二次函数图像与系数关系(含答案)

1、二次函数图像与系数关系一 选择题（共 9 小题）21 （2013?义乌市）如图，抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A （- 1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与 y 轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：1当 x 3 时，yv0; 3a+b 0;-1aw-二； 3n 3 时，yv0.故正确；故正确;根据图示知，抛物线开口方向向下，则av0/对称轴x=12a-b= 2a, 3a+b=3a - 2a=av0，即 3a+bv0.故错误；3抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是（- -1X3=-3,二-3，则 a=-L1, 0), (3, 0),抛物线与 y

2、轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点）2c y2.其中说法正确的是（）考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：根据图象得出 a0, b=2a0, cv0,即可判断 ；把 x=2 代入抛物线的解析式即可判断，求出点（5, yi）关于对称轴的对称点的坐标是（3, yi）,根据当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大即可判断.解答：解：二次函数的图象的开口向上，a 0,/二次函数的图象 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，cv0,/二次函数图象的对称轴是直线x= _ 1,- . .=1,-b=2a 0,根据题意知,b= -2a-,2a=14n=a+b+c=c./ 2c3,卫色

3、 c0, 错误；2/二次函数 y=ax +bx+c 图象的对称轴为 x= - 1,点（-5, yi）关于对称轴的对称点的坐标是（3, yi）,根据当 x - 1 时，y 随 x 的增大而增大， y2 y1, 正确；故选 C.点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和 辨析能力.23. （2013?十堰）如图，二次函数 y=ax +bx+c （a 用）的图象的顶点在第一象限，且过点 （0, 1 ）和（- 1, 0） .下列结论： ab 4a, 0 a+b+c 2, 0 b - 1 时，y 0,其 中正确结论的个数是（ ）C. 3 个考点：二次函数图象

4、与系数的关系.专题：压轴题.分析：由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，可以判定 a、b 异号，由此确定 正确； 由抛物线与 x 轴有两个交点得到b2- 4ac0,又抛物线过点（0, 1）,得出 c=1，由此判定 正确；由抛物线过点（-1, 0）,得出 a- b+c=0,即 a=b- 1,由 a 0 得出 b 1 ;由 a 0,及 ab 0,由此判定正确；由 a- b+c=0,及 b0 得出 a+b+c=2b 0;由 b 1, c=1, a0,得出 a+b+c a+1+1 0,由此判定错误.2解答：解：二次函数 y=ax +bx+c （a 刮 过点（0, 1）和（-1, 0）, c=1, a- b+

5、c=0 .1抛物线的对称轴在 y 轴右侧， x=-尖0,2a a 与 b 异号， ab0,/ c=1, b - 4a 0, b 4a,正确；4抛物线开口向下， a 0,/ ab 0./ a- b+c=0, c=1 , a=b- 1,/ a 0, b - 1 0, b 1, 0 b 0./ b1,c=1,av0, a+b+c=a+b+1 a+1+1=a+2 0+2=2 , 0 a+b+c 0, 由图可知，当 x0 x- 1 时，y 0,错误； 综上所述，正确的结论有 .故选 B.点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中.二次函数 y=ax2+bx+c（a0）, a

6、的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与x 轴的交点个数，决定了b2- 4ac 的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换.考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）专题：压轴题.分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：A、图象开口向下， a 0, 对称轴在 y 轴左侧，-丄2a 0, b0,故本选项错误;B、 当 x= - 1 时，对应的函数值 y0，即 a-

7、 b+c0, a+cb,故本选项错误；C、 抛物线的对称轴为直线 x=-占- 1，又 a 2a,故本选项正确；2aD、 当 x= - 2 时，对应的函数值 y 0，即 4a- 2b+c 0, 4a0；a+b+c0；a-2b+4c0； a=7；l.D. 4a 2b- c则下列结论中，正确的是（）考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：如图，抛物线开口方向向下， av0.-对称轴 x，b av0,2a 3屈

