第二章流体静力学

1、第二章第二章 流体静力学流体静力学流体静力学研究：流体静力学研究：流体在外力作用下的平衡规律；处于平衡状态的流体与固体之间的相互作用。平衡状态静止状态相对平衡状态流体相对于非惯性坐标系无运动流体相对于惯性坐标系无运动流体处于平衡或相对平衡状态时，流体层之间、流体与固体之间没有相对运动，黏性不体现没有剪切应力研究结论对理想流体和实际流体均适用。第二章第二章 流体静力学流体静力学第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性当流体处于平衡或相对平衡状态时，作用在流体上的外力只有法向应力，而无剪切应力，法向应力就是静压强p；流体静压强的两个重要特性：p特性一特性一：流体静压强的作用方向永远沿作用

2、面的内法线方向。第二章第二章 流体静力学流体静力学第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性p特性二：特性二：静压强的大小与作用面的空间方位无关，只是坐标点的连续可微函数。zyxpp,第二章第二章 流体静力学流体静力学第二节第二节 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程研究处于平衡或相对平衡状态的流体内部静压强p的分布规律。一、流体的欧拉平衡微分方程一、流体的欧拉平衡微分方程在平衡或相对平衡的流体内部取一个微元体；单位质量的质量力单位质量的质量力fx，fy，fzabcxyzxzdydxdzfxO2dxxpp2dxxpppa点压强为点压强为p，b和和c点点压强分别为压强分别为2dxxpp2dx

3、xpp第二章第二章 流体静力学流体静力学第二节第二节 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程对微元体列出力的平衡方程对微元体列出力的平衡方程这就是欧拉平衡微分方程流体的质量力与静压强相平衡对可压缩和不可压缩流体均适用。对可压缩和不可压缩流体均适用。x方向：方向：0ddddd2ddd2dzyxfzyxxppzyxxppx01xpfx同理同理01ypfy01zpfz01pf第二章第二章 流体静力学流体静力学第二节第二节 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程将欧拉平衡微分方程的三个分量方程分别乘以dx、dy和dz，再相加zzpyypxxpzfyfxfzyxdddddd二、压差公式和等压面二、压差公式和等压面p

4、的全微分的全微分dpzfyfxfpzyxdddd第二章第二章 流体静力学流体静力学第二节第二节 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程等压面性质：等压面性质：n流体中任一点都有、且只有一个等压面通过；流体中任一点都有、且只有一个等压面通过；n质量力必垂直于等压面；质量力必垂直于等压面；n自由液面（液体与气体的分界面）、两种互不相溶的液体分界面都是等自由液面（液体与气体的分界面）、两种互不相溶的液体分界面都是等压面；压面；n重力场中，静止流体内的等压面为水平面重力场中，静止流体内的等压面为水平面等高面就是等压面。等高面就是等压面。不同常数不同常数对应不同等压面对应不同等压面等压面微分方程等压面微分方程

5、等压面等压面流体中压强相等的点组成的面流体中压强相等的点组成的面Const,zyxp0d p0dddzfyfxfzyx代入压差公式：代入压差公式：0ddddzfyfxflfzyx或或等压面上任意微元线段等压面上任意微元线段第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡讨论不可压缩流体在重力场中处于平衡时，静压强的计算与测量；流体在重力场中，只有重力是质量力；质量力只有重力的流体称为重力流体。第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡一、不可压缩流体静力学基本方程一、不可压缩流体静力学基本方程0yxffgfz称为不可压缩流体静力学基本

6、方程不可压缩流体静力学基本方程，适用于平衡流体内部任意一点。代入压差公式zgpddConstgpzgpzgpz2211用于1点和2点重力场中，取xoy为水平面，z轴垂直向上，单位质量力的分量为第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡流体静力学方程的物理意义流体静力学方程的物理意义Constgpz通真空通真空做做功功高高度度单位重量流体单位重量流体重力势能重力势能单位重量流体单位重量流体压强势能压强势能总势能总势能第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡流体静力学方程的几何意义流体静力学方程的几何意义Constgpz流体静力学方程各项具有长度量

7、纲位置水头位置水头压强水头压强水头静水头静水头静压强为静压强为零的完全零的完全真空对应真空对应的位置水头的位置水头第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡p静水头静水头是静压强为零（完全真空）时的位置水头，流体内各点的静水头连线称为静水头线静水头线；p以大气压强为基准定义静水头时，称为计示静水头计示静水头，流体内各点的计示静水头连线称为计示静水头线计示静水头线；静水头线静水头线计示静水头线计示静水头线第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡帕斯卡原理帕斯卡原理通真空通真空做做功功高高度度p可见，任意点的静压强等于自由液面上压强任意点的静压强等

