连续小波变换

1、连续小波变换连续小波变换 连续小波变换是信号时-频分析的另一种重要工具。它的时频窗在低频时自动变宽，而在高频时自动变窄，具有自动变焦作用。结果，在很暂短的高频现象上，小波变换能比窗口Fourier变换更好地”移近”观察。 对于小波函数(t) ，函数 的连续小波变换为 也常记为 上面用到了baabtfdttfabafW,)()(|),)(21),)(bafW),(bafW)(|)(21,abtbaat)(2RLf 小波变换的计算 注意第2讲中函数 的卷枳定义 记 ，连续小波变换可写为卷积 其中证明证明 事实上，由卷积的定义，得再注意 ，即可得证。)(,2RLgfdyyxgyfdyygyxfxgf

2、)()()()()()()(|),)(21bhfasignabafWa)()(1ataahth)()(tthdttbhtfbhfaa)()()(dtatbhatf 1)(dtatbatf1)(21|)(|121aasignaa小波变换性质定理定理 设是小波而 ，则(1) (线性)(2) (平移) 其中 是平移算子 。(3)(伸缩) 其中 是伸缩算子 。)(,2RLgf),)(),)()(bagWbafWabgfW),)(),(cbafWbafTWccT)()(ctftfTc0, ),)(),(1cfWbafDWcbcacccD0, )()(1cftfDctcc小波变换性质(续)(4) (对称性

3、)(5)(奇偶性) 其中P是反射算子(奇偶算子)(6)(反线性性)(7)(小波平移)(8)(小波伸缩)0, ),)(),)(1aWbafWabaf),)(),(bafWbaPfWP)()(tftPf),)(),)(),)(bafWbafWbafW),)(),)(cabafWbafWcT0, ),)(),)(1cbacfWbafWcDc小波重构 如果是一个基小波，则有Parseval恒等式 以及重构公式 上面讨a的积分是从负无穷到正无穷的。由于a代表频率的变化，这时有正频率也有负频率。在信号分析中，我们只考虑正频率。dbadatbafWCtfba 2,)(),)(1)( gfCdbadabagW

4、bafW, ),)( ),)(2小波重构(续) 由伸缩因子a 对频率的影响可以看到，频率变量是膨账参数a 的倒数的正的常数倍，例如，写为 ，其中 是 的中心(假定 总是正的)，这样，我们只需考虑a的正值。 在连续小波变换重构f 中，现在只允许使用值 。这时，对小波还需加上进一步的限制aRbabafW , 0),)() 1 (21| )( | )( |0202Cdd小波重构(续2) 定理定理 令是满足上述条件(1)的基小波，那么 对所有 成立。进而,对于任何 和在f 的连续点 ，有 附注附注 定理的证明完全类似于不限制a的情形,只需注意 gfCadadbbagWbafW,21),)( ),)(2

5、020,2)(),)()(adadbtbafWtfbaC 02020,| )( | )( |xdyyydaaax)(,2RLgf)(2RLf Rt不同小波的重构公式 上面重构公式与Parseval恒等式要求f,g 的小波变换都是对同一小波进行的。如使用不同小波进行变换，容许性条件变为 这时的Parseval恒等式是 重构公式是 这时要对 加上较多条件: , 是可微的,且 并且dC| )(|)(|211,21gfCdbgfadababa,212,2,1,22,1,1,)(21adadbfCtfbaba )(,121RL2)(22RLD)(22RLt)0(0)0(2121,小波生成方法 Gauss

6、小波和Mexic帽小波是Gauss函数的一、二阶导数生成的。这样由光滑函数的导数得到小波函数的作法对一般情形也成立。设(t)是光滑函数，满足 则 就一定是小波函数，因为 如果(t)是满足容许性条件的基小波，则由下述定理可以构造更多的基小波。 定理定理 如果是一个基小波， 是一个有界可积函数，那么卷积 是基小波。1)( dtt0)(limtt)()(ttnndtdn 0)( dttn小波的光滑性与局部化性质 当对小波附加了容许性条件后，应用中有时还需要小波满足其它的性质，例如，要求小波是n次连续可微的或是无限可微的。用卷积方法可以增加小波的光滑性。例如是Haar小波是Haar(尺度)函数，如果与

7、微n+1次卷积，则 是n次连续可微的。上个例子给出的小波是无限可微的,Mexic帽小波也是无限可微的。 除了小波的光滑性外，小波还需要描述的另一个性质是局部化性质。我们想在时间与频率方面都有好的局部化。局部化性质与消失矩 对于时域局部化，和它的导数当t0时必须很快地衰减。对于频率局部化， 当0必须充分快地衰减，并且 在=0的邻域中是低平的。 消失距消失距 在=0的低平性依赖于的变为零的矩量的数目。的k 阶矩定又为 称小波具有n 阶消失矩(即n 阶矩量变零)，如果 或等价地)( )( )( dtttmkk)(nkdtttk, 1 , 0,0)(nkddkk, 1 , 0,0)( 0连续小波变换连

