C的测地曲率11、证明:FxFyFzdxdydz证明上的曲线,029 / 356.4测地坐标系1、设曲面的第一基本形式为.=(du)2G(u,v)(dv)2，求-ijk及 Gauss 曲率K.1；:G 1 -2E九 一 一2u22_1QnG _1G2；:u 2G-2 仁InG 1G；-22Gv；2：v 2G2、 设曲面的第一基本形式为I =(du)2+G(u,v)(dv)2，并且G(u, v)满足条件 G(0,v) =1,Gu(0,v)=0，证明：G(u,v) =1-u2K(0,v) o(u2)。2证明 由上题知，K(0,v

30、)，u(0,v)-G(0,v)Guu(0,v)= _1QUU(0,V)，2G2(0,v)2对G(u,v)关于 u 在u = 0处 Taylor 展开,有12 2G(u,v)二G(0,v) Gu(0,v)u Guu(0,v)uo(u ),2从而G(u,v) =1u2K(0,v) o(u2)。曲线C是测地线的充分必要条件是kgFx亦即FyFzdx d2x2dy d y = 0 dzd2z解因为E =1,F =0,有正交的参数曲线网，所以丨-；2 -：=0，EG(30 / 353、设曲面S上以点P为中心、以 r 为半径的测地圆的周长为 Lr,所围面积是A,2证明：P点处的曲率是K=lim3兰屮=li

31、m。r#兀rT0兀r证明：在P点附近取测地极坐标系(s,R,则有，(ds)2 G(s,R(dR2,其中四佞=0,出珂$si ；所以对、G(s,R 关于s s在 s = 0 处 Taylor 展开，得于是AK、G = 0，lims 0s2.:s2利叫(-K、.G(sc) =0；两边关于s求导，得s3G:K-s:G(0j)：G(s)lim3sr 0js3八G(S,RK.s-：K、.G(sJ)一K。；.s1所以 K丄_(VEGs 31 / 35J3君 XgR6:sjG(sCG(03)rG(sIs =01：G(s,T 一2Z0 :s32 / 35si) 当K 0时，止匕时寸、G =A()cos . K

32、s B(Rsin、一 Ks；KS3o(s3)R(T6?由Lr2- 13 32=J0JG(re)d日=2nr K0r32兀+o(s3儿R(8)d8，32H2 二 r 丄 o(s) R(Rd=K0叫0二 limJP二3 2二 r - Lr；由Ar=0ds0. G(s,旳d -二r2Kr4r320o(s3)ds0R(忙,得K。2r32二兀 r A+J0o(s)dsj0R(8)d8 =lim00r_0:4r1212二r - Ar=limr0JI6.51.试在测地极坐标系下写出常曲率曲面的第一基本形式解 常曲率曲面S的 Gauss 曲率K三const.常曲率曲面在S上取测地极坐标系(s,8),则I =(ds)2+G(s,8)(d&)2,且lim .G(s, -) =0叫G(s,)1=s善翠）1宀GvG:s2，33 / 35根据条件四屆丽y=o，可得A()于是G二BG)sin 一恳,从而VKT，由条件四屁兀。吧先旦，可得Ago,晌=1,故(ds)2s2(d )2；iii)当 K：0 时，此匕时、.G = A(=)ch.Ks B(=)shKs根据条件四JG(S,O)=0,忸cJ：(y i, 可得A=0,BL)=鼻,又因：G(s耳二BE K cos Ks,.sGil,S_p: sii)二2sinK2G当K =0时,s2JKS)2.=0，从而