2019年高考数学专题40抛物线热点题型和提分秘籍文

1、2019年高考数学专题40抛物线热点题型和提分秘籍文1 .掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率 ）。2 .理解数形结合的思想。3. 了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。热点题型一抛物线的定义及标准方程例1、（1）已知点M（3,2） , F为抛物线y2=2x的焦点，点P在该抛物线上移动，当| PM + | PF|取最小 值时，点P的坐标为。（2）已知抛物线y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（）A.相离B .相交C.相切D .不确定【解析】（1）如下图，由定义知附二附|故山 + L叼=|PM+附即£阳皿=3看显然，只

2、有当点p在由点M向准线所作的垂线上时，距离之和最小，此时点尸的坐标为Q2” Q）如图所示,设抛物线焦点弦为初，中点为,准线为L则| AA| = | AF , | BB| = | BF ,于是M到l的距离 111,I MN = /(I AA| + | BB|) = /(I AF| + | BF|) =2| AB| o1故以M为圆心，以21AB为半径的圆与直线l相切。选 C【提分秘籍】与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得 解。(2)将抛

3、物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短” 原理解决。(3)引入变量，建立目标函数，利用不等式或者函数性质求解。【举一反三】已知抛物线 C： 丫2=*的焦点为F, A(x。，yo)是C上一点，|AF|=5x。，则x°=()A. 1 B . 2 C .4 D . 8【答案】A【解析】由题意知抛物线的准线为 x=：。因为| AF| =x。，根据抛物线的定义可得 Xo+：= | AF =x。, 4444解得x0=1,故选A。热点题型二 抛物线的几何性质2 2例2、已知双曲线x2 y2=1(a。，b。)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p。)的准线分

4、别交于 A, B a b两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, 4AOB勺面积为小,则p=()3 -A. 1 B. 2 C .2 D . 3(2)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为l ,P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ 则 | QF = ()75A.2 B. 2 C . 3 D . 2【解析】(1)因为双曲线的离心率 e = c=2,又a2+b2=c2,所以 b=/3a,所以双曲线的渐近线方程为 ay=± bx=± V3x,与抛物线的准线x= p相交于A-p,当p i, B'-p,坐p i；所以AOB勺面积为:xp a 122，

5、2y 2，2产2 2 x43P=艰，又 p>0,所以 p= 2。(2)如图，过点Q作QQ ± l交l于点Q',因为后4FQ所以| PQ ： | PF = 3 ： 4,又焦点F到准线l的距离为4,所以| QF = | QQ | = 3。故选a【提分秘籍】1 .涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开 口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性。2 .求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注

6、意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。【举一反三】从抛物线x2=4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为 M且|PM = 5,设抛物线的焦点为 F,则4MPF 的面积为。【答案】101解析】设欢h刈k由题意知，抛物线的准线方程为7=1PM=附=5,3=4,代入抛物线方程得网=4°热点题型三直线与抛物线的位置关系例3.12017课标II ,文12】过抛物线C : y2 = 4x的焦点F ,且斜率为43的直线交C于点M ( M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN _L l ,则M到直线NF的距离为A5 B. 2 2 C. 2.3 D. 3.3【答案】C【

7、解析】由题意得=闻-11与抛物线方程/ :似联立解得M0,2曲)，因此_, * 处、2 3二而+3时=4，所以M到直线NF的距离为4”,选c.【变式探究】已知过抛物线y2=2px(户0)的焦点，斜率为2平的直线交抛物线于 A(xi, yi) , Rxz, y2)( xi<X2)两点，且 |AB = 9。(1)求该抛物线的方程。(2)o为坐标原点，c为抛物线上一点，若 0>OAf入Ob求入的值。【解析】0)由题意得直线池的方程是沙=2隹6一专,与炉二刎联立，从而有4N- 5/+/二0所以工i+g=普。由抛物线定义得典=冗+4+尸=芋+?=%所以P二黯从而抛物线的方程是炉=取。(2)由

