2019届高三联合模拟考试文科数学试题

1、东北师大附中重庆一中2019届高三联合模拟考试吉大附中长春十一高中数学（文）科试题吉林一中松原实验高中CABD本试卷共23题，共150分，共4页，考试时间120分钟.注意事项:1.答题前，考生先将自己的考场、姓名、班级填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内2 x6.已知双曲线一下a2 y b21( a > 0, b a 0)的右焦点为F ,、.5, .离心率为3 ,若点F到双曲线的一条32 .选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚.3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试卷上

2、答题无效.渐近线的距离为4,则双曲线的方程为（选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=x|x26x+5M0,B=x|y = log2(x2),AI B =()A. 1,2B. 1,2D.2.设i是虚数单位，若复数2A. 2匕=12B.91616922x y .C .-=125162x257.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处,没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 x = 0 ,则一开始输入的x的值为（A. 34B.

3、78C.1516z 二1 id 1 .B. 1 -iz的共轲复数为（8.在 AABC 中,A, B, C所对的边分别为a, b,c,3.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,.1 .1 2 i若它们的中位数相同,D.甲组乙组则甲组数据的平均数为AB BC =-2,且满足外接圆的半径A. 32B. 3334D. 35sin A + sinC = 2sin B ,则该三角形的7题图31324.已知平面向量a, b的夹角为A. 4B. 25.函数 f (x) =1 +一,且 | a|=2 , 3|b|=1 ,则 |a-2b|=()八4 3A.39.已知长方体B.2、33C.3ABCD A1B1C1D1

4、的底面为正方形,则BC与DB1所成角的余弦值为（DBi与平面ABCD所成角的余弦值为,32 tan xx +的部分图像大致为xB 2B.2C.-3文科数学试卷第11页，共3页10 .已知抛物线y2 =2px (p>0)的焦点为F ,准线为l, P是抛物线上位于第一象限内的一点，PF的延长线交l于点Q ,且PF = FQ "PQj =8 ,则直线PQ的方程为()A. x-.3y-1=0 B. x y1=0 C. 、, 3x - y-2、, 3 = 0 D. . 3x - y -3 = 011 .已知函数 f (x)=sin( ccx+三)一 J3 cos( ox +) ( o &

5、gt; 0) 在区间 :一克二上单调，33_ 4 2且在区间0,2n内恰好取得一次最大值 2,则仍的取值范围是()已知数列an是递增的等差数列， a2 = 3 , a1, a3-s1 , a8+ a1成等比数列.(I)求数列斗的通项公式;B.1 2-43C.口3】 一44,3. .(II )若bn =,求数列«的前n项和Sn.anan 118. (12 分)2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPROI厅上线刷脸支付， 也即用户可以不用手机，单单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过 3000元的男女顾客各300

6、人，调查了他们的支付宝使用情况，得到如下频 率分布直方图：1 212 .已知函数f (x) = axln x -x +a有且只有一个极值点，则实数a构成的集合是()A. 'aa ：二0.' B. 匕 a 0f C.'aa ：" D. 'aa 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.| x - y -1 - 013 .设变量x, y满足约束条件<x + y岂0,则z=x2y的最大值为 .x 2y-4 _0甄率组距支付宝达人非支付宝达人合计男性300女性120300合计600若每月利用支付宝支付金额超过 2千元的顾客被称为“支付宝达人”，利

7、用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”14.已知f (x)为奇函数，当x W0时，f (x) = x2 -3x ,则曲线y = f (x)在点(1, 一4)处的切线方程为.-4二二15 .已知 sin2a= , au(0,)，则 sin ( u)的值为54416 .若侧面积为 4n的圆柱有一外接球 O,当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为(I )若抽取的“支付宝达人”中女性占120人，请根据条件完成上面的2M 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关 .(II )支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议，从

8、“非支付宝达人”“支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查，求至少有1人是“支付宝达人”的概率 .附：参考公式与参考数据如下三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必'须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17. (12 分)K22n (ad - bc)(at>)(cd) ( a ' c),其中 n=a + b + c+ d. (b dP ( K 2 之 k 0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722

