线性代数的某些结论

1、12345678910111231234线性代数中的有关重要结论宁荣健n阶方阵A可逆的充要条件A 0。存在方阵 B ,使得AB = E或BA= E。A可表示成若干个初等矩阵的乘积。A特征值全不为零。A可经过初等变换变为 E，或等价于E。A的行(列)向量组线性无关。A的行(列)向量组的秩=n .或r (A) = n。或r(A*) n。A的行(列)向量组线性为向量空间Rn的一组基。齐次线性方程组Ax=O只有零解.非齐次线性方程组Ax b有惟一解。 aat正定。初等行变换的作用将矩阵化成阶梯形： 求矩阵的秩，向量组的秩； 判断向量组的线性相关性，求向量组的极大无关组； 判定线性方程组是否无解、有唯一

2、解、有无穷多解； 求齐次线性方程组基础解系中解向量的个数。将矩阵化成行最简形： 求逆矩阵； 解线性方程组，解矩阵方程； 求齐次线性方程组的基础解系； 将向量组中的向量用其极大无关组线性表示。 初等行变换的性质： 不改变矩阵(向量组)的秩； 不改变线性方程组的解，行向量组等价； 不改变列向量组的线性相关性。 对m'：n的矩阵，初等行变换相当于左乘一个 m阶初等矩阵有关秩的结论0 r(Am n)minm,n。r (A) = r(AT) = r(ATA) = r( AAT)。r(kA) r(A) (k 上0)。若AB,则r(A)r(B),或存在可逆阵P,Q,使得PAQ B ,则r(A)_r(

3、B)。r(AB) minr(A),r(B);或向量组 A可由向量组 B线性表示,则r(A) r(B)。 r( A B) r(A B, B) r(A, B) , min r(A),r(B) r(A,B) r(A) r(B).5678910111213141516若 r(A)r，则 r <r(A,b)：r 1。若 AmBn. l O，则 r (A) I r (B)吒 n。若存在A的一个r阶子式Dr工0 ,则r(A) > r ;若A的所有r十1阶子式Dr t = 0，则r(A) < r。矩阵A的秩=A行向量组的秩=A列向量组的秩n,r(An ) = n,r(A*) = 1, r(A

4、n) = n 1,( n> 1)。0, r(AJ V n 1.对于非齐次线性方程组 Ax b ,当 r(A)-r(A,b) n 时，有惟一解；当r(A) r(A,b) vn时,有无穷多解；当 r(A)cr(A,b)时，无解。对于齐次线性方程组 Ax 0 ,当r(A) -n时，只有零解；当r(A) n时，有非零解。Ax 0,线性方程组Ax 0的解均为Bx 0的解：线性方程组Ax 0与bx_o同解O r(A) - r 。Bi线性方程组 Ax 0与Bx 0同解：A的行向量组与 B的行向量组等价XO r(A) r(B) r ；A的列向量组与B的列向量组等价“三“ r(A) r(B) r A,B线

5、性方程组Ax 0与Bx 0有相同非零解r线性方程组| Ax 0,Bx 0f A非零解o r J n .I.B丿171819四、12345678910示,11若r(A) r，线性方程组 Ax 0的基础解系中解向量的个数为n r。若矩阵方程 AXB有解，则r(A) r(A,B)> r(B)。若A为n阶实对称矩阵，为A的k重特征值，则r( E A n k ,即线性方程组(E A x 0的基础解系中有k个解向量。向量组线性相关性的判定定义：如果存在一组不全为零的数k|,k2,，km，使得k1 1 k2 2km m 0，就称1，2,，m线性相关；否则，称1，2,，m线性无关当m 1时，1线性相关I