8、P=4知4甯一5界+加二。可化为x3-5x+4=0J从而。=1, 4=4,yi=-22?”=4山>从而月。，-2®巩4,4物。设虎=8>间=3 -25)+秋4,4山) =(41+1用血-2依又泌=比h所以2皿8-1加=必4；1+1), 即QI解得 2=0 或；1=2。【提分秘籍】解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系。(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB =xi+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式。(3)涉及抛物

9、线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体 代入”等解法。提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解。【举一反三】设F为抛物线C： y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交 C于A, B两点，则|AB=(A.p B .6 C . 12 D . 7小【解析】抛犍戋c：歹二3工的焦点为 噜，0),所以公所在的直线方程为y=%-3,将量=会& D代入产3电消去y整理得总非+皎如1,户)，38,9由根与系数的关系得Xi十七37=12；故选以2171" 由抛物线的定义可得四I=刈+制+二号41.12017课标II ,文12】过抛物线C

10、: y2 =4x的焦点F ,且斜率为 如 的直线交C于点M ( M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN _L l ,则M到直线NF的距离为A. ,5 B. 2、2 C. 2,3 D. 3.3【答案】C【解析】由题意得式1，。)四=同，-D与抛物线方程/ = 4x联立解得火工2何，因此N _ 1,2®NF二用+(3猿=4，所以m到直线NF的距离为后,选c.1.12016高考新课标2文数】设F为抛物线C: y2=4x的焦点，曲线y=k (k>0)与C交于点P, PF!x x轴，则k=()1 3(A) 1(B) 1(C) -(D) 22 2【答案】D【解析】因为F抛物线y2

11、=4x的焦点，所以F(1,0),kk 一又因为曲线y = (k >0)与C交于点P , PF _L x轴，所以一 =2 ,所以k = 2 ,选D. x12.12016高考四川文科】抛物线 y2=4x的焦点坐标是()(A)(0 ， 2) (B) (0,1)(C) (2, 0) (D) (1, 0)【答案】D【解析】由题意，y2 =4x的焦点坐标为(1,0),故选D.3.12016高考新课标1文数】(本小题满分12分)在直角坐标系 xOy中，直线l:y=t(t才0)交y轴于点M交抛物线C： y2 =2px(p>0)于点P, M关于点P的对称点为N,连结O册延长交C于点H一、十OH求；O

12、N(II )除H以外，直线MHH< C是否有其它公共点？说明理由 .【答案】(I ) 2 (II )没有【解析】(I )由已知得玳2又"为拉关于点尸的对称点，故N(二皿的方程为毛代入丁=28整理得Pt22一 2t2tpx -2t x =0 ,解得为=0 , x2 =,因此 H (,2t).PP所以N为OH的中点，即1°耳=2. |ON |(n)直线 MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：P2t222直线MH的方程为y -t = - x 即x =一(y 一t).代入y =2px得y -4ty + 4t =0,解得 2tPy, =y2 =2t,即直线MH与C只有一个公

13、共点，所以除 H以外直线MH与C没有其它公共点.4.2016高考新课标出文数已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分另J交C于A,B两点，交C的准线于P, Q两点.(I)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明 AR” FQ ;(II )若APQF的面积是 MBF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.【答案】(I)见解析；(n) y2=x1.【解析】1 _由题设 F( ,0).设 11: y =a,l2: y = b，则 ab#0,且2a2b21-11 a bA(,0),B(,b),P(-,a),Q(-,b), R(-,-).222222记过48两点的直线为L则I的方

14、程为2x-(a + b)y-ab = 0.(I )由干F在线段&上,故1 + M = O.记的斜率为无，FQ的斜率为玲，贝 口一bctbL -nbky =2 = -2= = -b =l + a a ab a amAR II FQ.(II)设/与工轴的交点为(乃, 则53 = ；|i-同阿|二9-口|卜一； 由题设可得:性一口卜一：=哼!,所。 设满足条件的AB的中点为E(xzy) 当期与R轴不垂直时，由心=上荻可爷 而=y,所以/ =x(x")2当用与彳轴垂直时，£与。重合.所以,1玲.品勺=限人当=0 (舍去),冯二1.T，= ("HD.a+b x-l所