8、续小波变换 小波及连续小波变换小波及连续小波变换 常用的基本小波常用的基本小波 时频分析时频分析 连续小波变换的计算连续小波变换的计算 小波变换的分类小波变换的分类 （重新审视）（重新审视）小波及连续小波变换小波及连续小波变换 12( )( )tL RL R设函数设函数 ，并且，并且 (0)0，即 ( )0t dt，则称，则称 ( ) t为一个为一个基本小波或母小波基本小波或母小波。 ,1( )()a btbtaa, a bR0a (连续连续)小波函数小波函数a和和b的意义的意义,22( )( )a btt,1( , )( )(),fa btbWTa bf tdtfaa 1/21( , )(

9、)()aftbWTa bf tdtafbaa 性质性质： 线性性质线性性质 平移不变性平移不变性 .小波及连续小波变换小波及连续小波变换 12( )( )tL RL R设函数设函数 则称则称 ( ) t为一个为一个允许小波允许小波。 , 若若2( )cd 允许条件与允许条件与 (0)0几乎是等价条件几乎是等价条件. ,211( )( , )( )fa bf tWT a bt dadbca常用的基本小波常用的基本小波 1. Haar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 常用的基本小波常用的基本小波 2. Daubechies小波小波D4尺度函数与小波尺度

10、函数与小波 012345-0.4-0.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函数与小波尺度函数与小波 常用的基本小波常用的基本小波 3、双正交小波、双正交小波双正交双正交B样条小波样条小波（5-3）、）、 （9-7）小波滤波器）小波滤波器bior2.2, bior4.4（7-5）小波滤波器）小波滤波器: 11 1 3 1 1,8 2 4 2 82h2,2nnnnphqh2022221222222232021438245182411644281 212qpqqqpqqpqqqpqqqq 13355533,164 16 2 164

11、162h常用于图形学中。其中尺度函数是一常用于图形学中。其中尺度函数是一个三次个三次B样条。样条。常用的基本小波常用的基本小波 4. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e Morlet小波不存在尺度函数小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morlet小波1,5常用的基本小波常用的基本小波 5. 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这

12、是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。主要应用于阶梯型边界的提取。 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0轴反对称。轴反对称。常用的基本小波常用的基本小波 6. Marr小波小波( ) 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于屋脊型边界和主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。边缘的提取。 22/22( )(1)3ttte242/22 2( )3e （也叫

13、墨西哥草帽小波） 特性：特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化；指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于关于0轴对称。轴对称。 t常用的基本小波常用的基本小波 7. Meyer小波小波它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下： 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttttt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 常用的基本小波常用的基本小波 8. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/2tttt /21, 20, ie 其

14、它在时域，在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。带限函数，具有好的局部化特性。 t常用的基本小波常用的基本小波 9. Battle-Lemarie样条小波样条小波 224222412sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形线性样条小波及其频域函数的图形 t时频分析时频分析 1.

15、 Fourier变换变换Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力分析缺乏信号的局部化分析能力 。 2. 短时短时Fourier变换变换短时短时Fourier变换的基本思想是变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，：把信号划分成许多小的时间间隔，用用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱

16、信息。谱信息。 非平凡函数非平凡函数 2( )wL R称为称为窗函数窗函数， 如果如果 2tw tL R1101( )0tN t 其它值101/2( )11/210Httt 其它 012 20 tttt对对1其它241( )2taag tea2( )N t0a 2221( )tt w tdtw1/22221()( )wttw tdtw 窗口Fourier变换 2ww通常我们用通常我们用作为窗函数作为窗函数的宽度的度量。的宽度的度量。 ,i tfSbf t gtb edt窗口窗口Fourier变换：变换： 大致反映了大致反映了 f t在时刻在时刻 b、频率为、频率为 的的信号成分信号成分的相对含

17、量。的相对含量。 窗口Fourier变换 *,fbbSbf Wf t Wt dt ,()i tbWte g tb,fSb给出了给出了 f t在 ,bW的时间窗 *,ggtbtb 内的局部化信息。内的局部化信息。 短时Fourier变换 g t g若若及其及其Fourier变换变换都是窗口函数都是窗口函数 ，则称，则称 ,fSb为为短时短时Fourier变换变换。 ,fSb同时给出了同时给出了 f t在时间窗在时间窗 *,ggtbtb 内的局部化信息。内的局部化信息。 特别地，当窗口函数取特别地，当窗口函数取Gaussian函数时，函数时，相应的短时相应的短时Fourier变换称为变换称为Gab

