角平分线的性质与判定

1、12.312.3角平分线角平分线的性质的性质福田河中学福田河中学 八年级数学组八年级数学组 夏玉焰夏玉焰 什么是角的平分线？怎样画一什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？个角的平分线？BOAC如图，如图，ABAD，BCDC，沿着，沿着AC画一条射线画一条射线AE，AE就是就是BAC的角平分线，你知道为什么吗？的角平分线，你知道为什么吗？DCBAE分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则则射线即为所求射线即为所求 探索1

2、将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?OABAOBED角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边的距离相等。边的距离相等。在在AOB的平分线的平分线OC上上任取一点任取一点P，然后，作，然后，作点点P到到AOB两边的垂两边的垂线段线段PD、PE，画一画，画一画，量一量，从中你有什么量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中新发现？你能说明其中的道理吗？的道理吗？BOACDPE命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线

3、上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED角平分线的性质角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121= 2 PD OA ，PE OBPD=PE.BOACDPE1.如图，如图，OC是是AOB的平分线，的平分线， PD=PEPDOA，PEOB2.2.如如图所示，在图所示，在ABC中，中，C=90，AD是是BAC的平分线

4、交的平分线交BC于于D，BC=15，且，且CD：DB=1：2，则点，则点D到到AB的距离为的距离为_。 3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC，DEAB于于E，则则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBA练一练3在在ABC中，中，ACBC，AD为为BAC的平分线，的平分线，DEAB，AB7，AC3，求，求BE的长。的长。EDCBA 4.4.ABCABC中中, C=90, C=900 0,AD,AD平分平分 CAB,CAB

5、,且且BC=8,BD=5,BC=8,BD=5,求点求点D D到到ABAB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE（点（点D D到到ABAB的距离是的距离是3） 如图，由如图，由 于点于点 D ， 于点于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论可以得到什么结论 ？ OBPE PD OA 已知：如图，已知：如图， ， ，垂足分别是，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上的角平分线上。AOBOAPD OBPE BADOPE解：设要截取的长度为解：设要截取的长度为m,则：则： 要在区建一个集贸市场，使它到公路要在区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁

6、路的交和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处叉处500米，该集贸市场应建在何处？米，该集贸市场应建在何处？（比例尺（比例尺 1：20 000）公路铁路200001500X解得：解得：0.025m 2.5cm则点即为所求的点则点即为所求的点 已知：如图，已知：如图， ， ， 垂足分别是垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点求证：点P在在 的角平分线上的角平分线上。AOB OAPD OBPE 证明： 90PEOPDO作射线OP 点点P在在 角的平分线上角的平分线上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中，（ HL）BOPAOP （全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边公共边）PD

7、= PE （ 已已 知知 ）PEORt PDORt 角平分线角平分线的判定的判定BADOPEOAPD OBPE 角平分线的判定角平分线的判定的应用书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）DEOPAB角平分线的性质：角平分线的性质：角平分线的判定角平分线的判定BADOPECPD = PEOP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分线的平分线AOBPD = PEOAPD OBPE 用途：证线段相等用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平

8、分线例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且且BEBECFCF。求证：。求证：ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线。A AB BC CE EF FDD4.已知：如图，已知：如图，C= C=90 ，AC=AC .求证求证（1） ABC= ABC ；（；（2）BC=BC .（要求不（要求不用三角形全等的判定）用三角形全等的判定）BCAC5 5已知已知：如图，：如图，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD， BD=CD BD

9、=CD 。求证：求证： ADAD平分平分BAC BAC 。ABCFED课堂练习课堂练习例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相相 交于点交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等. 证明：过点证明：过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直垂直于于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已知）上（已知） PD=PE（在角平分线上的点到角的在角平分线上的点到角的两边的距离相等）两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离

10、相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如如图，三条公路相交，现在要修建一加图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？问加油站该选在什么位置上？拓展与延伸1、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA2、已知已知PA=PB， 1+ 2=1800， 求证：求证：OP平分平分AOBAOBP12EF 3 已知：如图，已知：如图，ABC的的B的外角的平分的外角的平分线线BD和和C的外角平的外角平分线分线CE相交于点相交于点P。求证：点求证：点P在在BAC的的平分线上。平分线上。CA B P DE课堂小结课堂小结 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离