9、.7063.8415.0246.6357.87910.82819. (12 分)如图，在四棱锥 P -ABCD中，四边形 ABCD为直角梯形， AD/BC , ZADC =90°,平面数学(文)科试题参考答案PAD _L平面ABCD , Q, M分别为 AD, PC的中点,1 _PA = PD = 2 , BC =AD =1 ,2CD = 3 .(I )求证：平面 PBC _L平面PQB ;(II )求三棱锥P -QMB的体积.B1 .【答案】C2 .【答案】D一 i i 111【解析】复数z = =，根据共轲复数的概念得到，z的共轲复数为：一-一i .故答案为1 i 22 2D.2

10、0. (12 分)已知椭圆22C:二十二 = 1(a >b >0)的离心率为 a2 b21 31,右焦点为F ,且椭圆C过点(1, - 士).223 .【答案】A32 34 一 一 一 一 【解析】：A 由茎叶图知，乙组数据的中位数为=33，所以m= 3 ,所以甲组数据的2平均数为27 +33 +36 = 32 ,故选a.34 .【答案】Brr r r rrr r 二r r【解析】：| a - 2b | =| a | +4 |b | -4a b = 4 + 4-4|a|b| cos 二 4 ,所以 | a - 2b 卜 2 .35 .【答案】D【解析】易判断该函数是偶函数，排除 A

11、 C,当x = n时，f (x) A 0 ,故选D.(I )求椭圆C的方程；(II )若点A, B分别为椭圆C的左右顶点，点 P是椭圆C上不同于A, B的动点，直线 AP与直线x = a交于点Q ,证明：以线段 BQ为直径的圆与直线 PF相切.21 . (12 分)3已知函数 f(x)=ax 一(3a+1) lnx+a, a=R. x(I )求函数f (x)的单调递增区间；(II )当a =1时，试判断函数 f (x)的零点个数，并说明理由2019届高三联合模拟考试6.【答案】Ac 522【解析】：由题意知二% ,，a = 3, b = 4二双曲线的方程为工 =1,故选a.b = 49167

12、.【答案】C【解析】i = 1,(1) x = 2x1,i = 2 ,(2) x = 2(2x-1 )-1 = 4x-3,i = 3(3) x=2(4x 3) 1 = 8x7,i = 4,(4) x = 2(8x 7) 1 = 16x 15,i =5,所以输出16x 15 = 0, 得x=15,故选C.168 .【答案】B1【斛析】因为 AB BC =accos( n _ B) = - ac = 2 ,所以 ac = 4 .2由余弦定理得：b 又BC / AD ,二BC与DB1所成角的余弦值为一. 10.【答案】D【解析】根据 PF =FQ, FQ=8,得F是PQ的中点，且PF =4.过P作P

13、M _Ll于点M ,则由抛物线的定义，得 PM = PF =4,所以NQPM =60 :即直线PQ的倾斜角为60 = a2 +c2 -2accos B . 一 一 一一 一 一.(a+c) 2. .c又因为 sin A+sin C = 2sin B , 所以 a+c=2b.所以 = (a+c)23ac,4一 3 a + c) 2一c所以 3a c) =12,所以(a+c)2 =16,所以 a+c = 4,所以 b = 2,4也凹b 24.32,3所以 2R =0-=,所以 R =.sin B sin 60339 .【答案】CBD 2【解析】：设 AB =a ,则 BD =，2a,又-BD =上

14、，二 DB1 =3a,DB13二 RtADABi 中,ADa 1cos ADB1 = =一B1D 3a 33 二二二2所以 <- 且 < ，所以0<6 E .2 .42 2，3因为函数f (x)在区间0,2冗内恰好取得一次最大值 2,结合函数的图彳t可知 < 2n2一 5二一1512且 > 2n ,所以一£8 < ,所以一£0 E 一.故选B.2 444312.【答案】A【解析】f' (x) = a (1 + ln x) x ,令 f' (x) = 0 ,x ,1、得a (1 + lnx) x=0, a =(x> 0