15、求轨迹方程为/ = x-l.5.12016高考浙江文数】(本题满分15分)如图，设抛物线 y2 =2px(p >0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(I)求p的值；(II )若直线AF交抛物线于另一点 B,过B与x轴平行的直线和过 F与AB垂直的直线交于点 N, AN与 x轴交于点M求M的横坐标的取值范围.(第19题图)【答案】 p=2；(ii) (q,0U(2,F).【解析】(I)由题意可得，抛物线上点 A到焦点F的距离等于点 A到直线x=-1的距离，由抛物线的定义得=1 ,即 p=2.2(II)由(I )得，抛物线的方程为/ = 4孤FQO),可设改区用AF不

16、垂直于¥轴，可设直线AFxry+1,由'消去x得/一一 4二0, 4 二呼+1故凶为二Y，所以, 吗1又直线AB的斜率为上，故直线FN的斜率为-./ -1It从而得直线百9二一三二(/-1),直线BN:尸=一所以V< itt r -1 r2r设M(m, D),由A, M, N三点共线得 h于是用=三所以或m>2.经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是7eu(z2i5.12016高考上海文科(本题满分14分)有一块正方形菜地 EFGH , EH所在直线是一条小河， 收货的蔬菜可送到 F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域 

17、7;和S2,其中&中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S和S2的分界线C上的点到河边与到 F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点。为EF的中点，点F的坐标为(1,0),如图(1)求菜地内的分界线 C的方程(2)菜农从蔬菜运量估计出 S1面积是S2面积的两倍，由此得到§面积的“经验值”为8。设M是C3上纵坐标为1的点，请计算以 EH为一边、另一边过点 M的矩形的面积，及五边形 EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于 &面积的经验值H G【答案】(1) y2=4x (0<y<2). (2)五边形面积更接近于 &面积的“经验值

18、”. 【解析】(1)因为c上的点到直线即与到点F的距离相等，所以C是以尸为焦点、以EH为准线的抛物线在正方形EFGH内的部分,其方程为/=4x (0<y<2).<2)依题意，点Af的坐标为所求的矩形面积为而所求的五边形面积为-24|« q| 1矩形面积与餐睑值”之差的绝对值为w飞,而五边形面积与“经睑值之差1 1 Q 1的绝对值为所以五边形面积更接近于5面积的强睑值。1.12015高考新课标1,文5已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为1 , E的右焦点与抛物线2_2 一. _ - C:y =8x的焦点重合，A, B是C的准线与E的两个交点，则 AB| =()(A)

19、3(B) 6(C) 9(D) 12【答案】B【解析】抛物线 C:y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x = 2, .椭圆E的右焦点为(2,0),22，椭圆E的焦点在x轴上，设方程为 二+4 =i(a>bA0) , c=2, a b122 e=c =_，.- a =4,b2 =a2 -c2 =12，椭圆 E方程为 上+上=1,a 216 12将x =-2代入椭圆E的方程解得A (-2,3 ), B (-2, -3),|AB|=6 ,故选B.2.12015高考陕西，文3】已知抛物线y2=2px(p >0)的准线经过点(一1,1),则抛物线焦点坐标为()A (一1,0)B. (1,0

20、)C. (0,-1)D. (0,1)【答案】Bt解析】由抛物线F=2卬得准线x=因为准线经过点LLD,所以界=2,所以抛物线焦点坐标为(L0),故答案选53.12015高考上海，文7】抛物线y2 =2px(p >0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则P =.【答案】2【解析】依题意，点 Q为坐标原点，所以 2=1 ,即p = 2 . 24.12015高考福建，文19】已知点F为抛物线E: y2 =2px(p >0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上,且 AF =3.(I)求抛物线E的方程；(n)已知点 G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明：以点F为圆心且与直线 GA相切

