和差化积、积化和差(理)

1、WORD格式.37积化和差、和差化积（理）【教学目标】1经历积化和差、和差化积的复习过程，进一步掌握三角公式系统的逻辑结构；2能够用积化和差、和差化积公式，半角公式解决有关的三角计算、化简与证明问题；3体会三角问题中角度的变化，体会半角与倍角的相对性，感受辩证唯物主义的思想；【教学重点】积化和差、和差化积公式，半角公式的推导与应用。【教学难点】正确运用积化和差、和差化积及半角公式解决问题。【知识整理】1积化和差公式1 sin()sincos) sin() ； cos cos1cos() cos(；22sinsin1cos() cos() 22和差化积公式sinsin2sincos,sinsin

2、2cossin，2222coscos2coscos,coscos2sinsin。22223半角公式1 cos1 cos,1cossin,cos；tan222221cossin1costan。21 cossin4万能公式2 tan1tansin2,cos1tan 21tan22tan2 ,tan2 221 tan 2专业资料整理WORD格式22.专业资料整理WORD格式.【例题解析】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 填空：（1 ）计算sincos 512123，且 0,，则.（2 ）若 costg522sin(（3 ）函数 yx) cosx的最小值等于.6（

3、4 ）函数 ycos xcos( x)的最大值等于.3）已知1cos.（5 tan，则 sin22【解答】；（ 4）3 ；（5）（ 1312；（2） ；（3）37 。）4245【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】求函数 y 2 cos( x) cos(x) 3 sin 2x的值域和最小正周期44【解答】 因为 2cos(x) cos(x) = cos2x cos,4422所以 y cos2x3 sin 2x2sin(2x) , 所以 y2,2, T.62【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】 证明： tan3xtan x2sin

4、 x.22cosx cos2x专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.【解答】证明：略。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】（1）设 32 ， cos() cossin() sin1 ，求 tan()2342的值364为锐角），求（2）已知 sin(), cos（其中 ,cot() 的值85524322sin2【解答】 (1)2 , 所以 sin, 所以 tan,232 1 cos21tan即 tan()23 22421tan2)36(2),为锐角 ,(,sin()，所以(0,),2 285215sinsin ()= sin() cossin co

5、s() =,178sin3计算得 cos,所以 tan,1721cos51tan21cot()2441tan2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】在ABC 中，已知 a 2b2c2ab.（1） 求C 的大小；（ 2 ） 设 sin Asin B3ABC 的形状。，判断三角形4【解答】解：（1 ） C60 ；（ 2 ）由 Asin31A) cos(B)A B3专业资料整理WORD格式sinBcos(，424由 C60得， AB180 60120 ，所以 cos( A B)1.专业资料整理WORD格式.即： AB ，三角形ABC为等边三角形。【课堂反馈】【属性】高

6、三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】 计算 cos20cos40的值等于sin 20sin 40【解答】3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力24【题目】已知是第三象限角，且sin，则 tan等于2524【解答】3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】化简： 4sin(60) sinsin(60).【解答】 sin3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】已知2,0,0，求 y sin sin的最大值与最小值。3.专业资料整理WORD格式.30时， y min【解答】 当时， y m

7、ax；当0。34【课堂小结】1 半角的正弦、余弦和正切公式前面的号不表示有两解，表示符号不确定，需要选择；2 万能公式的作用是将异名三角比，转化为同名三角比，将三角比转化为代数问题来解决；3 “异角化同角”、“复角化单角”、“异名化同名”以及“切割化弦”等思想方法，是解决三角问题常用的思想方法；4 形如 sinsin;coscos;sinsin;coscos的三角比计算式，习惯上当为常数时，可以尝试用和差化积或积化和差公式来解决问题。【课后作业】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】计算 sin5 cos7的值等于8812【解答】24【属性】高三，三角比，和差化

8、积与积化和差，解答题，易，运算能力【题目】函数 fxsinxsinx的最小正周期是32【解答】。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力.专业资料整理WORD格式.【题目】已知 0，化简1cos1cos【解答】 2 sin()24【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力1【题目】已知 cos()，求 sin sin() 的值643111【解答】 sinsin()cos(2) cos()cos(2)，2343233又 cos()1， cos(2) 2 cos 2 () 17，64368sin()11所以 sin316【属性】高三，三角比，和差化积与积化

