Delta函数及其性质

1、1回回顾顾1 1、DeltaDelta函数及其性质函数及其性质2 2、LaplaceLaplace变换及其性质变换及其性质3 3、LaplaceLaplace变换的应用变换的应用 01, ptiptiL f tF pf t edtf tLF pf t e dt （线性性质、位移性质、延迟性质、相似性质、（线性性质、位移性质、延迟性质、相似性质、 微分性质、积分性质、卷积性质）微分性质、积分性质、卷积性质） 0001,xxdxxxfx dxfx23第七章第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题4物理学中常见的数学物理方程物理学中常见的数学物理方程静电势和引力势满足的Laplace方程或Poiss

2、on方程波的传播问题中的波动方程热传导问题和扩散问题中的热传导方程连续介质力学中的Navier-Stokes方程组和Euler方程组描写电磁场运动变化的Maxwell方程组作为微观物质运动规律的Schrdinger和Dirac方程弹性力学中的de Saint-Venant方程组二阶线性偏微分方程（组）5静电势的静电势的LaplaceLaplace方程或方程或PoissonPoisson方程方程, EE 由静电场的性质：2E 或者:2 在均匀导体中，静电势满足Laplace方程：0 在有电荷分布的区域，静电势满足Poisson方程：（静电场方程）（静电场方程）稳定问题稳定问题6弦的横振动方程1.

3、 1. 弦的微小横振动弦的微小横振动考察一根长为考察一根长为l且两端固定、水平拉紧的弦且两端固定、水平拉紧的弦讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题要讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程，需要明确：确定确定弦的弦的运动运动方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪些）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物）按物理定理写出数学物理方程理方程(1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ( , )u x t7注意：注意： 物理问题涉及的因素较多，

4、往往还需要引入适当物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设使方程简化以便求解假设使方程简化以便求解 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点需具有一般性。移所遵循的普遍规律，所以考察点需具有一般性。8根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律mFau方向运动的方程可以描述为：方向运动的方程可以描述为：2211sinsind( d )ttTTg ss u作用于小段作用于小段ABC的纵向合力应该为零：的纵向合力应该为零： 2211coscos0TT 仅考虑微小的横振动，仅考虑微小的横振动， 21,2221,夹角夹角为很小的量为很

5、小的量，忽略忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有 2112cos11, cos12! 311111222sintan, sintan3!222d(d )(d )1 () ddxsxuuxx9注意到注意到: tansinxuux故得1122dtansin, tansinxxxxxuu这样，我们就得到（忽略弦的重力）：21210 xxttx dxxT uT uu dxTT10因此在微小横振动条件下，可得出因此在微小横振动条件下，可得出 21TTTdddxxxxxxxxuuuxuxx又因为：又因为：2, ttxxTua ua综上，可得：弦（自由）振动方程弦

6、（自由）振动方程（弦中的张力不随（弦中的张力不随 x 变化）变化）如果弦振动过程中受到横向外力的作用，则振动方程应为：2,ttxxua uf x t弦的受迫振动方程弦的受迫振动方程11均匀杆的纵振动方程均匀杆中均匀杆中 x 处处 dx 段的运动方程为段的运动方程为 可得可得 0 xxttYuu这就是杆的纵振动方程杆的纵振动方程 dd( d )xxxttxxxuYSuYSuYSxS x ux12热传导方程热传导方程22, , , tkuauf x y z tac k 是热传导系数，c是比热，是密度。扩散方程扩散方程22, , , tuauf x y z taD D 是扩散系数。13量子力学中的量

7、子力学中的SchrSchrdingerdinger方程方程22iVtm 如果势能函数不显含时间，则上述方程简化为：22VEm含时SchrSchrdingerdinger方程定态SchrSchrdingerdinger方程14边界条件与初始条件边界条件与初始条件 由物理学规律出发得到的数学物理方程是某一类（或几类）物理现象所必需遵循的，并不能唯一地、确定地描写某一个具体的物理过程。例如从Newton第二运动定律得到的动力学方程并不能唯一地确定质点的运动；完全确定质点的运动还需要有初始条件。 一般地，要完全描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就是要构成一个定解问题定解问题。除了微分方程之外，构成

8、定解问题还必须有边界条件和初始条件边界条件和初始条件。边界条件用于确定体系和外界的相互作用，初始条件用于确定体系的历史状况。15初始条件初始条件 初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地描述该现象。（稳定问题不需要初始条件）如对于传导或扩散过程，需要初始条件确定体系的初始状态：0, , ,|, ,tu x y z tx y z对于振动过程，所需初始条件则需要包含速度的信息：00, , ,|, , , ,|, ,tttu x y z tx y zux y z tx y z16边界条件边界条件 体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的

9、边界情况由边界条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况.常见的边界条件可以分为三类, , ,|,|,|,r Br Bnr Bu x y z tf r tuf r tnucuf r t第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件17第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet条件条件)第一类边界条件给出未知函数在边界上的取值，即, , ,|,r Bu x y z tf r t18第二类边界条件第二类边界条件(Neumann条件条件) 第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值，即, , ,|,r Bu x y z tf r tn19第三类边界条件第三类边界条件(混合边界条件混合边界条件) 第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数的线性组合在边界上的取值，即|,nr Bucuf r t20第一、二、三类边界条件可以统一地写成第一、二、三