21、的圆，必与直线GB相切.【答案】(I) y2 =4x； (n)详见解析.【解析】解法一：(I )由抛物线的定义得|AF =2 +-p .因为|AF| = 3”即2 +与=3,解得p = 2,所以抛物线E的方程为丁 =4x.上1(n)因为点A(Zm)在抛物线E二寸二4”上，所以冶=±2质,由抛物线的对称性，不妨设A(2,2,厅).由A(212。，F (L 0)可得直线AF的方程为片2# (九一1).,Iy=2j2(x-1)2由，' '乙得2/-5#+2 = 0,y2 = 4#解得万=2或x=5,从而B 172卜又 G(T0),的”=_2a-。_2a_a-0_2a2 一(

22、T)3« 2 -(-1)3所以 + =。，从而NAGF = ZBGF,这表明点F到直线GA ; GB的距离相等, 故以F为圆心且与直线 GA相切的圆必与直线 GB相切.解法二：(I)同解法一.(II )设以点F为圆心且与直线 GA相切的圆的半径为r .因为点A(2,m )在抛物线E: y2 =4x上，所以m = =2j2,由抛物线的对称性，不妨设A(2,2，2>由 A(2,2j2), F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y = 2j2(x1).y =2、2 x -12由'得 2x2 5x+2=0,2，y =4x解得 x =2或 x =1 ,从而 B '-,-7

23、21. 22又G(1,0 ),故直线GA的方程为2&x3y+2应=0 ,从而r2.2 2.24218-9.17又直线GB的方程为2 J2x +3y +2J2 =0 ,所以点F到直线G B的距离d =2 2 2 2412.8-9一 二r .17这表明以点F为圆心且与直线 GA相切的圆必与直线 GB相切.1 o995.12015局考浙江，又19(本题满分15分)如图，已知抛物线C1: y= x2,圆C2： x2+(y 1)2=1,4过点P(t,0)(t>0)作不过原点 O的直线PA, PB分别与抛物线 C1和圆C2相切，A, B为切点.(1)求点A, B的坐标；(2)求APAB的面积

24、.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该 公共点为切点【答案】(1) A(2t,t) B(r,2)； (2)一 1 t 1 t 2【解析】(D由题意可知，直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为¥ =应兀-力.所以消去Y,整理得： 一4辰+4依=0 一因为直线PA与抛物线相切，所以A = 16/T6A/=。，解得上=九所以X=2乙即点/(2人尸).设圆G的圆心为点君的坐标为(不,为)，由题意知，点B,。关于直线PD对称，故有yo = _xo 12 2t.xot - yo =0解得x02t2t2.即点B(2t 2t21 t2'

25、l t(2)由知，AP直线PA的方程为tx -y -12 = 0,所以点B到直线PA的距离为d =t2,1 t2所以APAB的面积为S =-AP d =L1. （20i4 广东卷）曲线 y=e 5x+2在点（0 , 3）处的切线方程为 【答案】y=-5x+3【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法.因为 V' = 5e 5x,所以切线的斜率 k=-5e0=- 5,所以切线方程是:y3=5(x0),即 y=5x+3.2. （20i4 辽宁卷）已知点N2, 3）在抛物线C: y2=2px的准线上，过点 A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（）A；

26、 B. 2 C. 3 D. 234【解析】因为抛物线a的准线为了=-5且点43）在准线上，所以尸4.设直线AB的方程为x+ 2m）,与抛物线方程产=叔联立得到24m+16=0,由题易知二D, 解得X一女舍）或者12,这时B点的坐标为3）,而焦点尸的坐标为& 0）,故直线筋的斜率 l，一。_4 丘一正1-委3. （20i4 新课标全国卷I 已知抛物线 C y2=8x的焦点为F,准线为l , P是l上一点，Q是直线3B7-2A5C.2 D . 2【答案】B 【解析】由题知 F（2, 0）,设 R2, t）, QX0, y0）,则 FP= （ -4, t） , FQ=（X02, y（o）,

