实验7微积分基本运算

1、实验7 微积分基本运算 一、实验目的学会用MATLAB软件求高等数学中函数的极值、微分、积分的方法.二、实验内容与要求1.函数的的极限格式：limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当xa时；limit(F,x,a,right) %计算符号表达式F的右极限，当x时。limit(F,x,a,left) %计算符号函数F的左极限，当x时。【例1.61】 >> syms x a t h n;>> L1=limit(cos(x)-1)/x) %缺省状态下，计算当x0时的极限值 error!>> L2=limit(1/x3,x,0,'ri

2、ght')>> L3=limit(1/x,x,0,'left')>> L4=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0)>> v=(1+a/x)x,exp(-x);>> L5=limit(v,x,inf,'left')>> L6=limit(1+2/n)(3*n),n,inf) 计算结果为： L1 = 0 L2 = InfL3 = -InfL4 = 1/xL5 = exp(a), 0L6 = exp(6)2.求单变量函数的极值格式：fmin(F,a,b) %计算在区间a-b上函数F取

3、最小值时的x的值.说明：在5.3及5.3以上版本命令fmin已改fminbnd,常用格式如下. X=fminbnd(F,a,b) %计算在区间a-b上函数F取最小值时的x的值.x,fval=fminbnd(F,a,b)%计算在区间a-b上函数F的最小值fval和对应的x值。 【例1.62】 求函数f(x)=在区间（-2,4）的极小值，并作图.43 / 8 >> f=inline('2*x.3-6*x.2-18*x+7'); %建立内联函数f(x).>> x,fval=fminbnd(f,-2,4); %求函数f的最小值和对应的x的值。>> f

4、plot(f,-2,4) 结果为： x= 3.0000 Fval= -47.0000 如图1.12所示. 图1.12 例 1.62图形结果 注意：用inline建立的函数f,在funbnd和fplot命令中不用加单引号，而用M函数文件建立的函数则要加单引号. 问题1.25：如何求函数f的最大值？3.函数的微分格式：diff(S,v,n) %对符号表达式S中指定的符号变量v计算S的n阶导数， 在缺省状态下，v=findsym(S),n=1.【例1.63】 >>syms x y t >> %计算 >> %计算 >> 计算结果为： -4*sin(x2)

5、*x2*y2+2*cos(x2)*y2 =-8*sin(x2)*x2*y+4*cos(x2)*y = 720 问题1.26：试一下输入diff(a3*x3-b*x,a,2),有什么错误？为什么例1.63中的diff(,y),y可以不加单引号？（因为在syms x y t中已经定义了符号变量y.如果A是一个矩阵，diff(A)有何意义（求每一列元素的差分）？ 4。函数的积分 (1)quad法数值积分 格式：s=quad(fun,a,b) %近似地从a到b计算函数fun的数值积分，误差为 s=quad(fun,a,b,tol)%用指定的绝对误差tol代替缺省误差。 s=quad8(fun,a,b,

6、···)%用高精度进行计算，效率可能比quad更好. 说明：s=quad8命令在6，x版本用quad代替. 【例1.64】>> fun=inline('3*x.2./(x.3-2*x.2+3)'); %构造一函数fun(x)= >> s1=quad(fun,0,2)>> s2=quadl(fun,0,2) 计算结果为：s1 = 3.7224s2 = 3.7224注意:用inline构造函数比用function构造函数简单；命令quadl最后是字母1,不是数字1.(2)梯形法数值积分格式:T=trapz(X,Y)

7、%用梯形法计算Y在X点上的积分.【例1.65】 >> X=-1:.1:1;>> Y=1./(1+25*X.2); %注意这里用点运算>> T=trapz(X,Y) %计算函数Y从-1到1的积分 计算结果为： T = 0.5492 注意：步长取短，结果较精确.(3)符号函数的积分格式：R=int(S,v) %对符号表达式S中指定的符号变量v计算不定积分.R=int(S,v,a,b) %对表达式S中指定的符号变量v计算从a到b的定积分.【例 1.66】>>syms x z t alpha>>I1 =int(-2*x/(1+x3)2)>

8、;>I2 =int(x/(1+z2),z)>>I3 =int(I2,x,a,b) %这里积分区间a,b由于没定义，所以要加单引号>>I4 =int(x*log(1+x),0,1)>>I5 =int(exp(t),exp(alpha*t)计算结果为： I1=-2/9/(x+1)+2/9*log(x+1)1/9*log(x2x+1)2/9*3(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3(1/2)-2/9*(2*x-1)/(x2-x+1) I2 =x*atan(z) I3 =1/2*atan(z)*(b2-a2) I4 =1/4 I5 = exp(t)

