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1、.2005年高中数学联赛第13题的背景及解法讨论广东深圳市育才中学 王 扬讨论一些竞赛试题的背景和演变是一件非常有意义的工作，它即可挖掘知识之间的纵横联络，又可以培养学生发现问题、解决问题的才能，同时可激发学生学习数学的兴趣，还可以提醒命题人的思维方法，为学生发现问题的本质提供思路和供借鉴的形式，让他们也能享受到做科学研究的乐趣，使他们以后在科学研究的道路上走的更好些，更远些。下面我们对2005年的一道全国高中数学联赛13题的解法及来历作以讨论，供感兴趣的读者参考。一题目。2005年全国高中数学联赛13题为：数列满足：证明：1对任意nN，an为整数。2对任意nN，an+1an-1为一个完全平方

2、数。二先看此题的解法。（1） 一般有三种解法。解法一：递推并利用根与系数关系。对原递推式移项，再两边平方整理便得 再递推得 改换一种表达方式得 可以看出，为下面关于x的一元二次方程：的两个根，所以 ， 即 据及原递推式知 ，再结合数学归纳法知对于任意 都是整数。解法二：递推并分解因式。对原递推式移项，再两边平方整理便得 再递推得 ，这两式作差并分解因式，得 但据原递推式 ， 由4知 ，以下同解法一 。解法三：解方程法对原递推式移项，再两边平方整理便得 再递推得 ，视为an-1的方程，求出an-1得到 an-1 an由条件知求根公式取负号 联立原递推式与，知 ，。（2） 有两种方法。解法一：由1

3、的解法一的知 再配方得 ，即 据1的结论知： 对任意 都是整数，所以 的左端为整数，从而右端也是整数，即3an+1+an, 即 是一个完全平方数。解法二：由知对于任意nN，有 ，所以递推得 这说明an+1an-1为一个完全平方数。说明：找到数列相邻几项的递推式是解决第一小题的关键，而配方是完成第二小题的根本，值得我们记取。三此题的背景探究1第9届全俄中学生数学竞赛题之一，证明：对一切自然数n，xn均为整数。2英国2001年数学奥林匹克第二轮证明：数列n0是整数数列。3.第19届巴尔干地区数学奥林匹克数列：求所有正整数n，使得1+5anan+1为一个完全平方数。42002年，罗马尼亚为IMO和巴尔干地区数学奥林匹克选拔考试供题第一轮设数列如下定义：，证明：对所有的正整数n，是完全平方数。此题可以看做是今年这道竞赛题经过转化得到递推式后的情形。反过来，今年的这道竞赛题便可以看作是上述题2、3的合成串联。5.26届IMO备选题设nN，kN，证明对于一切自然数n，an均为整数。四几个类似题1. 22届IMO侯选题数列满足且 n1,求数列xn的通项公式。2试证由所确定的数列

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