27、由FP= 4FQ得一4=4（x。一2）,解得x0= 1,根据抛物线定义得|QF=x0+2=3.224. （2014安徽卷）如图 1-4,已知两条抛物线 E： y =2pix（pi>0）和E： y=2px（p2>0）,过原点 O 的两条直线li和12, li与Ei,E2分别交于Ai,A2两点，12与Ei,巳分别交于Bi,8两点.图1-4(1)证明：AB/AB2;(2)过O作直线1(异于11, 12)与Ei, E分别交于 G,。两点，记 ABC1与 ARG的面积分别为 S与 S2,求S的值.【解析】解二。屈明二设直线编 £的方程分别为尸丘 尸制3,息纳,由啜黑得/躇，等)同理

28、可得B偌等)，8翳等所以脑=倍一警,等一鲁卜阳售一吉,吉一目，磕=必_她 迪_孙 仕上 i_n心妨 VA5 H? fe h 尸小8 F fe hr故石尸含汝?；所以ASilt A出iQ)由(1)知乂山i#d岛,同理可得为G#比Q, CiAy II CiAf所以金山心S出的6,i s因此缶=1aBi| '24A2E2| /1ABiI|AB2IP1P2又由(i)中的ABi = % A2B2| 知,P2.s P2故&=PT5. (2014 湖北卷)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1 , 0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直

29、线l过定点R2, 1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解析】解： 设点Mx, y),依题意得|MF = |x| +1,即q (x1) 2+y2 =|x| + 1, 化简整理得炉=2(|x|+力.故点照的轨迹。的方程为电点时的轨迹C中，记G：射二钛，G： ¥=呼).依题意，可设直线i的方程为7-1=+2).由方程组'可得守一4y+4("+1尸。 产一4工,当QU时，产L把了=1代入轨迹C的方程，得x二；故此时直线八尸1与轨迹C恰好有一个公共点(3 1)当毋0时，方程的判别式/=-16("2+-1，谩直线t与K轴

30、的交点为(刈，0),则由¥-1=蛤+2),令产0,得3二一一厂一 1C(宿由解得检一 1或加4一LXD<O,E即当kC(8, - 1) u g, +°°，寸，直线l与G没有公共点，与 C有一个公共点.故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)A = 0,x0<0,A >0, 或 xc>0,由解得 ，2域-rk<0.即当ke 一 1, 2 I时，直线l与C只有一个公共点.G没有公共点.当ke | 1, 0时，直线l与C1有两个公共点，与故当回一发o)u-b期匕直线呜轨迹c恰好有两个公共点.(陪由解得一 1<辰一排即当青(1,

31、铜，直线？与6有两个公共点，与Q有一个公共点，故此时直线，与轨迹C恰好有三个公共点.综上可知，当 同% FU& +U0时，直线鸣轨迹C恰好有一个公共点,当在一看0) u 11, 1用寸，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当 ke ( 1, 2 ；u ?, 2时，直线l与轨迹C恰好有 三个公共点.6. (2014 湖南卷)如图 1-4,正方形 ABCB口正方形DEFG勺边长分别为a, b(avb),原点O为AD的中点，抛物线y2= 2px(p>0)经过C, F两点，则b= a图1-4【答案】1 +啦【解析】依题意可得b j代入抛物线方程得a=p, b2= 2ala+ b i!,化简得

32、 b2 2ab1-b- a2-2b- anr3A-7. (2014 全国卷)已知抛物线C: y =2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为 Q,且 |QF=5|PQ. 4(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A B两点，若 AB的垂直平分线l '与C相交于M N两点，且 A, M B,N四点在同一圆上，求l的方程.【解析】解：(1)设Qxo, 4)，代入y2=2px,得Xo=3，p8 一 PX5 一 4=8 一 P十P-28 一 P+P-2OXP-2解得p= 2（舍去）或p=2,所以C的方程为y2=4x.（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设