15、, x= ).11nxex1ln x设 g ( x) =(x>0, x¥-),g (x)=2 .1 + ln xe(1 + ln x)11当 g (x) A 0 时，得 x > 1 ；当 g (x) < 0 时，得 0 < x < 或< x < 1 ,e e1、1所以函数g (x)在区间(0,)和(一,1)上单调递减，在区间(1,+如)上单调递增. e e1 2因为函数f (x) = axlnx x + a有且只有一个极值点，2x,1、 一所以直线y = a与函数g (x) =(x> 0, x# )的图象有一个交点，所以 a <

16、0或a = 1.1 ln xe当a =1时f' (x) = lnx x + 1 E 0恒成立，所以y=f(x)无极值，所以a < 0.13.【答案】-2x - y -1 - 0【解析】满足约束条件4x+y0的可行域如下图所示:x 2y-4_0 _1-设直线l交x轴于点N ,根据FN / PM及F是PQ的中点，得FN =- PM =2. 2又FN | = p，所以p =2 ,即F (1,0),因此直线PQ的方程为，3x y J3 = 0 ,故选D.11.【答案】B31JJIJI 71【解析】f (x) =sin ( ®x + )- 33 cos( ®x + )=

17、 2sin (xx + -= 2sin 缶x ,3333二 二二 二3 二令w0x£ 一 ,因为缶A0,则 <x <，又函数f (x)在区间.1-，一上单倜,222 -2 -_ 4 2由图可知，由lx -y -1 =01 14，可信C . , 卜x y =02 24 二 3因为球体积V= R ,故V最小当且仅当R最小.圆柱的侧面积为3,x y =0 由Wx 2y-4 =0x y 1 二0 一,可得 A(4,4),由 W y ，可得 B(2, 1).x 2y-4 =0h 1所以rh = 2,所以U =，所以r2 rr2 +2之，2 ,当且仅当r2 r号，此时R取最小值.所以

18、r = 1,h = 2,圆柱的表面积为2i十2r父1父2=也.当 1= x =， y233z =x -2y取最大值.故z =x 一2y的取大值为 一.2214.【答案】5x + y -1 = 017.【解析】(I)设斗的公差为d(d>0),由条件得a d = 32a1 2a17d = (2d)d 0【解析】设x>0,则x<0,- f ( _ x) = ( _ x)2 -3( - x) = x2 + 3x.又 f(x)为奇函数，- f(x)= x2+3x,二 f(x)= -x2-3x (x a 0),a1 = 1 d =2, f'(x)=2x3, 二 f 7D =-2-

19、3 =-5, f (1)=Y,an = 1 + 2(n-1)=2n-1., y + 4 = 5 x 1) = -5x + 5 ,二 5x + y 1 = 0.3(II)bn=-加斗.115 .【答10102n-1 2n 12 2n-1 2n 1ji2二4sin 2 支付宝达人非支付宝达人合计男性30270300女性120180300合计150450600【解析】因313111 Sn 1 233 53n12分2n-1 2n + 1,2n 118.【解析】(I)由频率分布直方图得，“支付宝达人”共有600M (0.3+0.2“支付宝达人”中男性为150-120=30人，分2M 2列联表如下：)0.

20、5=150人，故 2二 (一 a ,2. 冗 /、L、= sin-2(- a) = cos2( - -a)_2ji4 ，八.2 ,二、一 =1 -2sin (- -ct),54由表格数据，代入公式可得K2的观测值k= 600"270父120- 180父30)2150 450 300 300所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关72 10.82810又_口 仁(0, 一 ),44,冗 、: sin ( 叼41010(II )由题意及分层抽样的特点可知，抽取的比例为6001_.所以抽取的758人中，“支付宝达16.【答案】6兀1人 有150 M = 2人

