《材料成型原理》

1、第七章第七章 滑移线法及其应用滑移线法及其应用 塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹为滑移线。由于最大剪应力成对正交，因此滑移线在变形体内成两族互相正交的线网，组成所谓滑移线场。 滑移线法就是针对具体的变形工序或变形过程，建立滑移线场，然后利用其某些特性，来求解塑性成形问题，如确定变形体内的应力分布、计算变形力、分析变形和决定毛坯的合理外形、尺寸等。 由于塑性变形体（或变形区）内每一点都能找到一对正交的最大剪应力方向，将无限接近的最大剪应力方向连接起来，即得两族正交的曲线，线上任一点的切线方向即为该点最大剪应力方向。此两族正交的曲线称为滑移线，其中一族叫族，另一族叫族，它们布满于塑性区，形成滑移线

2、场。 平面变形时平面变形时0zxyzz )(21yxzz)(21yxzmyxzm212123113mzyx231132121K3113max21KKmmm321最大剪应力: 最大剪应力平面上的正应力: 主应力可以表示成平均应力和最大剪应力K的表达式: myx231132121为了区别两族滑移线，通常采用下述规则：若与线形成一右手坐标系的轴，则代数值最大的主应力的作用线位于第一与第三象限。显然，此时线两旁的最大剪应力组成顺时针方向，而线两旁的最大剪应力组成逆时针方向。线的切线方向与ox轴为w角的度量起始线，逆时针旋转形成的w角为正值，顺时针旋转形成的w角为负值。滑移线的微分方程为： 族对于族对于

3、ctgtgdxdytgdxdy2与与线确定原则线确定原则:若与线形成一右手坐标系的轴，则代数值最大的主应力的作用线位于第一与第三象限。线的切线方向与ox轴为w角的度量起始线，逆时针旋转形成的w角为正值，顺时针旋转形成的w角为负值。7.1 滑移线的基本概念滑移线的基本概念2cos2sin2sinKKKxymymx7.2 汉基（汉基（Hencky）应力方程）应力方程 上述已知，平面塑性应变状态下的应力分量完全可由m和K来表示，而K为材料常数，故只要能找到沿滑移线上的m的变化规律，即可求得整个变形体（或变形区）的应力分布。这就是应用滑移线法求解平面问题的实质。 汉基应力方程给出了滑移线场内平均应力的

4、变化与滑移线转角的关系式。其推导过程如下 已知平面应变时的平衡方程为00 xyyxxyyxyx02cos2sin202sin2cos2yxKyyxKxmmX轴和轴和y轴设在滑移线上轴设在滑移线上,则则:dSdydSdx, 0SySx,7.2 汉基（汉基（Hencky）应力方程）应力方程0202SKSSKSmm0202KSKSmmSKSKmm21227.2 汉基（汉基（Hencky）应力方程）应力方程)(2)(2线沿线沿KKmm如果以上两式分别沿滑移线积分如果以上两式分别沿滑移线积分,则则线积分沿常数线积分沿常数SS21则汉基（则汉基（Hencky）应力方程）应力方程 滑移线法解题步骤滑移线法解

5、题步骤: 1 建立滑移线场建立滑移线场,确定确定x,y坐标轴坐标轴:2 在自由表面取一点,分析应力状态:3 确定平均应力确定平均应力,确定滑移线及与确定滑移线及与x轴夹角轴夹角:yaxa,ayaxama,21 滑移线法解题步骤滑移线法解题步骤:2cos2sin2sinKKKxymymx4 应用汉基（汉基（Hencky）应力方程求未知点的平均应力）应力方程求未知点的平均应力:5 求未知点的应力分量求未知点的应力分量:)(22)(22线沿线沿bmbamabmbamaKKKK汉基积分或汉基方程为： （沿（沿线）线） （沿（沿线）线）汉当沿族（或族）中同一条滑移线移动时，任意函数（或（或）为常数，只有

6、从一条滑移线转到另一条时， （或（或）值才变。由汉基积分可以推出，沿同一滑移线上平均应力的变化，与滑移线的转角成正比，比例常数为2K。即为：即式中(a- b)表示从点a过渡到点b沿滑移线的转角，而ma- mb表示相应点间平均应力的变化。此式指出了滑移线上平均应力的变化规律。当滑移线的转角愈大时，平均应力的变化愈大。若滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相等。KKmm22bambmaK27.2 汉基（汉基（Hencky）应力方程）应力方程7.3 滑移线的几何性质滑移线的几何性质（一）汉基第一定理（一）汉基第一定理 在同一族的两条滑移线（例如1和2线）与另一族的任一条滑移线（ 1或2线）的两