33、l的方程为x= my+1（0）.代入丁=44 得/- 4叩一4=0.则+网=4M，岫=-4故线段的期的中点为5遍+1加%明二旧1加一画=4整+1）.又直线的斜率为一弧所以？'的方程为工=一1十加+ 3.将上式代入炉二4M并整理得炉+% - 4（温+3>=0设网融，声），Ng,声），则以+网=一号，刈尸-4（2源+3）.故线段的中点为喔+ +3,CTL. 4 （峭+1）也螳 *1孙71+川-*术，由于线段MM垂直平分线段也故/, M? B,"四点在同一圆上等价于型|=|即二3孙, 从而 41AB 2+l dee2=4|MN2,即4(m+i)2+4 (m2+ 1)2( 2m

34、2+ 1)m，2化间得m- 1 = 0,解得m= 1或m= - 1,故所求直线l的方程为x y1 = 0或x+y 1 = 0.8. （2014 新课标全国卷n 设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则4 OAB勺面积为()3 .39 3639A.-4- B. -8- C. 32 D. 4【答案】D【解析】抛物线的焦点为Fj1, 0 1；则过点F且倾斜角为30。的直线方程为y/g_3 14，r3即x=q3y+4,代入抛物线方程得299y - 3 43y 4=0.设 A(xi, yi) , RX2, y2),则 yi + y2= 3 43, y

35、y= 一彳,1一则 s)loab= 2IOFI yiyz|1 3= -x-x2 4(3® 2-4X9. r J9. (2014 山东卷)已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F, A为C上异于原点的任意一点，过点 A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点 D,且有| FA =| FD.当点A的横坐标为3时，4ADF为正三角形.(1)求C的方程.(2)若直线l 1 / l ,且l 1和C有且只有一个公共点E.证明直线 AE过定点，并求出定点坐标. ABE勺面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.【解析】解：。）由题意知年,。） 设项u OX8）

36、，则即的中点为然 0）- 因为陷二阳1，由抛物线的定义知3+今二t-j, 解得+尸或一 3（舍去）. 炉=3,解得p=2 所以抛物线C的方程为铲=4京 QXD证明；由知玳b 0）.设应如M）X卬呜弟分05 0）须刈,因为旧尸阳I，则助一 1尸双+1, 由 30得知=3+2,故。（功+20）故直线血的斜率3=-当因为直线li和直线AB平行，设直线l i的方程为y =次+>代入抛物线方程得y2+ y-= 0,yoyo由题意A =丝+逊=0,彳导b=-.yoyoyo设 E(xe,4YE ,则 yE=-, yo4XE=.y°当yo"时,kAE= 9Xe Xo4一+yo/yo

37、'4yo-2 = 2:,4 yoyo 42yo4可得直线AE的方程为y-ya -xo)；Jtj 叶由用=4kd,一D，直线匪恒过点网L 0).当用=4时,直线期的方程为工="过点巴L 0).所以直线也E过定点取1,0).由知 直线越过焦点双，0)；所以 “I 二1+1 竭=(克0 +1)+ ©+ 1)=刈+5+ 2.设直线AE的方程为x= my+ 1,因为点A(xo, yo)在直线AE上,xo 1故m=yo设 B(xi, yi).直线AB的方程为yyo= y0(xxo),2 .由 yow。，得 x= y + 2+xo.yo代入抛物线方程得 y2+y-8-4xo= o

