北京市石景山区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷（word版含答案）

1、北京市石景山区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷数 学本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1设集合，则ABCD2已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设函数，则是A奇函数，且在单调递增B奇函数，且在单调递减C偶函数，且在单调递增D偶函数，且在单调递减4将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为ABCD5记

2、为等差数列的前项和，若，则A36B45C63D756某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是17.5，30，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为17.5，20)， 20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A56B60C120D1407若，则A BCD8在中，若，则 A B CD 9设是首项为的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件10如图，正方体的棱长为，线段上有两

3、个动点，且，给出下列三个结论：的面积与的面积相等三棱锥的体积为定值其中，所有正确结论的个数是ABCD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11已知向量，若，则_ 12双曲线的焦点坐标为_，渐近线方程为_13设函数则使得成立的的取值范围是_14若点关于轴的对称点为，则的一个取值为_15数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线有如下结论： 曲线上任意两点间距离的最大值为

4、； 曲线的周长大于曲线的周长； 曲线与圆有且仅有个公共点其中正确的序号为_ 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（本小题13分）已知函数，从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）的最小正周期；（）在区间上的最小值注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分17（本小题14分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，侧面为直角三角形，（）求证：；（）求证：；（）若，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为18（本小题13分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽

5、取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束类问题回答正确得分，否则得分；类问题回答正确得分，否则得分己知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为，能正确回答类中的每一个问题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由19（本小题15分）已知椭圆，为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）椭圆在轴上的两个顶点为，点满足，直线交椭圆于两点，且，求此时的大小20（本小题15分）已知函

6、数（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）求证：当时， 21（本小题15分）记实数，中的较大者为，例如，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”（）已知数列的通项公式分别为，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由；（）已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；（）若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有北京市石景山区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分 题号12345678910答案CAADBDDCBC二、填空题：本大题共6个小题

7、，每小题5分，共30分 11； 12，； 13； 14（答案不唯一）； 15 三、解答题：本大题共6个小题，共80分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题13分）解：选条件：；（），所以的最小正周期是 7分（）因为，所以， 所以，所以， 当，即时，有最小值 13分选条件：（），所以最小正周期是 7分（）因为，所以，所以，当，即时，有最小值 13分17（本小题14分）解：（）因为四棱锥中，所以，因为，所以4分（）因为，所以，又因为，所以，因为，所以9分（）存在，当为线段中点时，理由如下：由（）可知，因为，所以，又，如图以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设平面

8、的法向量为，由得令，所以设（），则，所以，直线与平面所成角为，所以，解得，符合题意，所以当为线段中点时，直线与平面所成角的大小为14分18.（本小题13分）解：（）由题可知，的所有可能取值为，；所以的分布列为6分（）由（）知，若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，；，所以因为，所以小明应选择先回答类问题13分19.（本小题15分）解：（）因为右焦点为，所以，因为离心率，所以，所以椭圆的方程为5分（）当直线垂直于轴时，（舍）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由整理得，设，由题意恒成立，所以，解得，所以直线的方程为因为为椭圆在轴上的两个顶点，不妨设，因为，设，所以，即，即点在

9、以原点为圆心，半径为的圆上法一：因为原点到直线的距离，所以直线与圆相切，所以法二：联立解得即，或解得即，因为，所以15分20.（本小题15分）解：（）因为，所以曲线在点处的切线方程为.4分（）由（）知：，（）因为，令，所以或，当时，则的变化情况如下表：极大值极小值当时，则恒成立，在内恒增；当时，则的变化情况如下表：极大值极小值综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当时，单调递增区间是和，单调递减是.10分（）当时，令，得或，易知则的变化情况如下表：极小值极大值所以当时，取得极小值由于，则，所以由极小值定义及的单调性可知：当时，.接下来，研究在的变化情况.因为恒成立，设对称轴，所以由二次函数的性质可知：当时，恒成立所以在时恒成立.综上所述：当时，.15分21.（本小题15分）解：（）数列是“趋势递减数列”.因为是单调递减数列，且.所以数列是“趋势递减数列”.数列是“趋势递减数列”.因为，且.所以数列是“趋势递减数列”.4分（）当时，数列为单调递增数列，此时，且不满足题意；当时，数列为常数列，不满足题意；当时，数列为单调递减数列，此时，且，满足题意；当时，此时，且，满足题意；当时，此时，且，不满足题意；综上，的取值范围为.9分（）先证必要性：假设存在正整数使得，令.因