8、ab 0.故正确；如图，当 x=1 时，yv0，即 a+b+cv0. 故正确；3如图，当 x= - 1 时，y=a - b+c 0, 2a- 2b+2c 0,即即 3b- 2b+2c 0, b+2c 0.故正确；4如图，当 x= -2 时，yo，即a-丄 b+c0.242 a- 2b+4c0,故正确；5如图，对称轴 x=-=-丄，则故 正确.2a 32综上所述，正确的结论是 ，共 5 个.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定.26. (2013?德州)函数 y=x +bx+

9、c 与 y=x 的图象如图所示，有以下结论：1b2- 4c0; b+c+1=0 ; 3b+c+6=0 ;当 1vxv3 时，x2+ (b- 1) x+cv0.C. 4 个考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.分析：由函数 y=x +bx+c 与 x 轴无交点，可得 b - 4cv0；当 x=1 时,y=1+b+c=1 ;当 x=3 时，y=9+3b+c=3 ; 当1vxv3 时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+cvx，继而可求得答案.解答：解：函数 y=x +bx+c 与 x 轴无交点， b2-4cv0;故错误；当 x=1 时，y=1+b+c=1 ,故错误；当 x=3 时，y

10、=9+3b+c=3 ,3b+c+6=0;正确；当 1vxv3 时，二次函数值小于一次函数值，.x2+bx+cvx,2.x +（b-1）x+cv0.故正确.故选 B.点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.27.（2012?天门）已知二次函数 y=ax+bx+c 的图象如图所示，它与 x 轴的两个交点分别为（-1, 0）, （3，0）.对于下列命题： b- 2a=0;abcv0;a- 2b+4cv0;8a+c0.其中正确的有（）考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题.C. 3C. 1 个其中正确的个数为（)2分析：首先根据二次函数图象开口方向可得

11、a0,根据图象与 y 轴交点可得 cv0,再根据二次函数的对称轴 x=-丄，结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x=1，结合对称轴公式可判断出 的正 误；根据对称轴公式结合a 的取值可判定出 bv0，根据 a、b、c 的正负即可判断出 的正误；利用 a- b+c=0，求出 a-2b+4c v 0，再利用当 x=4 时，y 0,贝 U 16a+4b+c 0，由 知，b=-2a,得出 8a+c 0.解答：解：根据图象可得：a 0, cv0,对称轴：x= - _ 0,2a1它与 x 轴的两个交点分别为（-1, 0） （3, 0）,对称轴是 x=1 ,- =1 ,2a-b+2a=0,故错误；2/ a

12、0 ,bv0,/ cv0, abc 0,故错误；3/ a - b+c=0 , c=b - a , a- 2b+4c=a - 2b+4 （b - a） =2b - 3a ,又由得 b=- 2a , a-2b+4c=-7av0,故此选项正确；4根据图示知，当 x=4 时，y 0 , 16a+4b+c 0 ,由知,b= - 2a , 8a+c 0;故正确；故正确为：两个.故选：B.点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向，当 a0 时，抛物线向上开口；当 av0 时，抛物线向下开口； 一次项系数 b 和二次 项系数 a共同决定对称轴的位置：当

13、a 与 b 同号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b异号时（即 abv0）,对称轴在 y 轴右.（简称：左同右异） 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点， 抛物线与y 轴交于（0 , c）.考点：二次函数图象与系数的关系.28.已知：二次函数 y=ax +bx+c（a 和）的图象如图所示,（am+b） （ml 的实数）；（a+c）2vb2； a 1 ,F 列结论中：abc 0 ；2a+bv0；a+b 如其中正确的是（）C. 4 个3 个分析：由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理， 进而

14、对所得结论进行判断. 解答： 解： 抛物线的开口向上， a0,与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上， cv0,对称轴为 x= -0,2a a、b 异号，即 bv0,又/ cv0, abc 0,故本选项正确；2对称轴为 x= -L，0, a0,2a-v1,2a- -bv2a, 2a+b 0;故本选项错误；3当 x=1 时，yi=a+b+c;当 x=m 时，y2=m (am+b) +c,当 m 1, y2yi;当 mv1, y2vyi,所以不能确定； 故本选项错误；4当 x=1 时，a+b+c=0 ；当 x= - 1 时，a- b+c0；2 2 (a+b+c) (a- b+c) =0,即(a+c