21、，分别记为A, B ； 75“非支付宝达人”有6人，分别记为【解析】设圆柱的底面圆的半径为r,高为h ,则球的半径R =2/ h、2r +(一)2a, b, c, d, e, f .从这8人中选取两人，不同的取法有A,BkA,a,A,b,A,c,A, d),A, e,<A, f,拒，a上(B,bl,tB,c),B,d,(B,e),<B,f,(a,b上(a,c),(a,d),ta, e,a,f 上(b,c,fc,d,fc,eJ,fc,f,(c,d),(c,e,(c,f,(d,e,d, f 上1e, f ),共 28 种.10 分其中至少有一个“支付宝达人”的取法有a, B, a, a

22、, a, b, a, c, a, d,<A,e,(A,f,<B,a1(B,b),<B,c,(B,d), fe, e> 缸 f,共 13 种.11分.一 13故所求事件的概率 P=.12分281 一19.【解析】 因为AD P BC , Q为AD的中点，BC = AD ,BC = QD ,2二四边形BCDQ为平行四边形.1分20【解析】（I）设椭圆C的焦距为2cc>0）,依题意,解得 a = 2, b=J3X2,c=1,故椭圆C的标准方程为一4（II ）方法一 设点P的坐标为（x0,y0） , x0=1,因为P在椭圆上，.2X02,y0 _ 12-1, y 03由A

23、, B两点的坐标为（ 2,0）,(2,0),当X = 2时y = 4y0 ,则点Q的坐标为X02(2,a 22,22a = b c19,-2 + 2 = 1a 4b.,2y =1.3=3-2,直线AP的方程为:y= y0 (x+ 2),X024y0X0 2因为 ZADC =90°,BC _L BQ .因为 PA = PD,AQ =QD，: PQ _L AD 2分又平面PAD _L平面ABCD ,平面PAD c平面ABCD = AD ,二 PQ _L平面 ABCD，二 PQ _L BC ,4 分设线段BQ的中点为T ,则点T的坐标为(2,二)，有 BT =X022 yOX0 + 2又

24、PQ c BQ =Q , BC _L平面 PQB .因为 BC u 平面 PBC ,，平面PBC _L平面PQB .(II )因为在 RtAPQB 中，PQ =JPA2 AQ2 =V3 , BQ = CD=/3,S .PQB =131PQ QB =3直线PF的方程为：y=°一 （x 1）,X0 - 1整理为 yOx-(X0-1)yy0 = 0,+22 c 32由 y +（X。 1）= 3- X04则点T到直线PF的距离为2 y0 (% T2y0 _% 2 一 y0X0y y02 +(% -1)2X022X0 + 1 =(X。2 8X0 + 16)=(X0 4)2 ,-2(X0 - 1

25、) I y0,l1-X021131由(I )知BC _L平面PQB，连接QC ,则V=棱锥C_PQB =一S/PQB父BC =父一父1=3：3 221.111又M ZE关段PC的中八、,1” V三棱锥P_QMB V三棱锥M_PQB cV三棱锥C_PQB 一 c c 一 / ,22 24X0 -42 y 0(4- X0)(X0 - 4)(X0 , 2)2y0X0由d = BT ,故以BQ为直径的圆与直线 PF相切.11分故三棱锥P -QMB的体积为1.412分33若x0=1时，则点P的坐标为（1,一）或（1, ），22直线PF的方程为x=1,直线AP的方程为x2y+2=0或x + 2y+2=0.

26、 将x=2代入直线AP的方程得点Q的坐标为(2,2)或(2, 2),线段BQ中点T的坐标为(2,1)或(2, 1)，所以BT = 1.又点T到直线PF的距离d =1所以以BQ为直径的圆与直线 PF相切.11分21当直线PF的斜率不存在即k2 =时，此时直线 PF的方程为x = 1.4圆心坐标为(2, ±1),圆的半径为1,此时以BQ为直径的圆与直线 PF相切.12分由d = BT ,故以BQ为直径的圆与直线 PF相切.12分方法二：由(I )知 A ( -2,0) , B (2,0) , F (1,0).依题意，直线 AP的斜率存在，设直线 AP的方程为y = k (x + 2),5