9、, 1/alpha*exp(alpha*t)问题 1。27： 输入 I6=int(exp(-y2)+log(y),1,10),结果较复杂，怎么办？ （这时常用eval命令进一步求数值解） >>I6=1/2*pi(1/2)*erf(10)+10*log(2)+10*log(5)-9-1/2*pi(1/2)*erf(1) >>I61=eval(16) I61= 14.16535泰勒级数展开格式：taylor(f) %求出符号函数f在x=0处的阶麦克劳林年型泰勒展开式。Taylor(f,n,v,a) %求出符号函数f的在v=a点的n-1阶泰勒展开式。【例 1.67】 >

10、>syms a x >>f=a/(x-10); >>y1=taylor(f,x,3) %求f在x=0处的阶泰勒展开式计算结果为：>>y1= -1/10*a-1/100*a*x-1/1000*a*x2 >>y2= -1/6*a-1/36*a*(x-4)-1/216*a*(x-4)26. 傅里叶级数展开TALAB中没有专门用于傅里叶级数展开的命令，可编一个函数文件实现。Function a0,an,bn=mfourier(f)Syms n xa0=int(f,-pi,pi)/pi;an=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi;bn=

11、int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi;【例1.68】 >>syms x >>f=x2+x; >>a0,an,bn=mfourier(f)计算结果为：a0 = 2/3*pi2 an =2*(n2*pi2*sin(pi*n)-a*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)/n3/pi bn = -2*(-sin(pi*n)+pi*n*cos(pi*n)/n2/pi进一步化简：>>an=simple(an)%结果为2/n*pi*sin(pi*n)-4/pi/n3*sin(pi*n)+4/n2*cos(pi*n)>>b

12、n=simple(bn)%结果为2/pi/n2*sin(pi*n)-a/n*cos(pi*n)再经手工化简不难得到an=4*(-1)n/n2,bn=2*(-1)(n-1)/n三、练习和思考 求下列函数的极限。y=(1+x)1/x在x=0处的极限值；y=ln2x/x3在x趋向于正无穷的极限值。 求下列函数的导数。y=x3 +4x2 +8,y=ax4+blogx,f=ma2-na2+mn (对a求2阶导数)。 用多种方法求下列积分，比较它们的结果。 求下列函数的泰勒展开式。y=e-2x x=0处6阶麦克劳林型泰勒展开式。 y=x/sinx x=2处10阶泰勒展开式。 求下列函数的傅里叶展开式y=x

13、y=sin2x2四、提高内容1 积分限均为常数的二重积分格式： q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax).q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol) %指定精度tol. 说明：调用函数quad在区域xmin,xmax,ymin,ymax上计算二元函数z=f(x,y)的二重积分，其中，内外积分限为数值。【例 1.69】 >>fun=inline(y./sin(x)+x.*exp(y);%建立二元函数fun= >>Q=dblquad(fun,1,3,5,7)计算结果为:Q= 3.83119e+0032. 内积分限

14、为函数的二重积分方法一:q=int(int(fun,var1,inlower,inupper),var2,outmin,outmax).说明:在由inlower,inupper,outmin,outmax指定的区域上计算二元函数z=f(var1,var2)的二重积分,其中,内积分限inlower,inupper为变量var2的函数,fun,inlower,inupper是字母串表达式或符号表达式.【例 1.70】 计算单位圆域上的积分: I=先把二重积分转化为二次积分的形式: I= >>syms x y >>f=exp(-x2/2)*sin(x2+y); >>

15、;xlower=-sqrt(1-y2); >>xupper=sqrt(1-y2); >>Q=int(int(f,x,xlower,xupper),y,-1,1); >>vpa(Q,6)计算结果为: Q= 0.536860方法二:在6.x版本编制如下函数文件,实现二重积分,fun为被积函数,inlower, inup, outlow,outup积分内外限. dint.m function SS=dint(fun,inlow,inup,outlow,outup) y1=outlow;y2=outup;x1=inlow;x2=inup;f_p=fun SS=quad(G_yi,y1,y2,x1,x2,f_p); G_yi.m function f= G_yi(y,x1,x2,f_p) y=y(:);n=length(y); if isnumerric(x1)=1;xx1=x1*ones(size(y);else xx1=feval(x1,y);end if isnumerric(x2)=1;xx2=x2*ones(size(y);else xx2=feval(x2,y);end for i=1:n f(i)=quad(f_p,xx1(i),xx2(i),y(i); end f=f(:);【例 1.71】 计算I=. 解