18、or变换变换。和频率窗和频率窗 *,g* g 时间时间-频率窗频率窗*,ggtbtb *,g的特性的特性：不变的宽度：不变的宽度* g 和固定的窗面积和固定的窗面积 2g4gg 测不准原理测不准原理：12gg 应用上的局限性应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。：不太适合分析非平稳信号。 小波时频分析 小波分析能够提供一个随频率改变的时间小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。频率窗口。 假设假设 是任一基本小波，并且是任一基本小波，并且 与与都是窗函数，都是窗函数， 与半径分别为与半径分别为 它们的中心它们的中心t，和和。 不妨设不妨设和尺度和尺度 a都是正数。都是正数。1( ,

19、)( )()b atafb atatbWTa bf tdtaa 给出了给出了 f t在时间窗在时间窗 ( , )fWTa b内的局部化信息。内的局部化信息。 ,1( , ),2fa bWTa bf( )()2ibafead给出了给出了 f t在频域窗在频域窗 ( , )fWTa b内的局部化信息。内的局部化信息。 ,aaaa ,batabata 小波时频分析 内的局部化信息内的局部化信息, ,aaaa /a( , )fWTa bt若用若用作为频率变量作为频率变量，则，则给出了信号给出了信号在时间在时间频率平面（频率平面（平面）中一个矩形的时间平面）中一个矩形的时间频率窗频率窗 ,batabat

20、a 即小波变换具有时即小波变换具有时频局部化特征。频局部化特征。 120aa2a窗宽窗宽:面积面积:,a ba的宽度是的宽度是宽度的宽度的倍倍. 检测信号检测信号 f t的高频成分需用的高频成分需用 具有比较小的具有比较小的0a 的分析小波的分析小波,a b变窄，并在高频区域对信号进行细节分析变窄，并在高频区域对信号进行细节分析. . 这时时间窗会自动这时时间窗会自动4 各种变换的比较 小波变换的特性小波变换的特性 分解种类：时间分解种类：时间-尺度或时间尺度或时间-频率频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。小

21、波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量：变量： 尺度，小波的位置尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号适应场合：非平稳信号Fourier变换的特性变换的特性 分解种类：分解种类： 频率频率 分析函数：分析函数： 正弦函数，余弦函数正弦函数，余弦函数 变量：变量： 频率频率 信息：信息： 组成信号的频率组成信号的频率 适应场合：适应场合： 平稳信号平稳信号 算法复杂度：算法复杂度： 短时短时Fourier变换

22、的特性变换的特性 分解种类：时间分解种类：时间-频率频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量：频率，窗口的位置变量：频率，窗口的位置 信息：信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分；窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分； 窗口越大，频率局部化越好窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差此时时间局部化较差. 适应场合：次稳定信号适应场合：次稳定信号连续小波变换的计算 数值近似积分法、快速算法（包括数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等）算法，斜交投影算法等） 在在Matlab小波

23、工具箱中，用小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。（）函数计算连续小波变换。 连续小波变换的结果的显示方式：连续小波变换的结果的显示方式： 灰度表示，三维表示灰度表示，三维表示 0102030405060708090100-0.4-0.60.8 sin(5.89 ), 01sin(8.83 ), 12 sin(5.89 )sin(8.83 ), 230, 3ttttf ttttt 连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点2, 4, 8, 16 , 32 1，2，, 32 小波变换的分类 ,( )a bt, ,a b t中 三个变量均为连续

24、变量，三个变量均为连续变量， 离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类：离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类： 通过对它们施加不同的通过对它们施加不同的离散小波及离散（参数）小波变换：离散小波及离散（参数）小波变换：二进小波及二进小波变换二进小波及二进小波变换只对只对a,b离散化离散化： 只对只对a离散化离散化 离散小波及离散（参数）小波变换 令参数令参数 2ja， 2jbk，其中，其中 , j kZ，则，则离散（参数）小波离散（参数）小波为：为： /22, 2( )2(2)jjjjkttk在这种情况下，常用在这种情况下，常用 ,( )j kt记 2, 2jjk，即，即 /2,( )2(2)jjj kttk相应于离散小波相应于离散小波 的的离散（参数）小波变换离散（参数）小波变换为：为： ,( )j kt,( , ):,fj kWTj kf重构问题重构问题：( ) t在满足什么条件下，可以由离散小波变换在满足什么条件下，可以由离散小波变换 ,j kj k Zf重构原信号？重构原信号？ 可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习