函数的奇偶性.

1、学习目标学习目标: : 理解函数奇偶性的概念， 掌握判断函数奇偶性的方法。xyOf(x)=xf(x)=x2 2)0(1)(xxxfyxOx0-x0f x 0 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类这些函数图像这些函数图像体现着哪种对体现着哪种对称的美呢称的美呢？(-a, a2)(a, a2)作出函数作出函数f(x)=xf(x)=x2 2图象，再观察表，你看出了什么？图象，再观察表，你看出了什么？f(1)f(-1)= 1 = 1f(a)f(-a)= a2= a2f(2)f(-2)=

2、4= 4猜想猜想 :f(-x) _ f(x):f(-x) _ f(x)=32101239410149x2yx2.概括猜想，揭示内涵概括猜想，揭示内涵 结论：当自变量结论：当自变量x在在定义域定义域内内任取任取一对一对相反数时，相应的两相反数时，相应的两个函数值相同；个函数值相同；即：即：f(-x)=f(x)xP(x,f(x)P/(-x,f(x)-xP/(-x,f(-x)f(-x)=f(x)Oxy2.概括猜想，揭示内涵概括猜想，揭示内涵yxO)0(1)(xxxfx0-x0f x 3 x-3-2 -1 0 1 2 3 3)(xxf x -3-2 -1 1 2 3 27278xxf1)(810111

3、21312131例如：对于函数例如：对于函数f(x)=xf(x)=x3 3有有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)= - f(1)f(-2)= - f(2)f(-x)= - f(x)-xx图象关于原点对称图象关于原点对称f(-x)= - f(x)f(-x)= - f(x)奇函数奇函数3.讨论归纳，形成定义讨论归纳，形成定义 一般地，如果对于一般地，如果对于函数函数f(x)的定义域内的定义域内任任意意一个一个x，都有，都有f(x)=-f(x)，那么函数，那么函数f(x)就就叫做叫做奇函数奇函数对于奇、偶

4、函数定义的几点说明:(2) 定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 （3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。例例1.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.112)(2xxfyxyxxxf)(yx-122 , 1,)(2xxxfyx-11 1 , 1,)(3xxxf例例1、已知函数、已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴轴右边的图

5、象如图，画出右边的图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边轴左边的图象的图象.Oyx6.讲练结合，巩固新知讲练结合，巩固新知Oyx例例1、 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴轴右边的图象如图，画出右边的图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边轴左边的图象的图象.解解: :Oyx例例1、已知函数、已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴轴右边的图象如图，画出右边的图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边轴左边的图象的图象.解解: : 练习练习 ：已知：已知f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图是奇函数，试将下图补充完整。补充完整。00yxf(

6、x)yxg(x).判断函数奇偶性步骤判断函数奇偶性步骤:(1)先确定函数定义域先确定函数定义域,并判断并判断定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称;(2)确定确定f(x)与与f(-x)的关系的关系;(3)作出结论作出结论.若若f(-x)=f(x)或或f(-x)-f(x)=0,则则f(x)是偶函数是偶函数;若若f(-x)= - f(x)或或f(-x)+f(x)=0,则则f(x)是奇函数是奇函数.452(1) ( )(2) ( )11(3) ( )(4) ( )f xxf xxf xxf xxx3, |0 x x 1解：( )对于函数f(x)=x+其定义域为x因为对定义域内的每一个x,都有1

7、1 f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)-xx 所以，函数f(x)为奇函数 (1) f(x)= x解解: 定义域为定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点定义域不关于原点对称对称 f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数例例2 2、判断函数奇偶性、判断函数奇偶性(2) f(x)=x3+2x 解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即即 f(-x)= - f(x)f(x)为奇函数为奇函数定义域为定义域为R(3) f(x)=2x4+3x2 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数解解: 定义域为定义域为R即即 f(-x)=

8、f(x)(4)f(x)=0解解: 定义域为定义域为R f(-x) = 0 =f(x) 又又 f(-x)=0 = - f(x)f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数oyx说明说明: 函数函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。 2 2、如果定义在区间、如果定义在区间3 3a,5a,5上的函数上的函数f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，则则a=_a=_3、己知函数、己知函数y=f(x)是偶函数，且在（是偶函数，且在（，0）上是增）上是增函数，则函数，则y=f(x)在（在（0，）上是（）上是（ ）A. 增函数增函数B. 减函数减函数C. 不是单调

9、函数不是单调函数D. 单调性不确定单调性不确定8B本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。4、按函数奇偶性可以把函数分为四类：、按函数奇偶性可以把函数分为四类： 奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇且偶函数。练习1. 说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)=

10、 x -1 _ f(x)=x _奇函数f(x)=x -2 _偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。练习2. 判断下列函数的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1f(x)为奇函数 f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1f(x)为偶函数(1) f(x)=x- 1x解：定义域为x|x0解：定义域为Rf(-x)=(-x) -1-x= -x+1 x即 f(-x)= - f(x)即 f(-x)= f(x)(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解: (3) f(x)的定义域为R f

11、(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数解: (4)定义域为R f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0f(x)为既奇又偶函数yox5oyx说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x- 1 , 3解: (5) f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1 f(-x)f(x) 且f(-x) f(x) f(x)为非奇非偶函数解: （6）定义域不关于原点 对 称 f(x)为非奇非偶函数yoxox-13y解: (8) 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数(7) f(x)= 3 (8). f(x)= xx解: (7) 定义域为R f(-x)= 3 -x = - 3x = - f(x)f(x)为奇函数 奇函数 说明：根据奇偶性, 偶函数 函数可划分为四类: 既奇又偶函数 非奇非偶函数解：1-x20 |x+2|2 -1x1 x0且x-4-1x 1且x 0定义域为-1,0) (0,11-x2f(x)=(x+2)-2f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x- =即f(-x)= - f(x) f(x) 为奇函数.例3.判断函数f(x)= 的奇偶性。|x+2|-21-x