8、于自由液面上压强p0与液柱重力产与液柱重力产生的压强之和生的压强之和，并随深度线性增大，等高面就是等压面；p自由液面上压强p0对任意点的影响完全相同，自由液面的压强以同样大小传递到液体内部各点帕斯卡原理帕斯卡原理。ghpp0p对图中a点和自由液面使用静力学基本方程得a点静压强单位底面积单位底面积高高h的液柱重力的液柱重力gphzgpz0第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡帕斯卡原理应用帕斯卡原理应用液压千斤顶原理第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡以绝对（完全）真空为度量基准绝对压强；以大气压强pa为度量基准计示压强计示压强或相对压强

9、相对压强或表压强表压强；二、压强的度量二、压强的度量aepppp压强高于大气压强时， 表压强为正值：pppavp压强低于大气压强时，表压强为负值，其绝对值称为真空或真空度pv ：第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡测量压强的仪表统称测压计，分为金属式和液柱式。三、流体静压强的测量三、流体静压强的测量测压计金属式液柱式波登管测压计膜片式测压计压电晶体压强传感器测压管U型测压计倾斜式微压计第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡金属式测压计金属式测压计可测较高压强，利用金属变形间接测量：膜片式测压计p膜片式测压计：膜片变形；波登管测压计p波登

10、管测压计：椭圆截面的金属弯管，变形测压；压电晶体式传感器p压电晶体压强传感器。常用压力单位：常用压力单位：63252N1Pa11MPa1 10 Pa1kPa1 10 Pam1bar1 10 Pa1atm101325Pa760mmHg1mmHg133.32Pa1mmH O9.80665Pa 1 at （工程大气压）（工程大气压）= 1 kgf/cm = 9.80665 10 Pa 24压力表及真空表压力表及真空表思考？讨论讨论倘使容器中气体的压力没有改变倘使容器中气体的压力没有改变, , 试问安装试问安装在该容器上的压力表的读数会改变吗在该容器上的压力表的读数会改变吗? ?绝对压力计算公式绝对压

11、力计算公式中中, , 当地大气压是否必定是环境大气压当地大气压是否必定是环境大气压? ?n某容器中气体的压力估计在某容器中气体的压力估计在3MPa-3.2MPa3MPa-3.2MPa之之间，现只有最大刻度为间，现只有最大刻度为2MPa2MPa的压力表两只，的压力表两只，如何测压？如何测压？aeppppppav第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡液柱式测压计液柱式测压计为了减小毛细现象的影响，玻璃管直径一般不小于10mm。p测压管结构最简单的液柱式测压计。被测压强p高于大气压强pa被测压强p低于大气压强paghppaghpeghppaghpv第二章第二章 流体静力学

12、流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡pU型管型管量程比测压管大得多，工作液体一般采用水或水银。被测压强p高于大气压强pa111ghpp22a2ghpp22111ghghppa2pp 21pp 等压面等压面被测压强p低于大气压强pa1122aghghpp1122eghghp2211aghghpp2211vghghp第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡pU型管测压差型管测压差11A1ghppghghpp221B2等压面等压面21pp ghppp12BA压差：压差：第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡p倾斜式微压计：倾斜式微压计：测微

13、小压强、压强差，标定测压管或U型管。工作液体（蒸馏水、酒精）。等压面等压面未感受被测压强感受被测压强p2测压差测压差212AAlhsin1lh2112hhgpp等压面等压面lAAgppp2112sin微压计系数k：0.2、0.3、0.4、0.6、0.8第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡p倾斜式微压计微压计应用被测压强比大气压强低通大气pa低压强通大气pa高压强测压差测压强被测压强比大气压强高第二章第二章 流体静力学流体静力学第三节第三节 重力场中流体的平衡【例例2-1】如图示倒置的形管，工作液体为油，油=917kg/m3，下部为水。已知h=10cm，a=10cm

14、，求两容器中的压强差。解：解：由等压面的关系知ghgbphbagpBA油水水OmmH3 .10810010009171001002hhagppBA水油水等压面等压面作业：作业：习题：习题：2-1、2-3、2-4，2-10第二章第二章 流体静力学流体静力学第四节第四节 液体液体的相对平衡的相对平衡液体在重力和其他质量力作用下处于平衡状态。p在匀加速直线运动容器中，液体受重力和惯性力作用处于相对平衡状态；p在等角速度旋转容器中，液体受重力和旋转离心力作用处于相对平衡状态。第二章第二章 流体静力学流体静力学第四节第四节 液体的相对平衡积分 Constgzaxp一、匀加速水平直线运动容器中液体的相对平

15、衡一、匀加速水平直线运动容器中液体的相对平衡液体在重力和质量力作用下处于平衡状态。p坐标原点选在液面不变化的o点，z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动方向；afx0yfgfzp单位质量的质量力：gdzadxdpp代入压差公式 一、匀加速水平直线运动容器中液体的相对平衡第二章第二章 流体静力学流体静力学第四节第四节 液体的相对平衡代入边界条件：代入边界条件：x=0、z=0时p=p0Const=p0gzaxpp0静压强不仅与垂直坐标有关，同时还取决于水平坐标。质量力的合力仍然垂直于等压面等压面方程0gdzadxdp0 gdzadxConst gzax不同常数对应不同的等压面，等压面为一簇倾斜平面。gaa

