第七章无限冲激响应数字滤波器的设计

1、第第7章章 无限冲激响应数字滤波器的设计无限冲激响应数字滤波器的设计 7.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 7.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 7.3 用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 7.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 7.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 7.6 IIR 数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法 7.7 本章涉及的本章涉及的Matlab函数函数17.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 7.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器

2、的分类 从不同的角度出发，滤波器可以分成不同的种类。从不同的角度出发，滤波器可以分成不同的种类。从滤波器处理的信号类型看，分为模拟滤波器和数从滤波器处理的信号类型看，分为模拟滤波器和数字滤波器，当其输人输出信号皆为模拟量时，这类字滤波器，当其输人输出信号皆为模拟量时，这类滤波器称为模拟滤波器（滤波器称为模拟滤波器（analog filter , AF ) ；而当；而当其输人输出信号皆为数字量时，称为数字滤波器其输人输出信号皆为数字量时，称为数字滤波器（digltal filter , DF ）。从应用角度看，滤波器可以）。从应用角度看，滤波器可以分为有源和无源滤波器。更为一般和常用的滤波器分为

3、有源和无源滤波器。更为一般和常用的滤波器分类是从滤波器的通频带情况出发，分为低通滤波分类是从滤波器的通频带情况出发，分为低通滤波器器( low pass filter , LPF ）、高通滤波器（）、高通滤波器（high pass filter , HPF ）、带通滤波器（）、带通滤波器（band pass filter , BPF ）和带阻滤波器（和带阻滤波器（band stop filter , BSF ）。如图）。如图7-1所所示：示：23图71 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位冲激响应分类，可以分成无限冲激响应（IIR）滤波器和有限冲激响应

4、（FIR）滤波器，它们的系统函数分别为：401( )1rkMrrNkkb zH za z01( )1rkMrrNkkb zH za z01( )1rkMrrNkkb zHza z(7-1)(7-2)10( )( )NnnHzh n z( )Hz()Hz (7-1)式中的H(z) 称为N阶IIR滤波器函数，（7-2）式中H(z)的 称为（N1）阶FIR滤波器函数。这两种类型的设计方法有很大的差别，因此分成两章分别进行学习。5 在设计一个滤波器时，重要的是使设计的滤波器的频率应满足要求的幅度或相位指标。假设数字滤波器的传输函数 用下式表示： 式中， |H(ej)|称为幅频特性， 称为Q()相频特性

5、。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减的情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如语音合成、波形传输、图像处理等。本章讨论的IIR滤波器的技术指标由幅频特性给出，在第7章讨论的FIR滤波器用于设计对波形有严格要求的线性相位数字滤波器。7.1.2 波器的性能指标6Q( )() |()|jjjH eH ee 图7-2所示的低通滤波器的幅度特性， p为通带

6、截止频率， s为阻带截止频率， c为3dB通带截止频率。通带频率范围为: 0p，在通带内| H(ej)|1，误差为1，即1- 1|H (ej)|1+ 1；阻带频率范围为: s，在阻带中要求|H (ej)|2 ，从 p到s 称为过渡带，一般是单调下降的。 通带内与阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用p表示，阻带内允许的最小衰减用s表示，它们分别定义为：78max|()|20lg|()|pjpjH edBH emax|()|20lg|()|sjsjH edBH e（73）（74） 如将 归一化为1，式（7-3）与式（7-4）可表示成： 当幅度下降到 时，c ，此时=3dB，因此

7、称c 为3dB通带截止频率。c 、p和 s统称为边界频率，它们在滤波器的设计中是相当重要的。9max|()|jH e20lg|()|pjpH edB20lg|()|sjsH edB（7-5）（7-6）2/27.1.3 llR 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 一个数字滤波器的设计过程，大致可归纳为如下三个步骤： （1）按照实际需要确定滤波器的性能指标要求。 （2）用一个因果稳定的传输函数H（z）去逼近这个性能要求，这种传输函数可以分为两类，即IIR传输函数与FIR传输函数。 （3）用一个有限精度的运算去实现这个传输函数H（z）。这里包括选择运算结构，如级联型、并联型、直接型、正准型、频

8、率取样型等。还包括选择合适的字长和有效数字处理的方法等。10表7-1 Matlab中与滤波器设计相关的函数IIRIIR设计设计方法方法MatlabMatlab函数函数模拟原型1.完成设计的函数：besself、butter、cheby1、cheby2、ellip2.阶次估计函数：buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord3.低通模拟原型函数：besselap、buttap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap4.频率转换函数：lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs5.模拟数字变换函数：impinvar、bilinear直接设计Yulewalk参数化模