9、和差，解答题，中，运算能力【题目】已知函数 ftan x， x0, , x1x 2 ，求( x)0,，且 x 1, x 2证：22f (x1x2 )1 f (x1)f ( x 2 )。22【解答】证明：略。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，难，运算能力) 的【题目】已知 coscos1 , sinsin1 ，求 sin(值。2311【解答】因为 cos cos， sinsin ， 得，23专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.111(sin 2sin 2) sin()，即 sin() cos() 1 ，2662+2得，2 2 cos()13，所以 sin()12

10、.3613【题目资源】【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力1【题目】 若 sin(x) cos(x)，则 cos4x4441【解答】2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力132 ,则【题目】如果 cos，cos52215【解答】5【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力【题目】已知 fx . 若f ( cos )可化简( x)=1, ,则 f (cos )为 .1 x2【解答】 2 csc【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.22【题目】 cos

11、()cos cos()化成和差的结果等于。331【解答】cos3【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，易，运算能力cos2【题目】若 tant，则等于。21 sin2t 22t1【解答】 t 22t1 。【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选择题，易，运算能力24【题目】 已知是第三象限角，并且sin = ，则 tan等于（）2524334（A）（ B ）（C）（ D）3443【解答】（D ）【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选择题，难，运算能力【题目】已知 coscos1 , sinsin1 ，则 sin() 的值等于（）2355（ C1212（A）（ B（ D）1

12、3131313专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.【解答】 因为 coscos1， sin1，sin 得，2311即1(sin 2sin 2 )sin()，sin() cos() 1，2662+ 2 得， 22 cos()13 ，所以选36【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，选择题，中，运算能力【题目】设 是第二象限角，则必有（）（A） tan>cot（ B ） tan <cot2222（C） sin>cos（ D ） sin <cos2222【解答】（A ）【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】不用计算器求值：co

13、s2 10cos2 50cos2 70【解答】原式 = 1cos20 1 cos1001 cos140 2cos80 cos 60 cos100223 3sin 10sin1032222【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，填空题，中，运算能力【题目】如果2,0，则函数ysin cos的最大值等于32专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.【解答】 y1sin() sin() 31 sin() ，又因为 0，24222，所以,2 ，2,，36333所以最大值等于3 2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力3 tan A tan B，且 sin Asin3

14、【题目】在 ABC 中，已知 tan A tan B3B，4试判断 ABC 的形状【解答】 ABC3(1 tan A tan B) ，得3解：在中 tan Atan Ban(tAB)，2因为 AB (0,) ，所以A B，3又 sin A sin B1 cos(AB)cos(AC) ，所以11 cos(AC)3 ，2424即B)A B( ,cos( A1 ，因为)，AB0，所以 A B，即 ABC 为等边三角形【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】在 ABC 中，求证：sin Asin Bsin C4sinA sinB cosC222【解答】证明：略。【属性】高

15、三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.【题目】若等腰三角形的顶角的正弦值为24 ，求这个等腰三角形底角的余弦值2524【解答】设顶角为，底角为，所以2，又因为 sin，2524771 cos2所以 sin(2 )，即 cos2或 cos 2，又 cos，252525243所以 cos或55【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力1）求 sin的【题目】已知 sin() sin()，（， ,4值 .4462)11【解答】 由 sin(sin()coscos 2 = cos2.442221） ,0所以 cos

16、2又（，2( ,2 ) ,因为 cos2,32（ 3），因此 sin22 ,所以 2， 2223所以 sin2 sin 2 cos 24 24.9【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力sin 2 3【题目】 证明： sinsin 3sin 5sin【解答】证明：略。专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力112【题目】已知 ABC 的三个内角A， B， C 满足： AC 2B，cos AcosCcosBAC求 cos的值 .21【解答】由12cos A cosC2, 得cos A2 cos A C

17、 cos A2cos A cosC又 A+C=2B ,所以cosCcosBC22AC， coscosB21B, cos B,cos32cos A cosCcos B2 cos A cosC，2cos 2 BAC2 cos( A C )cos( AC )2所以 cos AC =2 22【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，难，运算能力【题目】把 1 sin 2cos(2 )sinsin(2 )化简所得结果等于。231212【解答】 sin2【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】 计算 sin10cos70 。sin80cos20【解答】23.专业资料整理WORD格式.专业资料整理WORD格式.【属性】高三，三角比，和差化积与积化和差，解答题，中，运算能力【题目】化简： cos(120)cos(120)cos(12