7、个交点上，其切线夹角 与平均应力的变化均保持常数。 在图6-4中，由族的1转到2时，则沿族的1 、2 ，有 =2，1 -1，1=2，2 -1，2 =常数 m=m2，1 -m1，1=m2，2 -m1，2=常数 若单元网格三个结点上的m 、值就可求出 （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 KKmm22ijjijijimK4121),(),( （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 11)1 , 1(11)1 , 1(4121Km12)2, 1(21)2, 1(4121Km21)1 , 2(12)1 , 2(4121Km22)2, 2(22)2, 2(4121Km （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理

8、 21)1 , 1()1 , 2(112)1 , 1()1 , 2(14121Kmmm21)2, 1()2, 2(212)2, 1()2, 2(24121Kmmm2222,mm （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 推论推论1 若塑性区的滑移线场为正交直线族，此时1 = 2 = =0 ， 1= 2= , 1= 2= ，则该塑性区内各点之 m 、x 、y 、xy必为常数。这种应力场称为均匀应力场均匀应力场。 推论推论2 如果族（或族）滑移线的某一线段是直线，则被族（或族）滑移线所截割的族（或族）的相应线段都是直线。（如图如图6-1）所示，若A1B1为直线段，此时该线段与另一族滑移线在交点处切线的

9、夹角1为零，按汉基第一定理，与线段A2B2相应之2亦必为零，故A2B2必为直线。如此类推A3B3 亦必为直线。在这种区域内，沿同一条线上值不变，故m 、x 、y 、xy亦不变。但沿同一条线上值将改变，故各应力分量亦随之改变。这种应力场称为简单应力场简单应力场。 （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 （如图如图6-1）（如图如图6-2）沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在与该线交点处的曲率半径的变化，等于沿该线移动所经过的距离，即其中 是 （或)线被两条(或）线所截的微分弧长。推论推论 若应力分量对 （或 ）的导数在通过 （ 或 ）线时发生间断（不连续），则 （或 ）在通过 （或 ）线外的曲

10、率也将发生间断。SRSR;)(SS或 （二）汉基第二定理（二）汉基第二定理 应力边界条件就是当滑移线延至塑性区边界时应满足的受力条件。在塑性加工中，应力边界条件可有以下四种：（一）不受力的自由表面（一）不受力的自由表面 分析自由表面上的一点应力状态分析自由表面上的一点应力状态 时，此时存在两种情况： 1. 1=2K； 3=0（见图见图6-2(a)） 2. 1=0； 3=-2K（见图见图6-2(b)） 所以 cos2 =0， = 45这说明两族滑移线与自由表面相交成45角。按前述区别族和族的规则，若1 =2K ，则和线如图6-9a）所示，若1 =-2K ，则和线如图6-9b）所示。0 xy7.4

11、 塑性区的应力边界塑性区的应力边界7.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界7.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界6.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界7.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界（二）无摩擦的接触表面（二）无摩擦的接触表面 与不受力的自由表面情况一样， ，两族滑移线与接触表面相交成45角。按前述区别族和族的规则，若垂直于接触表面的主应力为代数值最小的主应力，则和线如（图图6-3）所示。4（三）摩擦剪应力达到最大值（三）摩擦剪应力达到最大值K的接触表面的接触表面由于xy=K 所以cos2=1, 2=0和，或=0和/2接触表面处的和线（如图图6-4）所示。（四）摩擦剪应力为某一中间

12、值的接触表面（四）摩擦剪应力为某一中间值的接触表面 （如图图6-5)所示。7.5 常见滑移线场的类型常见滑移线场的类型常见的滑移线场有以下几种类型：1.两族正交直线。代表均匀的应力状态。（图图6-6a）2.一族滑移线为直线（设为族），另一族为与直线正交的曲线（设为族），这类滑移线场称为简单场。(图图6-6b）为包络线；（图图6-6c）为中心场；3.由两族相互正交的光滑曲线构成的滑移线场（1）当圆形截面为自由表面或其作用有均布的法向酝酿公里时，滑移线场为正交的对数螺旋线网（图（图6-6c）。（2）粗糙平行刚性板间塑性压缩时，相应于接触表面上摩擦剪应力达到最大值的那一段，滑移线场为正交的圆摆线（图