38、, V。一、，8所以 yo+ y1=-, yo84.可求得 y1=yo, x1=+xo+4.yoxo所以点B到直线AE的距离为+xo+4+myo+ i- 1xoyoi+m4 (xo+ 1), xo所以 ABE的面积的最小值为 16. 2210. （2014陕西卷）如图1-5所示，曲线C由上半椭圆Ci： （+看=1（a>b>0, y>0）和部分抛物线 C2： y = x2+1（yw。）连接而成，G与C2的公共点为A, B,其中C的离心率为43.求a, b的值；（2）过点B的直线l与C, G分别交于点P, Q（均异于点A, B）,若API AQ求直线l的方程.图1-5【解析】解：

39、（1）在C, G的方程中，令y=0,可得b=1,且A（ 1, 0）, R1 , 0）是上半椭圆C的左、 右顶点.设Cl的半焦距为）由=乎及d一夕二二1得g2, .a-2? b=l.方法一：由知，上半椭圆C1的方程为号+必=18式）.易知,直线？与上轴不重合也不垂直,，设其方程为尸帖-D酬6, 代入。的方程，整理得（*+4*-石 + 招4=0.（*）设点P的坐标为（v，”），;直线？过点吃.工二1是方程（*）的一个根.由求根公式，得5,从而”二豆鲁, 工点P的坐标对寞四.同理,由“yk （x-1）（册0）, 尸T + 1 （闫）,得点Q的坐标为（一 k 1, 一 k2 2k）.正ik'k

40、，4），於k（1，k+2）.一加AP-AQ=Q,即其“世一代+2）=：丽，4-4（上+2）=0,解得仁一方经检脸3 符三题意，故直线I的方程为y= -耻-1）.方法二：若设直线i的方程为父二号+1（册邦/比照方法一给分.由|町二5得，爬琲+ 16=5,又户0,解得或p=8,故选C»1.若抛物线y2=2px上一点P（2,/）到其准线的距离为 4,则抛物线的标准方程为 （）A. y2= 4x B . y2= 6xC y2= 8x D . y2= 10x【答案】C2P【解析】由题意可知 p>0,因为抛物线y=2px,所以其准线方程为 x= p,因为点R2, yo）到其准线的距离为4,

41、所以| P2| =4,所以p=4,故抛物线方程为 y2=8x。故选G2.设抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点为F,点MB C上，|MF=5。所以MF为直径的圆过点（0,2）,则C的方程为（）A. y2= 4x 或 y2= 8x B . y2= 2x 或 y2= 8xC. y2= 4x 或 y2=16x D . y2 = 2xy2 = 16x【答案】C1解析】由已知得抛物线的焦点堰力，设点题02）,抛物线上点嗯，泗），贝曲-2）, Ahyj-2k由已知得，才苏二。,即泌-幽+16=心因而刈=4,3.已知抛物线y2= 2px（ p>0）的焦点为F, P, Q是抛物线上的两个点，若

42、 PQ爆边长为2的正三角形,则p的值是（）A. 2 ±木 B . 2+小C./±1 D./1【解析】F§, 0；设P* yij Q|, v；v、手V*。由抛物线定义及|PF=|QF,得2p+,奇+p，221 P.所以 yy2,又 y咛y2,所以 y y2,所以 | PQ = 2| yi| = 2, | yi| =1,所以 |PF = + - = 2,斛得 p=2± J3。2p 2【答案】A4 .已知直线y=k(x+2)( k>0)与抛物线 C y2=8x相交于A, B两点，F为C的焦点，若|FA=2|FB, 则k的值为()A.1 B.手 33设抛物线。f二叔的准线为九x=2,肥戋尸枪+2）他 ?恒过定点P（-20，如图过小H分 作/JJ于M,硒U于M由网二那队则皿=2阙，点£为心的中点，连接C®,则Q3|=%E4|, 所以|= BF，点B的横坐标为1,故点B的坐标为（1口加力把B点坐标代入直线方程得k的值为学小5 .直线l经过抛物线y2 = 4x的焦点，且与抛物线交于 A, B两点，若AB中点的横坐标为 3,则线段AB 的长为（）A. 5 B . 6C. 7 D . 8【答案】D【解析】设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为I。，A