6、 10;1线性无关1 0。当m 2时，!，2线性相关：1，2的对应分量成比例： 川2 ；1, 2线性无关二1, 2的对应分量不成比例二 J 2.1 , 2，m线性相关：线性方程组X1 1X2 2 'Xmm 0有非零解1, 2，m线性无关线性方程组X1 1X2 2 'Xmm 0只有零解。1 , 2，m线性相关：一；r( 1 , 2，m)m ；1，2，m线性无关r( 1，2，m)m。若A ( 1, 2，n)是方阵，则1, 2jjn线性相关:A0 ；1， 2，5n线性无关- |A0 ；若A ( 1, 2，m)中存在一个阶子式Dr=0，贝U Dr对应的个列(行)向量线性无 关。初等行变

7、换不改变列向量组的线性相关性。若向量线性相关，则增加若干向量仍线性相关；若向量线性无关，则去掉若干向量仍线性无关。当向量的维数小于向量的个数时，则向量组线性相关。若1，2，'''，m线性无关，则1，2，'''，m，线性相关匚” 必能由1，2，'''，m线性表且表达式唯一。设向量组1，2，'''，m线性无关，(1, 2，m) ( 1, 2，m) Km m，则1 , 2,，m线性无关Km m 0。12属于不同特征值的特征向量线性无关。五、矩阵的等价，合同，相似1若A经过有限次初等变换变成（注1: A与B

8、未必为方阵；注2若A与B相似，即存在可逆阵（注1: A与B必为方阵）3若A与B合同，即存在可逆阵B，即存在可逆阵P,Q，使得PAQ B，则A与B等价。2: A与B未必相似）1P，使得P AP B ,则A与B 一定等价。C，使得CT AC B，则A与B 一定等价.（注1: A与B必为方阵，且一般为实对称阵）4相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征多项式，有相同的特征值。（反之未必）5相似对角化的条件： n阶方阵A可相似对角化A有n个线性无关的特征向量若是A的特征方程的k重特征根，则对应的线性无关的特征向量有k个，即R（A E） n k ； 若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可相似对角化; 若A

9、为n阶实对称阵，则 A可相似对角化。6合同矩阵的性质：n阶实对称阵 A与B合同A与B具有完全相同的正特征值个数、负特征值个数和零特征值个数对应二次型正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数分别相等。一 17若对于正交阵P，若卩一 AP B，则A与B等价，相似，合同。六、特征值的结论1定义：A为n阶方阵，Ax x，x 0， 为A的特征值，x为A的特征向量。为A E 0的根，特征向量x为（AE）x 0的非零解。3 设 1, 2为n阶方阵A的特征值，则aiii 1ntr(A)， i |A|.i 14设1, 2, , n为n阶方阵A的特征值（含重数）， AT的特征值为1, 2, , n （含重数），注意：特

10、征向量未必相同 （）为多项式，则（A）的特征值为（1）, （ 2）,，（n）（含重数），且其特征向量与A的特征向量相同；特别地，若Ak O，则A的特征值全为零;若A2 E ,则A的特征值只可能为1或1 ;若A A，则A的特征值只可能为1或0。1 1若A可逆,则A 1的特征值为，一,1 2丄；A*的特征值为,-,n12，（含重数）,n且其特征向量与 A的特征向量相同。5 其它结论： 对角矩阵的特征值为其主对角线元素； 相似矩阵具有相同的特征值。注意：特征向量未必相同; 属于实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交；n阶正交阵A （ AA E）的特征值为1或1或模为1的复数;若方阵A的各行元素之和为 k,则k为A的一个特征值，且特征向量为(1,1;,1)T; 若方阵A不可逆，则0为A的一个特征值； （了解）设代B均为n阶方阵，则 AB与BA具有相同的非零特征值;（了解）设A为n阶方阵，且r(A) =1，则 0 为 A 的 n1重特征值.七、二次型及实对称矩阵的正定性、1充要条件：n兀二次型f xT Ax正定对任意x 0，均有xT Ax 0A正定A的特征值全大于零A的各阶顺序主子式全大于零f的正惯性指数为n存在可逆矩阵U ,使得AUUn元二次型f xT Ax负定对任意x 0,均有xTAx