13、图6-6f）。（3）两个等半径圆弧多构成的滑移线场（图图6-6g），常称为有心扇形场。 7.5 常见滑移线场的类型常见滑移线场的类型7.6 滑移线场的建立滑移线场的建立 用滑移线法求解塑性成形问题，首先需要建立变形体内的滑移线建立滑移线的方法有两种：数学解析法和分析推理法。（一）数学解析法 两族特征线与两族滑移线相重合，数学 上的特征线就是滑移线（二）分析推理法7.7 格林盖尔速度方程格林盖尔速度方程若沿着滑移线网格取微元体，且分别以滑移线、的切线代替x、y轴，则有)()(myymxxyvxu00yvxuyxmyx格林盖尔速度方程格林盖尔速度方程 格林盖尔速度方程给出了沿滑移线上速度分量的变化

14、特性。用此方程可以求解速度场，以便用来分析塑性区内的位移和应变问题，以及必要时校核滑移线是否全部满足应力和速度边界。根据增量理论可有这说明沿滑移线的线应变速率等于零，也即沿滑移线方向不产生相对伸长或压缩。基于这样的概念可导出速度方程式。 设P点的速度为V，沿x、y轴的速度分量为 、，沿滑移线、的切线方向的速度分量为V 、V ，( (见图见图6-4)6-4)于是 从而可推导出下面的沿滑移线的速度方程式：u v cossinsincosVVvVVu)(0)(00000线沿线沿或dVdVdVdVSVSVyvSVSVxuGreen速度方程速度方程:myymxxyuxumyxmyxx,y坐标设在滑移线方

15、向上时:00yx7.8 关于速度间断的概念关于速度间断的概念 在刚塑性体中，由于忽略材料的弹性变形，速度分布会有不连续现象，即塑性区与刚性区之间或塑性区内相邻两区域之间可能有相对滑动，即速度发生 跳跃，此现象称速度不连续，或称速度间断速度间断。例如刚性区与塑性区的交界，由刚性运动转变为塑性变形，虽然应力状态是连续的，但在交界处存在相对滑动，即产生速度不连续，此分界线称为速度间断线。由于材料的不连续性和不可压缩的要求，速度间断线两侧的法向速度分量必须相等（连续），否则将出现裂缝或者重叠，而切向速度分量可以产生间断。图图6-8示出一间断线上的一点A，该线的两边分别用符号“+”和“-”表示。在“+”

16、边，A点速度为VA+，法向速度和切向速度分量分别为V+和V + ，而在“-”边，则分别为VA-V-和V - 。V即为沿线的速度间断值。上式表明，沿同一条速度间断线（ 或线）的速度间断值为定值。常数或VVVdVdV07.9 速度速度矢端图矢端图 将滑移线上的各点的速度分布表示在速度平面上。在速度平面上以坐标原点为极点，将塑性流动平面内位于同一条滑移上各点的速度矢量按同一比例均由极点绘出，然后依次连接个速度矢量的端点，只要各点取得足够近，则会形成一条曲线。该曲线称为所研究的那条滑移线上各点的速度失端曲线。（如图6-9），通过分析可以看出，滑移线和速度平面上的速度失端曲线在相应点上彼此垂直。由于两族

17、滑移线彼此正交，故它们的速度失端曲线也必然彼此正交。7.9 速度速度矢端图矢端图 （图（图6-10）为光滑平面挤压 时的滑移 线场，现根据该滑移线场绘制速端图。 ).(50Hh 假设冲头地面光滑，接触面上摩擦剪应力为零，故沿AB边界上仅作用有均布的主应力。AD为自由边界，且为平面。根据滑移线的特性可做出（如图如图6-6）所示的滑移线场。 下面求单位流动压应力p。在AD边界上: 在AO边界上:4, 0dxyydKxdyd2Kxd2Kyxmd243O?,xOyO?mO实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力( 第五题图 )AOFGDMNEPpFGDMNE2b

18、刚性区/4/4( 第五题图 )AOFGDMNEPpFGDMNE2b刚性区/4/4实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力汉基应力方程汉基应力方程 KKmm22OmOdmdKK22)1 (22)(2KKKKOdmdmO从从D D到到O O是在是在线上，线上，实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力应力分量：02cos)2()1 (2sin)1 (2sinOxyOOmOyOOmOxOKKKKKKKKK)2(KpyO0),2(,xyyxKK AoG区：区： 实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例平面冲头压入半无限体

