考研选讲-随机变量及其分布

1、概率统计一随机变量及其分布重要概念一分布函数；分布律；概率密度；重要性质和方法一分布函数与分布律或概率密度的关系；离散或连续情形下求随机变量生成的事件的概率；求随机变量函数的分布。重要分布一泊松分布；二项分布；均匀分布；指数分布；正态分布。(注意正态分布性质)【例2.1】选择题C1)假设随机变量X的概率密度 g 擡偶曲数分布函数为FQh则 (A)F(x)是偶甫数是奇函数.(C)F(x) += 1.(D)2F(x) - F(-x)1._【分析与解答】由分布函数单调性和非负性知A,B均不可能，由极限性质知 D不可能，故只能选C.-xx事实上，F(-x)= i=f(t)dt 匾f(-u)dux f(

2、t)dtx-be-be所以 F(x) F(-x)= f(t)dt f(t)dt= f(t)dt = 1X(2)假设X为随机变量.则对任意实数s槪率P(X = ) = O的充分必要条件 是(A) X是离散型随机变量.(B)X不是离散型随机变量*g)X的分布函数是连续函数.(D)X的概率密度墾连续函数.【分析与解答】 对任意实数抚有P(X = ) =0是连续型随机变量的必要条 件但不充分.因此<B)XD)不能选.离散型随机变量必有a便IHX = a) HOMA) 不能选故正确选项是几事实上少(X =。)= OF(a-F(ci-O) =0.«对任 意实数ff.F(a) = F(

3、71;-O)F(r)是龙的连续函数.(和假设随机变的分布函数+槪率密度分别为F,(J：).Fz(x)；y3(x). /2(x>.如果乞> 0/A Si > 0.则下列结论否丐辱的是(加甲(工)+氐(工是某一随机变矍分希诂如的充要条件是= L(B) eFL(z)F,)是英一随机变61分布函数的充要条件是=L(CM人(刃丄bfz(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a-b = L某一随机变量槪率密度的充要条件是r = L 【分析与解答】 由分布函数的充要条件正确.由槪率密度充要 条件知正确，而(D)未必正确因此选择(D).事实上工)凭(工)为概率密 cf!= lc/j (工)血

4、(DO且广=+ *A = P /(x>/=(xdx(假设右式积分存在)显然A未必等于】所以选坝(D)不J W正确*【例2.2】)已辿随机交谊天的概率.分布为k123P<X = Jt)似 j 一 e>(1-W!且P(X 2) = 2求未知参数及X的分布函数 玖工).<2)已知X的分布函数为Fa：).槪率密度为只工人当龙笙0时川刃 连续且 /<x) = F(x).若 F(0) = X 求 FUr)JG).【分析与解答】(D 由 F(X>2) = P(X = 2)-FP(X= 3) = 2(1-0) + (1 鉗 =1 一护=求得仁士丄又p(X = 2) = 2&

5、lt;?C1 孑0故取抄=V'4££从而得X的概率分布k123F(X = k)1T1217由此可再求得F(x)(2)由于F©是单调不减函数故对Vx>0有F&) = X又当工冬0时捉刃 连续，故 八工)=已知/Q) = F3.由微分方程F7x) = F(Q,F(O) = L f吧"*工W 0 »亡H *工< Q .解得 F(X)= eJ(xO).从而得 F(D = fCr)="11 h > 0*0.【例2.3】假设X是连续型随机变量，其分布函数为(I婁 < 1F(x) = 虹!y + cr 十d*

6、 1 x e.Id»x > e*试求常数 ZZ 及槪率密度f (工人【分析与解答】 由FQ)充婆条件及F(£是连续函数确定a.b.c.d,且八刃=尸(丈人由于F(£是连续型随机变境的分布函数*所以F3 是连续单调不减函数. 且F&8 = i*F(g) = 0,由此即得0 = F( °°) = a F(1) = F(1 0)即 c + a => c = 一 1L = F(+oo)=N F(e) = F(芒+ 0)$ 艮卩6e + ce + d dZ> = 1?再由F (x)导数容易求得概率密度 f(x)d)设X槪从参数为

7、人的泊松分布MX = 1) = P(X = 2>.求概率PO<X£ < 3(4)(91103)设 X )且 P(2 < X < 4) = 0.3,求 PCX < 0),(5)设 X N( j；2),且PX 250 = PX :：: 350，求数学期望 EX【分析与解答】<3)已知 PCX =M 占=(hl.八由于 PCX =打=P(X = 2),即k !春/ =討.解得a = 2.故 P(0 <<3) = P(X = 1) = 2e-(4) 已知 X N(2,).故 P(2 < X< 4)=麒匕一輕= 0(-)aera

8、一 0”5 = 6氛4>(三)=0.&所以 ZJ(X <0)=弧 _ ) = 1 一 瞅二=Q. 2.0a(7250 + 350(5) 由于X的概率密度关于 X - 1对称，故EX3002【例2.4】(1)已知随机变量E在0,5上服从均匀分布试求方程4川+4鉅4E十2 = 0有实根的概率；已知随机变砒J且方程+-x + f = 0有实根的概率为*求未知参数冬【分析与解答】按条件写出相应事件并用分布计算其槪率，进而可求得未知 参数.r 1(1)已知W/龙)=wW °'叭含乳所求的概率为1 A廿4(2>由于FQ)是单调不滅亟数，放对>/x>