27、分设点 P的坐标为(x0, y0),'y = k (x + 2)由(x2y2, 消去 y 得 二1,43(3+4k2) x2 +16k2x+16k2 12 =0.-2 x0-16k23 4k2-2、，_ 6 - 8kx0 -2 , - y0 - k (x02)3 4k12k3 4k2二P的坐标为6 -8k212k2，23 4k 3 4k因为直线AP与x =2交点为Q ,Q的坐标为(2,4k) , B (2,0),所以以BQ为直径的圆的圆心坐标为 (2,2k),半径为2k .6 -8k当直线PF的斜率存在，即6 8k 2 #1 , 3 4k2直线PF的方程为y=0- (x-1)，即y x

28、0 -1k2 #,时，44k ,2、.八2 (x -1),整理得 4kx-(1 -4k ) y _ 4k = 01 -4k9分设圆心(2,2k)到直线PF的距离为d ,则k -(1 -4k2) 2k -4kd =c虱4k) +(1 -4k )8k3 +2k16k4 8k2 12k|(4k2 +1)24k 1321.【解析】(I )易知函数 f (x) = ax (3a + 1)ln x+a (aw R)的te乂域为(0,十比)， x、3 3a + 1 ax2 一(3a+ 1) x + 3 (ax1) (x3)f (x)=a + )-=2=2 . . 1x xxx分3- x当a = 0时，f&#

29、39;(x)=2-，令f'(x)>0,得0cx<3,所以函数f (x)的单调递增区间是x(0,3) ., , , , 2分当a < 0时，令f' (x) > 0 ,得0cx < 3 ,所以函数f (x)的单调递增区间是 (0,3) . 3分当 a>0时，f'(x) =("-1)尸一3 A0 等价于(x 1)(x3) > 0,xa4 111右一 <3,即 a>时，由 f (x)>0,得 x>3 或 0cx<一,a3a1、所以函数f (x)的单调递增区间是(0)，(3,+笛)； 4分a-2-1

30、1. (x-3)2若一=3 ,即a=一时，f (x) = '(之0恒成立，所以函数f (x)的单调递增区间是 a33x(0,十 0° ) ; 5 分11.一 一 1若一> 3,即0< a <一时，由f (x) >0,得0<x<3或x>,所以函数f (x)的单调递增区a3a1、间是(0,3) , (-, + «).a综上，当a<0时，函数f (x)的单调递增区间是(0,3)；.1 . 1当0<a< 时，函数f (x)的单调递增区间是(0,3), ( , 十比)；3a1当2 =一时，函数f (x)的单调递增区间

31、是(0,十0°)；3文科数学试卷第15页，共3页.1 . 1，_当a a 时，函数f(x)的单调递增区间是(0, ), (3,+8).6分3a. 3(II )当 a =1 时，f (x) = x 4lnx +1( x > 0),x / /rn、 (x1) (x 3)八由(I )知， f ( x) =2,7 分x（II ）由（I）易得曲线 G的极坐标方程为 P = 2cos0 ,则射线8 =" （P 0 0）与曲线G的交点 3的极径为P1 = 2cos=1 ,7分32射线日=（P20）与曲线C2的交点的极径P2满足P2 （1+2sin2 ） = 3, 339分10分令 f '（x） =0,得 x1 =1, x2 =3,当x变化时， （ x）和f （x）的变化情况如下表:x（0,1）1(1,3)3（3, 十 妙）f '(x)+0-0+f (x)极大值极小值解得P2 =J 30 .5所以AB=P1 -<301 =-1523.【解析】(I)当 x至 3时，f (x)=|x+22x3= x+22x+6=x+8> 2,解得 xc6,二 3Ex< 6；e所以f （x）在（3,十的）上只有1个零点.11分综上可知，当a=1时，函数f （x）有且仅有1个零点. 12分9分所以当0 <x W3时，f (x) W f=1 <0,所