9、型1.时域模型函数：lpc、prony、stmcp2.频域模型函数：invfreqz、invfreqs117.1.4模拟原型法设计流程模拟原型法设计流程12图73模拟原型法设计IIR滤波器流程7.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 7.2.1 模拟低通滤波器的设计指标与理想滤波器模拟低通滤波器的设计指标与理想滤波器 1.模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标 模拟低通滤波器的设计指标有通带截止频率p 、通带0p的最大衰减系数p、阻带截止频率s和阻带s的最小衰减系数s。p和s一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：13max22|() |10 lg|() |ppHjdBHj

10、(7-8)2max2|() |10lg|() |ssHjdBHj(7-9) 如将 归一化为1，式（7-8）与式（7-9）可表示成：以上技术指标可用图74表示。图中c称为3dB截止频率，因为|H(jc) ，此时14max|()|H j20lg|()|ppH jdB20lg|()|ssH jdB(7-10)(7-11)2 / 220lg|()| 3cH jdB 157.2.2巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器 1. 巴特沃思（巴特沃思（Butterworth）滤波器的数学模型）滤波器的数学模型 巴特沃思滤波器也称最平响应特性滤波器。它的频率响应表达式为： (7-13) 式中p为通带截止频率，c为3dB截

11、止频率，单位为rad/s，N为滤波器阶数。注意到，随着从0，幅度响应H(j)是单调递减的，在0处具有最大的平坦性。不同阶数的巴特沃思滤波器的模频特性如图7-8所示。162211/NcHj 该特性具有以下特点： （1） = c时，|H (j)|2 =1/2 , ， 所以c是滤波器的半功率点或幅频特性 (-3dB)点。随着N的增加，通带边缘变化加快，幅频特性越逼近理想矩形特性。但无论 N为多少，幅频特性都通过 点。171/2H j （2） =0时，|H (j)|=1，并且在 =0附近幅频特性都是平直的，没有零点，即为“最平响应”滤波器的由来。 （3）模频变化是单调的，相位特性较好。 要设计一个符合

12、性能指标要求的巴特沃思滤波器，可知首先要确定的参数有两个：-3dB截止频率c及系统阶数N。18 2. 确定确定N和和 c 一般模拟滤波器是给定技术指标p、s、p、s，在此条件下，可确定系统的阶数N和c。 (7-17) 190.10.10.10.1101101lglg101101lg/2lg/ppsspspsN 因为N是系统的阶数，要取大于N的最小正整数，代入方程(7-16a)和(7-16b)得到 （7-18a） （7-18b） 若用（7-18a）式确定c ，阻带指标得到改善；若用（7-18b）式确定c ，通带指标得到改善，通常取在二者之间。N和c确定了，就可以求出巴特沃思滤波器系统函数H(s)

13、。2010 .121 01pNcp 10 .121 01sNcs 3.确定确定H (s)212122,1,2,jkNkcsekN 1111221NNkkCNNkkkkNCNNNNNCCCCsH sssssssss(7-22)(7-23) 各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，可以作归一化处理。如果采用对-3dB截止频率c归一化，归一化后的H(s)表示为22 1110111NNNNkkH ppapa papp12122,1,2,kjNkpekNcpskkcps (7-25) 归一化后的巴特沃思滤波器一般也称归一化巴特沃思原型低通滤波器。将(7-25)式的分母多项式制成相应的表格如表7-1所示，这

14、样的多项式称巴特沃思多项式。23表7-1 巴特沃思多项式系数表1 1 2 3 4 56 78241p 221pp32221ppp4322.61313.41422.61311pppp54323.26315.23615.23613.23611ppppp654323.86377.46419.14167.46413.86371pppppp765434.49410.097814.591814.591810.09784.4941ppppppp87654325.125813.137121.846225.688421.864213.13715.1258 1pppppppp 4. 低通巴特沃思滤波器设计步骤低通

