福建省福鼎市高二数学《三个正数的平均值不等式》课件

1、一、回顾：两个正数的均值不等式一、回顾：两个正数的均值不等式22,2a bR abab,2a bR abab2,2aba bR ab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。应用：应用：1、不等式的放缩、不等式的放缩2、求最值、求最值“一正，二定，三等号一正，二定，三等号”222abab2( ,)ababa bR2( ,)2ababa bR（1）积为定值，和式有最小值）积为定值，和式有最小值（2）和为定值，积有最大值）和为定值，积有最大值222abab均值不等式的推广均值不等式的推广333, ,3.a b cRabcabc若求证：引例：和的立方公式：和的立方公式：3223333)(yx

2、yyxxyx 立方和公式：立方和公式：)(2233yxyxyxyx 分析：分析：“作差法作差法”3333abcabc333332222222222:3()333()()()3()()()1()()()() )02,.abcabcabcaba babcabcabab ccab abcabc abcacbcababcabbccaabc证明当且仅当时 等号成立333, ,3.a b cRabcabc因此，当时定理定理 如果如果 ，那么，那么 当且仅当当且仅当a=b=c时，等号成立时，等号成立 Rcba,33abccba （）若三个正数的积是一个常数，那么（）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三

3、个正数相等时，它们的和有当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值最小值（）若三个正数的和是一个常数，那么（）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值最大值 n个正数的算术个正数的算术几何平均不等式：几何平均不等式：.,321321321321等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 例例 求函数的最小值求函数的最小值)0(322 xxxy 解：解： 由由 知知 则则 0 x, 023, 022 xx332222932323232323232 xxxxxxxxy33min323

4、62329343232 yxxx时时即即当且仅当当且仅当解法解法2：由：由 知知 ，则，则 例例 求函数的最小值求函数的最小值下面解法是否正确？为什么？下面解法是否正确？为什么？)0(322 xxxy0 x02, 01, 022 xxx3322243212321232 xxxxxxxxy3min43 y的最小值是的最小值是、函数、函数)0(12312 xxxyA、6B、C、9D、1266 （）变式：变式：C_)1(1642222的最小值是的最小值是、函数、函数 xxy8例例2如下图，把一块边长是如下图，把一块边长是a的正方形铁的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把片的各角切去大小相同的

5、小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子子,问切去的正方形边长是多少时，才能使问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？盒子的容积最大？ax解：设切去的正方形边长为解：设切去的正方形边长为x（0 xa/2），无），无盖方底盒子的容积为盖方底盒子的容积为V，则，则xxaV2)2( xxaxa4)2)(2(41 27234)2()2(4133axxaxa 当且仅当即当当且仅当即当时，不等式取等号，此时取最大值时，不等式取等号，此时取最大值 即当切去的小正方形边长是原来正方形边即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的长的 时，盒子的容积最大时，

6、盒子的容积最大xxaxa422 6ax 2723a61练习：练习：的最大值是的最大值是、函数、函数)20)(2(124 xxxyA、0B、1C、D、（）（）27162732D_)(1,2 bbaabaRba则则且且、若、若3的最小值是的最小值是则则、若、若yxxyRyx24,32 A、4B、C、6D、非上述答案、非上述答案343B注意：注意：1、应用定理的条件、应用定理的条件“一正二定三相等一正二定三相等”这三个条件缺一不可。这三个条件缺一不可。2、不可直接利用定理时，要善于转化。、不可直接利用定理时，要善于转化。小结：小结：利用三个正数的均值不等式求最值利用三个正数的均值不等式求最值“一一正正二二定定三三等等号号”3333( ,)abcabca bR33( ,)abcabca bR3( ,)3abc