9、0有FCr) = I,又当工W0时/(x)连续J故只工)=FS 已知fQ) = F<x).由徽分方程F7x) = F(x.F(O) = L护工 V 0J a1 jr V Q解得 F(x) = eJUCO)t从而得 FCr) =+ j(Q ='1 -x 3> 0.10山二 0.(3) 设X服从参数'为帀泊松务布,P(X = 1)- P(X=2>,求槪率P0<X2<3.(4) (91103)设 XN(2.<f)且 JJ(2 < X < 4) = Q. 3 求 P(X<0).j即 0()= 1t1a = o = 1【例2.5已知随

10、机变量 X N(0,1)r_ 1X < ()令r= I *求y的分布函数求y = x的概率密度：I 1 *jX.1求丫 =丨X|的概率密度* 结見可以用标准正态分布函数(刃表示).【分析与解答】先用定义法求分布南数，而后再求概率密度.(1)由题设知y是离散型随机变fit其概率分布为p(y =-i)= p(x<i> = (1)-F(Y= 1) = P(Xl) = 1-P(X<1) = 1孰1=瞅一 1).故 丫的分布函数F(W = PWWy=工 = 2"0 *y V 1'=« P( Y = 1) = 0( 1)»lgyV】、1 <

11、; y (2)Y = eA 的分布函数 F(W = P(y <> = P(ex < >)故 当 y M ° 时* F(y) = 0 ,当 y > 0 时 F(y) = P( X £ lny)=(lny)爲.70*y>0所以0.><0j> o.0<11T< |riy)*y 0y>0.(3W = | X|的分布函数FO)=尸|X|y当<0时F(W = 0： 当 时.F(y) = P|X|<y = P-y<Xy=0(jy) 一 0( y) = 2/(，)一 1.所以概率密度F(y) = y(

12、y)= F (y0.2<P(y) - I.y<0201207)>f O* y<0-k/IH? '【例2.6 一给水设备每次供水时间为2小时*已旬设备启动时发生故障的槪 率为0.001,-旦设备启动*它的无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作 时间(EX)为10小时.试求设备每次启动无故障工作时间Y的分布函数FAy【分析与解答】 为求Y的分布首先要分析題目中涉及的三个变量间 的关系.丫是设备启动后无故障工作时间且最多工作2小时.因此0 Y2,依题意. %是设备启动后兀故障工作吋间如果记A =和启动时设备发生故障=则P(A)= O.0Q1.且在忑发生条件下X服

13、从指数分布.即在貝发生条件下*X的分布函数.F如 A) = P!X<x工> 0.其中入二吉=磊当忑发生时.丫 = 乂 综上分析知丫的分布函数当 y<0 时A® - 0当 >5= 2 时.Fy<y) = 1当0 <<2时.F心=PY<>=PY < 0 + 円丫 = 2 + Pg < F 总 $=0 + P + P(0 <Yy.A=0. 001 十 P(A) P0. < X C y t A=0* 001 +6 999(1 一 e_v )=0. 001 +0. 999(1 .故所求的分布函数f0-y<0,F

14、y() = J0,001 + 0, 999(1 -e-w)T O = y < 2,I42 S例 2.7】设随机变量X的概率密度为其它x，0,入 23令 Y=X +1,求(I) Y 的概率密度 fv(y);(II ) P1cY<?解：(I)记Y的分布函数为Fv(y),则Fv(y)二 PY 曲二 PX2 乞 y-1当1<y<2时,Fv(y) = P_>/y1 兰x 兰Jy 11=J x dxy_l1jVj=2txdx=y _1当 时，Fv(y)=0，当 y_2 时，Fv(y)=1故Y的概率密度为严10,1 y 2其它3pY 丫 尹3331(II )解法 1 P1 Y

15、=Fv( )- Fv(1) = Fv()2222解法2P(X = 1)=芜在事件-KX<1发生条件下在(-1H)内任一子区闾上 4取值的条件槪率与该子区间长度成正比*试求X的分布函数FS【分析与解答】首先要将题目中的已知条件所蕴备的数量关系写出由題设 知 P|X|<1 = I -P(X=-1)=当(X = “ = 记A = 1 CXV1X o4依题意在A发生条件下.X在(一 1.1)上服从均匀分布.即在A发生条件下.X的密度萌数分布函数分别为厶&=夕一YXI 0.其它.1.r 益一1 *F心 |A) = F(XG2 = *1宇:-1 < J： < 1.:.11 1,1 M工由题设得 P(A) = F(-l V X< 1)=P(- 1 C1) - PCX =- 1) - PCX = 1).1I5848故所求的X的分布函数= F(XW/r)当龙<一 1 时，FQ = P(X < x> - 0:当一 1 冬工 < 1 时.FQ) = P(X = P(X <- I) -hP(X = 1) + 卩(一 1 < X<x)