2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（天津.理）含答案

1、.2007年普通高等学校招生全国统一考试理科科数学试题天津卷源头学子小屋本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分，共150分，考试用时120分钟 第卷1至2页，第卷3至10页 考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利!第卷本卷须知：1 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码 2 每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 答在试卷上的无效 3 本卷共10小题，每题5分，共50分 参考公式：·假如事件互斥，那么球的外表积公式·假如事件互相独立，那么其中表示

2、球的半径一、选择题：在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1 是虚数单位， 2 设变量满足约束条件那么目的函数的最大值为 4 11 12 143 “是“的 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件4 设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，那么此双曲线的方程为 5 函数的反函数是 6 设为两条直线，为两个平面，以下四个命题中，正确的命题是 假设与所成的角相等，那么 假设，那么 假设，那么 假设，那么7 在上定义的函数是偶函数，且，假设在区间上是减函数，那么 在区间上是增函数，在区间上是增函数 在区间上是增函数，在区间上是减函数 在区

3、间上是减函数，在区间上是增函数 在区间上是减函数，在区间上是减函数8 设等差数列的公差不为0， 假设是与的等比中项，那么 2 4 6 89 设均为正数，且， 那么 10 设两个向量和，其中为实数 假设，中央电视台的取值范围是 2007年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学理工类第卷本卷须知：1 答案前将密封线内的工程填写清楚 2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3 本卷共12小题，共100分 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分，把答案填在题中横线上 11 假设的二项展开式中的系数为，那么用数字作答 12 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3

4、，那么此球的外表积为 13 设等差数列的公差是2，前项的和为，那么 14 两圆和相交于两点，那么直线的方程是 15 如图，在中，是边上一点，那么 16 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，那么不同的涂色方法共有种用数字作答 三、解答题：本大题共6小题，共76分 解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 本小题总分值12分函数 求函数的最小正周期；求函数在区间上的最小值和最大值 18 本小题总分值12分甲盒内有大小一样的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小一样的2个红球和4个黑球 现从甲、乙两个盒内各任取2个球 求取出的4

5、个球均为黑球的概率；求取出的4个球中恰有1个红球的概率；设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望 19 本小题总分值12分如图，在四棱锥中，底面，是的中点 证明；证明平面；求二面角的大小 20 本小题总分值12分函数，其中 当时，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数的单调区间与极值 21 本小题总分值14分在数列中，其中 求数列的通项公式；求数列的前项和；证明存在，使得对任意均成立 22 本小题总分值14分设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的间隔 为 证明；设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程 2007年普通高等学校招生全国统一考试理科科数

6、学试题必修+选修天津卷源头学子小屋参考解答一、选择题：此题考察根本知识和根本运算 每题5分，总分值50分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：此题考察根本知识和根本运算 每题4分，总分值24分 11 212 13 314 15 16 390三、解答题17 本小题考察三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等根底知识，考察根本运算才能 总分值12分 解： 因此，函数的最小正周期为 解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，故函数在区间上的最大值为，最小值为 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为

7、，最小值为 18 本小题主要考察互斥事件、互相独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等根底知识，考察运用概率知识解决实际问题的才能 总分值12分 解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球为事件 由于事件互相独立，且， 故取出的4个球均为黑球的概率为 解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球为事件 由于事件互斥，且， 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 解：可能的取值为 由，得， 从而 的分布列为0123的数学期望 19 本小题

8、考察直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等根底知识，考察空间想象才能、运算才能和推理论证才能 总分值12分 证明：在四棱锥中，因底面，平面，故 ，平面 而平面， 证明：由，可得 是的中点， 由知，且，所以平面 而平面， 底面在底面内的射影是， 又，综上得平面 解法一：过点作，垂足为，连结 那么知，平面，在平面内的射影是，那么 因此是二面角的平面角 由，得 设，可得 在中，那么 在中， 所以二面角的大小是 解法二：由题设底面，平面，那么平面平面，交线为 过点作，垂足为，故平面 过点作，垂足为，连结，故 因此是二面角的平面角 由，可得，设，可得 ， 于是， 在中， 所以二面角的大小是 20 本小

9、题考察导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等根底知识，考察运算才能及分类讨论的思想方法 总分值12分 解：当时，又， 所以，曲线在点处的切线方程为，即 解： 由于，以下分两种情况讨论 1当时，令，得到， 当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数 函数在处获得极小值，且，函数在处获得极大值，且 2当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数 函数在处获得极大值，且 函数在处获得极小值，且 21 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考察等比数列的前项和公式、

10、数列求和、不等式的证明等根底知识与根本方法，考察归纳、推理、运算及灵敏运用数学知识分析问题和解决问题的才能 总分值14分 解法一：， 由此可猜测出数列的通项公式为 以下用数学归纳法证明 1当时，等式成立 2假设当时等式成立，即，那么 这就是说，当时等式也成立 根据1和2可知，等式对任何都成立 解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为 解：设，当时，式减去式，得， 这时数列的前项和 当时， 这时数列的前项和 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明： 由知，要使式成立，只要，因为 所以式成立 因此，存在，使得对任意均成立 22 本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等根底知识，考察曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法及推理、运算才能 总分值14分 证法一：由题设及，不妨设点，其中 由于点在椭圆上，有，即 解得，从而得到 直线的方程为，整理得 由题设，原点到直线的间隔 为，即，将代入上式并化简得，即 证法二：同证法一，得到点的坐标为 过点作，垂足为，易知，故 由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即 解法一：设点的坐标为 当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中， 点的坐标满足方程组将式代入式，得，整理得，于是， 由式得 由知 将式和式代入得， 将代入上式，整理得 当时