第六节高阶线性微分方程

1、1第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构小结小结 思考题思考题 作业作业 二阶线性微分方程二阶线性微分方程线性线性(higher-order linear ordinary differential equation)第七章第七章 微分方程微分方程2二阶二阶)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 时时，当当0)( xf二阶线性二阶线性齐次齐次微分方程微分方程时时，当当0)( xf二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程微分方程微分方程)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 形如形如一、二阶线性微分方程一、二

2、阶线性微分方程线性线性微分方程微分方程)(xf高阶线性微分方程高阶线性微分方程n阶阶线性线性3)()(2211xyCxyCy yxQyxPy)()(定理定理1 1,)1()()(21的的两两个个解解是是方方程程与与如如果果函函数数xyxy的的也也是是那那末末)1()()(2211xyCxyCy ).,(21是是常常数数CC证证 2211yCyC)(2211yCyCxP )(2211yCyCxQ )()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC 0 ,)1()()(21的的两两个个解解是是方方程程与与如如果果函函数数xyxy叠加原理叠加原理0一定是通解一定是通解(1)二、线性微

3、分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构解解,1.二阶二阶齐次齐次方程解的结构方程解的结构齐次齐次高阶线性微分方程高阶线性微分方程4线性无关线性无关定义定义nyyy,21设设02211 nnykykyk线性相关线性相关. .否则称否则称线性无关线性无关. .如如),(sin,cos122 xxx，),(,2 xeeexxx，线性相关线性相关有有恒恒等等式式取取, 1, 1321 kkk0sincos122 xx恒等式成立恒等式成立如果存在如果存在n个不全为零的常数个不全为零的常数,使得当使得当x在该区间内在该区间内那末称这那末称这n个函数在区间个函数在区间I内内为定义在区间为定义在区间I内的

4、内的n个函数个函数.高阶线性微分方程高阶线性微分方程5特别地特别地如如, 0 yy,cos1xy xyytan12 且且.sincos21xCxCy 上上在在与与则则函函数数Ixyxy)()(21线性无关线性无关.定理定理2 2的的两两个个是是方方程程与与如如果果函函数数)1()()(21xyxy)()(2211xyCxyCy )1(0)()( yxQyxPy通解通解,常常数数 为了求为了求只要求它的两个线性无关的特解只要求它的两个线性无关的特解.,sin2xy )()(21xyxy线性无关线性无关的特解的特解,常常数数 那末那末也是也是(1)的的齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解,若在若在

5、I上有上有通解通解.高阶线性微分方程高阶线性微分方程6定理定理2 2推论推论是是n 阶齐次阶齐次线性方程线性方程0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn的的n 个线性无关的解个线性无关的解, 那么那么, 此方程的通解为此方程的通解为),()()(2211xyCxyCxyCynn 其中其中nCCC,21为任意常数为任意常数.可推广到可推广到n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程.高阶线性微分方程高阶线性微分方程)(),(),(21xyxyxyn如果函数如果函数72.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构定理定理3 3 yxQyxPy)()( y设设 的一个的一个特解

6、特解, yYy那那么么 为了求为了求非齐次线性方程的一个特解非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程和对应齐次线性方程只要求得只要求得:的通解的通解.)1(0)()( yxQyxPy非齐次非齐次)(xf(2)非齐次非齐次线性方程的通解线性方程的通解, Y 是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的通解的通解, 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的的通解通解. 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程高阶线性微分方程高阶线性微分方程82xyy 方方程程已知已知xCxCYsincos21 0 yy的通解的通解.又容易验证又容易验证22 xy是所给方程的一个特解

7、是所给方程的一个特解.是是非齐次非齐次方程的通解方程的通解. yYy如如是二阶是二阶非齐次非齐次线性方程线性方程xCxCsincos21 22 x是对应齐次方程是对应齐次方程高阶线性微分方程高阶线性微分方程9解的叠加原理解的叠加原理定理定理4 4是是几几个个函函数数的的右右端端设设非非齐齐次次方方程程)()2(xf yxQyxPy)()(如如分分别别是是与与而而 21yy)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 21yy)2()()()(xfyxQyxPy )(xf )(1xf)(2xf之和之和,的特解的特解,那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理3 3和

8、和定理定理4 4也可推广到也可推广到n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程.高阶线性微分方程高阶线性微分方程10 求解求解xexyy 解解 yy的通解是的通解是xCxCYsincos21 再考虑两个方程再考虑两个方程, xyy xey212 ,1xy 分别是原方程的特解分别是原方程的特解.所以原方程的通解为所以原方程的通解为 y例例xeyy xCxCsincos21 0 x xe21 yY高阶线性微分方程高阶线性微分方程11线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构线性相关与线性无关的概念线性相关与线性无关的概念三、小结三、小结高阶线性微分方程高阶线性微分方程线性微分方程的概念线性微分方程的概念1

9、2 思考题思考题北方交大北方交大93级考题级考题(7分分)xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyxx都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,高阶线性微分方程高阶线性微分方程13证证齐次齐次方程的特解方程的特解.非齐次非齐次线性方程的两个特解之差线性方程的两个特解之差是对应是对应结论结论66)22()2()2(11212 xyxyxyxx)1(66)22()2()2(22222 xyxyxyxx)2(得得)2()1( )(2()(2(212212 yyxyyxx)(22(21yyx 0 所以所以21yy 非齐次非齐次线性方程的两个特解线性方程的两个特解,是是设设21, yy则则是是齐次齐次方程的解方程的解.高阶线性微分方程高阶线性微分方程14方程的通解为方程的通解为3221 xeCxC yYy或或22213xeCxCyx 或或xxexeCxCy 22213,212xyy xeyy 23xex2xex ,2因而因而,齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解xeCxCY221 解解xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyxx都是微分方