学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准

1、.2009-2010学年第一学期高等数学1考试参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分，共24分。在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分）1当时，、都是无穷小，则当时（ ）不一定是无穷小. (A)，(B) ，(C)，(D) 。【解】 应选D。2. 设不是的整数倍，极限的值是（ ）.（A） ，（B），（C）， （D）。【解】 应选C。事实上 。3. 函数在处连续，则（ ）.（A）， （B） ， （C） （D）。 【解】 应选D。事实上由于，而，要使函数在处连续，必需且只需，即，解得。4. 设函数在点处可导，那么极限（ ）.（A） ， （B）

2、，(C) ， （D） 。【解】 应选A。事实上，当函数在点处可导时，有 5函数的阶麦克劳林公式的拉格朗日型余项（ ）。（A） ， （B），(C) ，（D） 。（以上各式中）。【解】 应选C。事实上，函数的（）阶为 ，所以函数阶麦克劳林公式的拉格朗日型余项为 ，（其中）。6. 设函数在点的某个邻域内连续，且，则点（ ）。（A） 是的极大值点， （B）是的极小值点，(C) 不是的驻点， （D）是的驻点但不是极值点 。【解】 应选B。事实上，由及可得 ，所以在点处可导，从而连续。又由和极限的保号性，对于正数，存在正数，使得当时，有，从而 于是有， （当时）又，结合上式有 ， （当时）这样说明是的极小

3、值点。二、填空题（每小题4分，共24分）1. 函数的值域是 。【解】 应填写或，用区间表示可写为。事实上的反函数为 ，它的定义域为 ，即或。2. 极限（）的值是 。【解】 应填写。3. 由确定函数，则导函数 .【解】 应填写或。事实上方程两边对求导，可得 于是有 。4.曲线的铅直渐近线是 。【解】 应填写。事实上除了点以外，在其它点处定义存在且都连续。而在处，所以是它的铅直渐近线。5. 函数的单调递增区间为 。【解】 应填写。事实上函数的定义域为，在定义域内有 ，令，可得，所以函数的单调递增区间为。6. 曲线，（）的弧微分为 。【解】 应填写。事实上由参数方程可得，于是弧微分为 若填写也可以。

4、三、试解下列各题（每小题6分，共30分）1. 计算极限。【解】 根据洛比达法则，有。2. 求不定积分。【解】 ，（其中为任意常数）。3. 求定积分。【解】 令，则，。当时，；而当时，。从而有 。4. 求函数的极值与拐点。【解】 由得知该函数的定义域为，且，令，得，。对于点，由于，所以函数在处取得极小值，极小值为。对于点，由于，所以函数在处取得极大值，极大值为。令，得，。当时，此时函数是凸的；当时，此时函数是凹的；当时，此时函数是凸的；当时，此时函数是凹的；综合上述，在，时，函数取得拐点，拐点分别是，。5. 求由曲线与所围成的平面图形在第一象限部分的面积。【解】 解方程组，在范围内得，。在区间上，所以两曲线所围成的平面图形在第一象限部分的面积为 。四、试解下列各题（每小题7分，共14分）1. 设，函数，求。【解】 设，则，两边对求导得， ，从而 ，于是 。2. 设抛物线上有两点，。在弧上求一点使三角形的面积最大。【解】 直线的方程为 ，即。线段的长度为 ，点到直线的距离为 （），所以三角形的面积为 （），于是 ，。令，得。所以当时，在取得唯一的极大值，也就是最大值。当时，故所求点为。另解：可用积分方法求得三角形的面积，然后再分析求解。五、证明题（本题8分