19、时的单位流动压力滑移线场滑移线场:JGDHABE实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力 AOG AOG区区 : : ADF ADF区区 : :AFGAFG区区( (沿沿线）线）: :0),2(,xyyxKK0, 0,2xyyxK4212Km滑移线场滑移线场:JGDHABE实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力 ABC ABC区区 : : AGH AGH区区 : :ACGACG区区( (沿沿线）线）: :0),2(,xyyxKK0, 0,2xyyxK4212Km另外一种形式滑移线场另外一种形式滑移线场:JGDHA

20、BE实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例平面冲头压入半无限体时的单位流动压力 长条形锻件开式模锻属平面应变问题。锻件本体横断面内的滑移线场（如图如图6-12）所示。这是由飞边入口处A、B、C、D四角上的有心扇形场组成的。由于四个有心扇形场是对称的，因而只需研究四分之一即可。其放大图形（如图如图6-13）所示实例长条形锻件的开式模锻力实例长条形锻件的开式模锻力实例长条形锻件的开式模锻力实例长条形锻件的开式模锻力 为确定变形力，必须求出滑移线场各节点的应力。在此有心扇形场中，设飞边处无摩擦阻力，则F点的x方向应力为0, y方向应力为-2K,则F点的平均应力为-K.因此根据判别线和线的法则，

21、因x,F =0是最大主应力，所以AF半径方向是族，FJ弧是族。于是根据汉基应力方程即可确定此有心扇形场各节点的应力。0Fx,)2( ,2,sFyKKKmFm),(,00实例长条形锻件的开式模锻力实例长条形锻件的开式模锻力 在在(0,0)(0,0)点点, ,即即F F点点: :0Fx,)2( ,2,sFyKKKmFm),(,0043F 在在(0,1)(0,1)点点: :)1 , 0()1 , 0(22KKmFmF65121)1 , 0(F 沿沿线线: :实例长条形锻件的开式模锻力实例长条形锻件的开式模锻力 在在(0,1)(0,1)点点: :KKFmFm)61 ()(2)1 , 0()1 , 0(

22、65121)1 , 0(FKKKKKKxymymx5 . 02cos)2361 (2sin)2361 (2sin)1 , 0()1 , 0()1 , 0()1 , 0()1 , 0()1 , 0()1 , 0()1 , 0(实例长条形锻件的开式模锻力实例长条形锻件的开式模锻力 ,43,43,6543,1210,121143,1210,1211,43,1210,1211,1213)0 , 0()1 , 1 ()1 , 0()2, 2()2, 1 ()2, 0()3 , 3()3 , 2()3 , 1 ()3 , 0()4, 4()4, 3()4, 2()4, 1 ()4, 0(实例长条形锻件的开

23、式模锻力实例长条形锻件的开式模锻力 实例实例3. 正挤压时的变形力和速度场正挤压时的变形力和速度场 设冲头推动坯料的速度为Vo，在AB边界上:43, 0oxyoxoKyoxo2Kyo2Kyxmo24b?,xbyb?mb在AO边界上:实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形02cos12sin212sinbxybbmbybbmbxbKKKKKKKKK汉基应力方程汉基应力方程: KKmm22OmObmbKK22)1 (22)(2KKKKObmbmO从从D D到到O O是在是在线上，线上，21220KhLPphLKdyLPhxb实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形正挤压时的变形力和速度场

24、正挤压时的变形力和速度场 设冲头推动坯料的速度为Vo，它沿滑移线BFO的刚性区一侧的两个速度分量分别为（见图见图6-14） V-=V0cos V- =-V0sin (沿线的负方向)由于族为直线则可写出：d V =0;V =C 常数C可由法线速度连续的条件求得 C=V =-Vsin 故 V =-Vsin 族为圆弧，可写出 d V =-V0sin d V =V0cos + C当 =45时，V =0（因为ABC为死区），故C=-V01/1.414最后得 V =V0( cos 1/1.414)实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形 (图图6-15)是压缩比为50%的反挤压示意图。分析可知OC、OB等半径线属线，弧BC属线。OB、OC等滑移线上的应力是相同的。边界OB上的应力为已知。实例反挤压平面变形实例反挤压平面变形反挤压时的变形力和速度场反挤压时的变形力和速度场实例反挤压平面变形实例反挤压平面变形在CO边界上:4, 0bxybybKxbyb2Kxb2Kyxmb243c?,xcyc?mc在BO边界上:实例反挤压平面变形实例反挤压平面变形02cos212sin12sincxyccmcyccmcxcKKKKKKKKK汉基应力方程汉基应力方程: KKmm22cmcbmbKK22)1 (22)(2KKKKcbmb