15、) - b =0,29 (a+c) =b故本选项错误；5当 x= - 1 时，a- b+c=2 ；当 x=1 时，a+b+c=0, a+c=1, a=1+ (- c) 1，即 a 1 ；故本选项正确；综上所述，正确的是有 2 个.故选：A.点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c 系数符号的确定：(1)a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a0;否则 av0；(2)b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式x=-亠判断符号；2a(3)c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴

16、正半轴，则 c 0;否则 cv0 ；(4)b2- 4ac 由抛物线与 x 轴交点的个数确定：2 个交点，b2- 4ac 0; 1 个交点，b2- 4ac=0, 没有交点，b2- 4acv0.29.(2013?莒南县二模)已知二次函数 y=ax +bx+c (a 和)的图象如图所示，有下列5 个结论： abc 0; bva+c; 4a+2b+c 0; 2cv3b; a+bm (am+b) (ml 的实数). 其中正确的结论有()C. 4 个考点：二次函数图象与系数的关系.专题：压轴题；数形结合.分析：观察图象：开口向下得到 av0;对称轴在 y 轴的右侧得到 a、b 异号，则 b0;抛物线与 y

17、 轴 的交点在 x 轴的上方得到 c0， 所以 abcv0； 当 x= - 1时图象在 x轴下方得到 y=a - b+cv0, 即 a+cvb;对称轴为直线 x=1，可得 x=2 时图象在 x 轴上方，则 y=4a+2b+c 0;利用对称轴x= - =1 得到 a= - b，而 a- b+cv0,则-二 b - b+cv0,所以 2cv3b;开口向下，当 x=1,y 有最大值 a+b+c，得至 U a+b+cam +bm+c，即 a+bm （am+b） （mH）.解答：解：开口向下，av0;对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，则 b0;抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，c 0,则 ab

18、cv0,所以不正确；当 x= - 1 时图象在 x 轴下方，则 y=a - b+cv0, 即卩 a+cvb,所以 不正确； 对称轴为直线 x=1，则 x=2时图象在 x 轴上方，则 y=4a+2b+c 0,所以正确；x=寺=1，则 a=专 b，而 a- b+cv0,则-*b- b+cv0, 2cv3b,所以 正确；开口 向下，当 x=1 , y 有最大值 a+b+c;当 x=m （mF）时，y-am +bm+c,贝 U a+b+cam +bm+c, 即a+bm （am+b） （m 詢），所以 正确.故选 B.点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y-ax2+bx+c （a 旳）

19、的图象，当 a 0,开口向上，函数有最小值，av0,开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x - b , a 与 b 冋2a号，对称轴在 y 轴的左侧，a 与 b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；当 c 0，抛物线与 y 轴的交点 在 x 轴的上方；当 -b2- 4ac0,抛物线与 x 轴有两个交点.二.填空题（共 1 小题）210.（2013?柳林县一模）二次函数 y=ax +bx+c （a, b, c 是常数，a和）图象的对称轴是直线 x=1，其 图象的一部分如图所示.对于下列说法： abcv0;当-1vxv3 时，y0;3a+cv0;a-b+cv0,其中正确的是 （把正确的序号都填上）.J丄

20、11|-S -2 -1PE 2 4 5考点：二次函数图象与系数的关系.分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答：解：根据图象可得：av0, b 0, c 0. 则 abcv0,故 正确；当-1vxv3 时图象在 x 轴的上方，且有的点在 x 轴的下方，故 错误；丄=1，贝 U b= - 2a.那么当 x= - 1 时，y=a-2ab+c=a+2a+c=3a+cv0,故 正确；当 x= - 1 时，y=a - b+c 一定在 x 轴的下方，因而 a - b+cv0,故 正确. 故答案是： .点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.（2013?绵阳）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象