梯度、散度、旋度的关系

1、梯度、散度、旋度的关系梯度gradient 设体系中某处的物理参数 (如温度、 速度、浓度等) 为 w ，在与其垂直距离的 dy 处该参数为 w+dw ，则称为该物理 参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、 浓度 或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微 积分中， 标量场的梯度是一个向量场。 标量场中某一点上的梯度 指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。 更严格的说，从欧氏空间 rn 到 r 的函数的梯度是在 rn 某一点最 佳的线性近似。 在这个意义上， 梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情 况。在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一

2、个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是 一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。 可以通过取向量梯度和所研 究的方向的点积来得到斜度。 梯度的数值有时也被成为梯度。 在 二元函数的情形，设函数z=f (x, y)在平面区域d内具有一阶连续偏导数，则对于每一点p(x，y) d,都可以定出一个向量(Ef/x ) *i+ (8f/y ) *j这向量称为函数 z=f (x, y)在点p (x, y)的梯度，记作gradf (x, y)类似的对三元函数也可以定义一 个：(Ef/x) *i+ (8f/y) *j+ (8f/z) *k 记为 gradf (x, y, z)梯 度的汉语词义,用法。

3、现代汉语词典附：新词新义梯度1.坡度。2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、 速度等）变化的程度 。3依照一定次序分层次地 。我国经济发展由东向西推进。4.依照一定次序分出的层次 。考试命题要讲究题型有变化， 难易有。散度散度（ divergence ）的概念：在矢量场 f 中的任一点 m 处作一个包围该点的任意闭合曲面s,当s所限定的体积 v以任何方式趋近于 0时，贝吐匕值少fds/ v 的极限称为矢量场 f 在点 m 处的散度， 并记作 divf 由散度的定 义可知， divf 表示在点 m 处的单位体积内散发出来的矢量 f 的通 量，所以 divf 描述了通量源的密度。d

4、ivf=气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。 简单地说， 流体在运 动中集中的区域为辐合， 运动中发散的区域为辐散。 用以表示的 量称为散度， 值为负时为辐合， 此时有利于天气系统的的发展和 增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐 散的物理量为散度。微积分学-多元微积分-多元函数积分：设某量场由 a（x， y， z）=p（x， y， z）i+q（x.y， z）j+r（ x ，y, z） k给出，其中p、q、r具有一阶连续偏导数，艺是场内一有 向曲面，n是艺在点（x, y, z）处的单位法向量，则/ a nds叫做向量场a通过曲面艺向着指定侧的通量，而8p/ 8x+ 8q

5、/ 8y+ 8r/ 8z叫做向量场 a的散度，记作diva,即diva= 8p/ 8x+ 8q/ 8y+8r/ 8z。上述式子中的8为偏微分( partialderivative )符号。散度 ( d i ve rgence )的运算法则：div( aa+pb) = adiva+pdivb( a,为常数)div( ua)=udiva+agradu (u 为数性函数)旋度设有向量场a( x，y，z) =p( x，y，z) i+q( x，y，z) j+r( x，y，z) k 在坐标轴上的投影分别为8r/8y-8q/8z，8p/8z-8r/8x，8q/8x-8p/8y的向量叫做向量场 a的旋度，记作

6、rota或curia,即rota= (8 r/ 8y- 8q/ 8z) i+ ( 8p/ 8z-8r/ 8x) j+(8q/8x-8p/8y) k 式中的8为 偏微分( partiaiderivative )符号。行列式记号旋 度 rota 的 表 达 式 可 以 用 行 列 式 记 号 形 式 表 示 ： 若 a=axi+ay ,贝y rota= (day/dx) i- (dax/dy) j 若 a=ax i+ay j+az k则 rota=( daz/dy-day/dz) i+( dax/dz-daz/dx) j+(day/dx-dax/dy) k为一向量。向量场a,数量场u称为汉密尔顿算

7、子，算法不表示了，符号打不出来。%=，称为拉普拉斯算子。梯度 u散度 a旋度vxa首先梯度和旋度是向量场，而散度是标量。 梯度针对一个数量场 (势场)，衡量一个数量场的变化方向。 梯度为 0 说明该势场是个等势场。散度针对一个向量场， 衡量一个向量场的单位体积内的场强。 散度为 0 说明这个场没有源头。旋度针对一个向量场， 衡量一个向量场的自旋。 旋度为 0 说 明这个场是个保守场(无旋场) ，保守场一定是某个数量场的梯 度场。三者的关系：注意各自针对的对象不同。1梯度的旋度u=0梯度场的旋度为 0，故梯度场是保守场。例如重力场。2梯度的散度 2u=u3 散度的梯度 (a)4旋度的散度 (冶)=0旋度场的散度为 0，故旋度场是无源场。例如磁场，磁场本 身是其他场的旋度场。5旋度的旋度(xa) =(%) -2a=(Va) -旋度 场的旋度也要说明一下， 匀强场是保守场， 因此绝对的匀强磁场是不 可能的，磁场本身也是有旋场。1.