线性代数重点知识总结

1、说明： 1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末 考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。 2.知识点会了不一定 做的对题，所以还要有相应的练习题。 3.前后内容要贯穿起来，融汇 贯通，建立自己的知识框架。第一章 行列式1. 行列式的定义式（两种定义式） 行列式的性质 -对行列式 进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙 相减、加行加列、 递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的 0 为依据的） .2. 行列式的应用 克拉默法则（成立的前提、 描述的内容、 用途， 简单的证明可从逆矩阵入手） .总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值 /判断正定

2、性等 内容时顺便考察行列式的求解。第二章 矩阵1. 矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤 之别。2. 高斯消元法求线性方程组的解唯一解、无解、无穷解时阶梯型 的样子（与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起 ）3. 求逆矩阵的方法（初等变换法， I 起到记录所有初等变换的作用） 、 逆矩阵与伴随矩阵的关系。4. 初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对 应的初等矩阵。5分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题 ）记得结论A可逆,则A|A|(1- tA-1 ).第三章线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作 一

3、个列向量，从而得到一个向量组假设为1, 2, , n，右边常则看作一个向量 ，1）若向量被向量组1, 2, , n表出唯一（即满足关系：r（ 1, 2, , n） r（ 1, 2, , n, ） n时，因为只有向量组1, 2, , n线性 无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若不能由向量组1, 2 , , n线性表出（即满足条件r( 1, 2,n)1r( 1 ,2,n,）时）则无解；3）若由向量组1, 2, , n表出不唯（即满足条件r( i, 2,n)r( 1, 2 ,n, ) n时，只有i, 2,n线性相关才表出不唯）有无穷解。1。线性相关、线性无关的定义、描述及判定2向量组的秩的定义及极

4、大线性无关组的求法（化为阶梯型后同高度选一个）3。矩阵的秩向量组的秩相对应。4. 齐次线性方程组非零解的条件（r（ 1, , n） n,列向量线性相关或秩） 和解得结构（n-r（ i, , n）个线性无关的解的线性组合）。5.非齐次线性方程组的解存在的条件（r（ i,)r( i,）及解的结构（对应的齐次线性方程组的解 +一个特解）第四章向量空间和线性变换 第二章高斯消元法关于如何求线性方程组的解， 多用于线性方程组解 的计算；第三章线性方程组的解从向量组的角度来讨论解存在的条件 及解 的结 构， 向量 被向 量 组 1, 2, , s 线性表 出 形式 与 （ 1, 2, , s）x 的解相互

5、对应；第四章是从线性变换和空间的角度来 讲解线性方程组的解 .1）线性变换： 线性方程组的解看做原像， 线性方 程组的右端项看作是线性变换的像。线性方程组有解就说明右端项 （ ） 在线性变换的 A 的象空间里。 2）内积结合线性子空间的角度考虑 线性方程组解的结构 （主要是齐次线性方程组的解的结构， 齐次线性 方程的系数组成的列向量组所张成的子空间和解空间互为正交补， 注：互为正交补的空间为维数加起来等于全空间的维数且相互正交的 子空间）。重要内容 :坐标变换、过渡矩阵、施密特正交化方法 .第五章特征值特征向量 矩阵的对角化特征值和特征向量承接了第四章的线性变换的定义， 一个矩阵 A 的特征向

6、量 ，则满足条件 A （线性变换不改变向量的方向） ， 变化前后（和A ）两个向量相差一个倍数，恰好就是特征值.Ann至 多有 n 个线性无关的特征向量， 这是因为线性变换的像空间的维数至 多为n维的.当A恰好有n个线性无关的特征向量时 A可对角化，即存在关系为 （ 1, 2, , n） 1A（ 1, 2, , n） 2 。注意并不是n 所有的矩阵都可以对角化的， 只有含 n 个线性无关的特征向量的矩阵 才可以对角化。 对于所有的实对称的矩阵则都可以对角化， 并且不同 特征值的特征向量相互正交，且对角化的矩阵可以为正交矩阵。重要内容 ：1。求特征值、特征向量 2、实对称矩阵运用正交阵 来对角化

7、（求正交矩阵 ） 3、特征值、特征向量的关系，例如不同 特征值的特征向量的和不再是特征向量 ,不同特征值得特征向量线性 无关，实对称不同特征值的特征向量相互正交。第六章 二次型二次型把二次齐次多项式f（Xi，X2，Xn）写为XTAX的形式，其中A 为实对称矩阵， 则根据第五章内容实对称矩阵都相似于一个对角矩阵 得出存在正交矩阵P使得PtAP。注意相似与合同的区别，相似矩阵是B P-1AP，合同矩阵是C QtAQ （合同矩阵要保持对称性，所以形 式上就有很大的差别）若是存在可逆阵Q使得C QtAQ，则进行可 逆 的 线 性 代 换 y QX 即 可 把 二 次 型 化 为 f（X1,X2, ,Xn） XTQTAQX yT y ，即化为只含平方项的标准二次型。 化为标准二次型有三种方法 :配方法、正交矩阵方法（对角元素为特 征值）、初等变换法。 惯性定