15、巴特沃思滤波器设计步骤 (1)由p、s、p、s及(7-17)式确定系统的阶数N。 (2)由N查表7-1或由(7-26)式确定归一化极点 ，代入(7-25)式得归一化系统函数。 (3)用（7-18）式确定c。 (4)去归一化，得到实际滤波器的系统函数25/( )()CpsH sHp 例7-1试设计一个模拟低通巴特沃思滤波器。已知某滤波器的技术指标为：通带截止频率fp =3kHz，通带最大衰减p =1dB，阻带截止频率fs =12KHz，阻带最小衰减s =30dB，设计满足条件的巴特沃思低通滤波器。2627图7-9巴特沃思滤波器频率响应特性7.2.3 切比雪夫（切比雪夫（Chebshev）滤波器）

16、滤波器 巴特沃思滤波器是常用的一种滤波器，从它的幅频特性可见，它的通带误差低端小高端大。为了保证滤波器通带高端的性能指标，滤波器的阶数就会较高。切比雪夫滤波器采用等波纹逼近理想特性，使通带内误差分布均匀。这样在相同指标情况下，切比雪夫滤波器的阶数比巴特沃思滤波器要低。代价是相位特性比巴特沃思滤波器差，且设计相对复杂。切比雪夫滤波器的特点是：通带内等波纹，阻带单调（型）；通带内单调，阻带等波纹（型）。优点是：相同指标下，阶数较低，结构简单。缺点是：通带内相位特性较差。我们这里仅介绍切必雪夫I型滤波器的设计方法。28 1.切比雪夫滤波器的数学模型切比雪夫滤波器的数学模型 切比雪夫滤波器的数学模型如

17、下： 令 x = /p，上式成为2922211/NpHjV (7-27) 22211NH xVx(7-28) 式中N是滤波器阶数，是为小于1的正数，决定通带内波纹起伏的大小，愈大，波动幅度也愈大。p为通带截止频率。 是第一类切比雪夫多项式，定义为:30 2NVx 11coscos1/coshcosh1NpNNxxVVxNxx (7-29)31 3.滤波器参数滤波器参数 、N、 c的确定的确定 要设计一个符合性能指标要求的切比雪夫滤波器，由(7-27)式可知要确定参数有三个：波纹系数、系统阶数N及截止频率c。 (1) 由通带允许的波纹确定 定义允许的通带波纹 用下式表示： 这样，已知通带波纹 或

18、 ，就可以求出。3210.10.1101101p 1p(7-36) (2)由阻带指标确定N330.110.110.1111011coshcosh101101cosh/cosh/sspspspN (7-37) (3)截止频率c的确定34111coshcosh( )cpN (7-38) 4.传输函数传输函数H (s)的确定的确定35121,1,2,22kkNN1121111sinh ()sinh ( )NN222121sinsinhcoscosh221,2,kppkksjNNkN 1112NpNNkkHsss36 11111011122NNNNNNkkH ppapa p apppsp kkpsp

19、例7-2通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减p =1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s =30dB，设计满足条件的切比雪夫低通滤波器。37图7-14切必雪夫滤波器的频率响应特性7.3 冲激响应不变法设计数字滤波器冲激响应不变法设计数字滤波器 由已知的模拟滤波器设计数字滤波器的方法，其实质是从s平面到z平面的映射变换，使模拟系统函数H(s) 变换到数字滤波器的系统函数H(z) 。对这个变换（映射）有两个基本要求： (1)数字滤波器的频响要保持模拟滤波器的频响，所以s平面的虚轴j应当映射到z平面的单位圆ej上，也就是频率轴要对应。 (2)模拟滤波器的因果稳定性经映射后数字滤波器

20、仍应保持，所以s平面的左半平面 应当映射到z平面的单位圆内 。 我们知道，模拟响应滤波器有多种设计方法，例如巴特沃思滤波器、切必雪夫滤波器、椭圆滤波器等。 从模拟滤波器映射成数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，主要的映射方法有：脉冲（响应）不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法。387.3.1 冲激响应不变法的变换原理冲激响应不变法的变换原理 脉冲（响应）不变法也称冲激（响应）不变法，是满足从s平面到z平面的映射两个基本要求的常用方法之一。实现方法是已知模拟滤波器的冲激响应h(t) ，让数字滤波器 h(n)的包络为h(t) ，即 故此得名脉冲（冲激）不变法。这种方法的实质是时域

