线性规划个人笔记

1、第一章、线性规划线性规划（Linear Programming 简记 LP）解决的问题：如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。目标函数及约束条件均为线性函数， 故被称为线性规划问题。线性规划问题就是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。线性规划的Matlab标准形式min dxAjc<bs.t. * Aeq jc = beqlb <x< ub其中亡和.斗为h维列向fib A . Aeqj适当维数的葩阵，b .方为适当维数的列向 孔例如线性规划max cTx s.t. Ax > bJC的Matlab标准舉丸min c x s.t.

2、A.x < b目标函数必须是min。心线性规划间趣的（热学）林准世丸（3）为目标函数，（4）为约束条件可打解 満足约束条件斜）的解x二曲严兀,），称为线tt规划问題的可抒解. 血使冃标萌数（3）达押绘兀值的可行解叫堀优斛，可行域 听冇可行斛构成的果存称为问题的可疔域*记为/?最优值：最优解对应到目标函数的函数值。求解线性规划问题的解法:1.图解法线性规划用图解法求解可能的几种结局: 唯一最优解 无穷多最优解 无界解 无可行解图解法的优点：图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。2.求解线性规划的Matlab解法在线性规划中启标函数和的束函数祸是 践性宙数*践鬥规划问也可揣述

3、为：min fxFs.u(i4束条件詁叫L工 *. 其屮广g为附址mA为矩阵, x为议il向毎变就哦岭衣禅程忻肝A扣 自量/見线性不零式的束杀件的系数.拒阵心是蛛性導式憾g条件的系敖, £“心和是变站X ifj卜界冋冈和I:界向SMAXLAB中,linp用卜战性規 賜冋議阿求胖，谨确麴的调用济式为：| f Jlinprogt f b Si e"T-肌 p2.K )其巾甸沟x的起结点”OPT为绘制班城" 请瞬散允许佚冈附就|寿救拠宀2 .运葫克 锻石倍睾將任性星W中匹比口标朋樹密血 吃爼 / 'I' idI1-3.可化为线性规划的问题（一）含绝对值的

4、“伪线性规划”问题min |曲 | + |也 |+- +|兀 |s, L Ax S b其屮x =眉和为為相隠维散的血阵和向量.塑把上面的问題变換成钱性规刖何些.貝瞠注意到爭实：时任意的兀卩存在 m仝aQ潢足斗二比一岭*丨斗|=旳+片申实I,我们h険取旳=巴¥片=匕导就町以满足上而的条件*这桦.idw = l»i 甘J v = V vjr从而我们可以把上和的树題min 工（眄+气）/-IAu v）b丸L «u, viO例：1*第一类问题（含绝对值的样伪线性规划那问題）：二二|兀1 |十2 |兀？丨十3丨兀丨十4 | x4S化工一曲-x.+x4 -0rV _ X 1

5、+ ' 3 3牙斗二*工、一+ 3x* = 一要把上U的刚杀雯换成线性规划制18，只靈卄血:到,犷夹；刑伟盘的兀.（ffl %片A°満屣百=“n 斗 k ttt + v；爭实上.OJH'45取叫二空半"比=J可叫就对驭酒址I価的条件.min U =+2u2 + 3u3 + 4w4 + 2v2 + 3v3 + 4v4Uy 一 Uy 一 + 一 片 + 耳 + 卩3 一 卩4 =0"i “2 + 均 一 3览4 一 % 十卩2 匕 + 3v4 = 1坷 _ 越 _ 2码十 3? vA 十卩2 + 2vj 一 3v4 =>0(/= 1.2,3,4)

6、AetrU, -1, 7,1, -1,1,1,-1:1, -1>1, -lf 3;l,-L?-2, 3, -1,1, 2,-3;b«i=0;l;-l 2;Ltseras (8T 1);avOzones(8,1)."iptions 二 optimset C LargeScal e t T off' r s Siirpl ei1 f'orf Diagnostics*, * on' / Uaxltr', 1000);Zllvt fval, esitflagj outputj 1 ambdainpra(o, ： ., Aebeq? lb, ,