21、采样法。 脉冲不变法又称标准z变换法。39( )( )tnTh nh t( )()( )( )hshthnh z 理 想 采 样 模拟滤波器的系统函数 通常是有理函数形式，并且分母的阶次高于分子的阶次。现以 均为单极点为例，着重讨论脉冲不变法设计IIR滤波器的具体方法。将 展开为部分分式 式中 是 H(s)的极点40 1NkkkAHsss(7-49)kkksj 对于给定数字低通滤波器技术指标p、s、 p和s ，采用冲激响应不变法设计数字滤波器的过程如下： （1）确定取样间隔T，并由脉冲不变法的变换关系将p与 s 变换为模拟频率 （2）根据指标p、s、 p和s设计模拟低通滤波器H(s) 。这个模

22、拟滤波器可以是前面讲过的几种原型滤波器（巴特沃思、切必雪夫等）之一。41,ppssTT （3）利用部分分式展开，把H(s)展成为 （4）把模拟极点sk 转换成数字极点 ,得到数字滤波器的传输函数为42 1NkkkAHsssks Te 111kNks TkTAHzez 例7-4 利用冲激响应不变法设计一个阶巴特沃思数字低通滤波器，通带截止频率p=0.35 ，通带内最大衰减p=3dB ，阻带最低频率为s=0.75 ，阻带内最小衰减s=7dB ，采样间隔Ts=1/4000s 。43图7-17 模拟和数字滤波器频率响应曲线7.4 双线性变换法双线性变换法 冲激响应不变法存在的缺点是频谱混叠。这是由于从

23、S平面到Z平面的标准变换是多值对应关系引起的。针对这一问题，人们提出了双线性变换法（bilinear transform method）,其基本思路就是利用数值积分将模拟滤波器变换为数字滤波器。447.4.1双线性变换的变换原理双线性变换的变换原理 由式(7-65)得到将S平面映射到Z平面的关系为 变换都是单值对应的，其分子和分母均为自变量的线性函数，双线性变换法也因此得名。45 11121zHzHssTz11121zsTz22TTszs 双线性变换法设计数字滤波器的四个步骤： （1）确定数字滤波器的性能要求，确定数字滤波器各临界频率k 。 （2）由双线性变换关系将k 变换为模拟域临界频率 k

24、。 （3）按k 、衰减指标求出模拟低通滤波器的(归一化)传递函数H(s)。这个模拟低通滤波器也称为模拟原型(归一化)滤波器。 （4）由双线性变换关系将H(s)转变为数字滤波器的系统函数H(z)。 与冲激响应不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临界频率k 时，要用到取样间隔T或取样频率fs以外，最后的结果与其它各步骤中T或fs的取值无关。所以为了简化运算，在实际计算时，除了第一步，通常取T=1或T=2。46 例7-5用双线性变换法设计一巴特沃思数字低通滤波器，设计指标为通带截止频率 p=0.2，通带最大衰减p 1dB；阻带边缘频率s=0.2 ，阻带最小衰减s15dB 。47图7-18双线性变

25、换法所设计的低通数字滤波器的频响特性7.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计 一个任意类型的数字滤波器的设计过程如图7-20所示，一般有两种方法：模拟频率变换和数字频率变换，完成低通滤波器到所要求的滤波器的转换。48497.5.1模拟频带变换下数字滤波器的设计模拟频带变换下数字滤波器的设计 这种方法是，把设计的模拟低通滤波器原型先进行模拟频率变换得到所要求的模拟滤波器，再经过模数变换得到所要求的数字滤波器。50 低通传输函数 、 与高通传输函数 、 之间的转换为51()G j( )G s( )H s()H j1()()( )()lcpsHjGjHsGp2.低通到

26、带通的频率变换低通到带通的频率变换522()( )( )luulspsH sG p 3.低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换532()( )( )ulluspsH sG p 54 模拟频带变换下数字滤波器的设计步骤如下： （1）利用双线性变换的频率预畸变公式 ，把所要求的数字滤波器 的数字频率指标转换为相应的模拟滤波器的模拟频率指标 ； （2）按表7-2所示的模拟频率变换方法，将模拟滤波器 的频率指标转换成归一化原型低通滤波器 的频率指标； （3）按照巴特沃思、切必雪夫或椭圆原型低通滤波器的设计方法，得到模拟低通滤波器的归一化传输函数 ； （4）进行模拟频率逆变换，将模拟低通滤波器归一化传输函数 转换成所要求的模拟滤波器传输函数 ； （5）利用双线性变换法得到所要求的数字滤波器的传输函数 。55 例7-7 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率 p=0.8，通带衰减 p3dB ,阻带截止频率 s=0.44 ，阻带衰