7、livO, cptions1 银得u】，u2tu3 u4f vlj v2t v3_, v4分别为;1, 4. 0, Q 0> 0t 0, 0, 1 4> 即 xlr x2P x3t 刈的值分别为：1/ 4t 0, 0t -1/ 4时.最小者为1.25 甲L in旳验证结果:ncid&l:nirL=<Saba (xl' +=ft®abs垃)+5軸甜已(x 3)弋恤乩 a (x4); x1-x2-x3+k4=0,1-k2- 9-34=1； isl-K2-2*w3+3t!4=-l/2;fiee (si) ;©fxee(se2) ;®fr

8、ee (x3) ;(&fxee(sc4);end）含取最大值或最小值的“伪线性规划”问题max z = Cj | 舟 |/-ist.、取值无约束OAIH<ovl£ I 疔 + OH ovlzx + 才 + ©HIJ-H 扌 K十 IHOK UIUI»nrMAQMOJruA舄 卅ic 十気丄 f艮匾档 二乌PC虫半立拓半顒n-专F0闵3嚴0AlV7X二乞FVIH+ 冷2 疔-TZ HKKZI HH'+ -X J 宀 H EH+H&X + fHH】XES SIU8程序；clear:clc;e=l, Ot Ot 0：Aea=0( 1UG 2

9、#-L0：be(pl:2:A=0, L-2. 1：-L.L-L l：-k l.L 0：-LLO,-1;b=l:0:0:0_ :lb=zeros(3, 1):xxO=-inf;D：0;OJ：options = optiEset (' LargeScale1, J off、 ' Siinplex,'on" / Diagnostics7 / on7 / Maxitern, 10001 :xT fval, exitflagi output, lambda=Linpro&(cF A, bt Aea, beq, lb» kkO, options) 求猖结

10、杲小皿靳询分别为=1,0,0时，取得最优解为-用Lin匡。验证结果：model:sets：object/1. * 3/： f;endstsf(1)-用1-工2十x3:f(2)二 xl+x2;f(3)二 xl-x3;sl+x2-x3=l;2*xl-x2=2;寰1-2权2-垃 二1;min = ®smx (f (1), f (2), f (3);end(三)线性回归问题性回归是一种常用的数理统讣方法.这个方法要求对图上的一系列点选配一条合适的育线拟合.方法通常是先定直级方程为 y = abx.然肓按某种准则求定a.b, M常这个准则为最小一乘法*但也口J用其他准 血 试根眾以卜准则住立这

11、个问观的线性观划摸也mm乞|兀-(口十如)|例:线性到归是一种常用的数理统计方法，这个方法要求对團上的一系列°（xl,yl iT 仗2理刃（w, ynm配一条合适的直线拟合方法通常是先定直线方喪为：v-氐十乩 憑后按菜种准則求4 b°谯特这个准则为最小二乘法，川求葩耳”-1"牝）1白对应的恥b值：下面用线性越划求祈；按照第一类问题的解法，设有四个点为：（1,2人4）,（3，（4,1（0,令|z 一（a +近）| = ut+vl,yi-（a+bxl） = ui 一 叫,珂,匕 > 0 模型转化为：minOa + 0b + uY + uL + u3 + m4 +

12、 v2 + v2 + v3 + v4 a + b十叫 _v = 2ct + 2b + ii7 v> 4 心” q + 3方+砒一叫=8d + 4Z? + 捉斗一=10a.b> -go,u.,v. >0(z = 1.2,3,4)clearclc;c=0, 0,1,1,1,1, lj 1, ljl,Aeq=l, 1,1, 0,0, 0, -lf0f0f0 1, Z 0,1, 0, D,0,-l,0, D.l, 3,0, 0? 1.0. 0, 0,-1,0丄£0 0, 0,1, 0,0,0,-1 Jbea=2;4;8;10;lk= -inf, -inf, 0, 0, 0,

13、0,反 0, 0;uvOonBG (10, 1 ':options = opiimset (lJ Largeijcle* 'oft", Simplex','cn 、' Di agnost i sJ,' anJ / Haxlt cr" * 1 ODO);dMiv, fal. eaitflag, outm：, lamtdal = liLrir>rog(£1, H, Aeo. bea IK r abuvO. options)求解得出：沪-0. 66B7, b=2,6567.脸证结果：用LAngo求解验证：ueldfuI +n 2+u+n4：+v 1+v2+v3+v4 ;a+b+Til-vl=2;十护b7v2=4ja+3*b-Ki3-v3=