16、rctg和x轴的夹角： 一、匀加速水平直线运动容器中液体的相对平衡第二章第二章 流体静力学流体静力学第四节第四节 液体的相对平衡自由液面自由液面特殊的等压面在自由液面上，p=p0形式上和绝对平衡的流体静压强的分布规律完全相同，但实质上两者是有区别的。在绝对平衡状态下，淹深h仅仅和垂直坐标z有关，而在相对平衡状态下，淹深不仅和垂直坐标z有关，还和水平坐标x有关。gzaxpp0ghpzzgpp0S0ax+gzS=0 思考：思考：均质液体在作等加速直线运动并处于相对平衡时，垂直运动方向的压强分布规律与静止液 体 相 同 。 在 水 平 方 向 的 压 强 分 布 为保持不变； 线性分布； 二次曲线分

17、布。第二章第二章 流体静力学流体静力学第四节第四节 液体液体的相对平衡的相对平衡二、等角速度二、等角速度旋转容器中液体的相对平衡旋转容器中液体的相对平衡液体在重力和离心惯性力作用下处于平衡状态。液体在重力和离心惯性力作用下处于平衡状态。p坐标原点坐标原点o取在抛物面的顶点上，取在抛物面的顶点上，z轴垂直向上，轴垂直向上，xoy面水平；面水平；Const222zgrgp积分积分 xrfx22cosyrfy22singfzp单位质量的质量力：单位质量的质量力：gdzydyxdxdp22p代入压差公式代入压差公式 二、等角速度旋转容器中液体的相对平衡第二章第二章 流体静力学流体静力学第四节第四节 液

18、体的相对平衡代入边界条件：代入边界条件：r=0、z=0时p=p0旋转抛物面旋转抛物面不同常数代表不同常数代表不同等压面不同等压面等压面方程等压面方程022gdzydyxdxConst222 gzr自由液面：过（自由液面：过（0,0）平面，平面，p=p0形式和形式和匀加速水平直线运动容器中匀加速水平直线运动容器中流体静压强的分布规律完全相同。流体静压强的分布规律完全相同。zgrgpp2220ghpzzgpp0s002S22 gzrConst=p0求导求导思考：思考：园柱形贮液筒中的均质液体以等角速度绕中园柱形贮液筒中的均质液体以等角速度绕中心轴旋转，并处于相对平衡时，垂直方向（心轴旋转，并处于相

19、对平衡时，垂直方向（平行于中心轴）的压强分布规律与静止液体平行于中心轴）的压强分布规律与静止液体相同。在水平方向（垂直中心轴）的压强分相同。在水平方向（垂直中心轴）的压强分布为：布为：保持不变；保持不变； 线性分布；线性分布； 二次曲线分布。二次曲线分布。第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上静止液体作用在固体壁面上的总压力的总压力油箱、油罐等盛装液体的容器，水利工程中的水坝、油箱、油罐等盛装液体的容器，水利工程中的水坝、闸门，船、潜艇，等，都涉及到液体对固体壁面的闸门，船、潜艇，等，都涉及到液体对固体壁面的作用力，在设计时必须考虑；作用力，在设计时必须考虑；

20、固体壁面有平面、曲面等；固体壁面有平面、曲面等；壁面两侧直接或间接受大气压强的作用，相互抵消，壁面两侧直接或间接受大气压强的作用，相互抵消，一般不必考虑，只需按表压强一般不必考虑，只需按表压强计算。计算。一、液体作用在平面上的总压力一、液体作用在平面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力在静止液体中，有一和液面呈夹角在静止液体中，有一和液面呈夹角的任意形状的平的任意形状的平面，面积为面，面积为A。设平面设平面A在坐标系在坐标系xoy内（内（x轴垂直于纸面轴垂直于纸面），），z轴和轴和平面平面A垂直；垂直；作用在平面作用在平面A各点上的静各点上

21、的静压强随淹深不同而不同，压强随淹深不同而不同，方向均垂直于平面方向均垂直于平面A ，构，构成一个成一个平面力系平面力系，需要确，需要确定其合力和作用点。定其合力和作用点。一、液体作用在平面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力的大小总压力的大小AAppAygFFdsindAgyAghFPdsindd微元面积微元面积dA上的总压力：上的总压力：AghAgyFccpsinAyAycAd面积矩、静矩面积矩、静矩形心形心hc形心的淹深形心的淹深一、液体作用在平面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上

22、的总压力AghAgyFccpsin液体作用在平面上的总压力等于一个假想体积的液液体作用在平面上的总压力等于一个假想体积的液重，该体积是以平面形心的淹深为高、平面的面积重，该体积是以平面形心的淹深为高、平面的面积为底的柱体。为底的柱体。思考：思考：图示四种敞口盛水容器的底面积相同，水位高相同图示四种敞口盛水容器的底面积相同，水位高相同。容器中水的重量比为（自左向右）。容器中水的重量比为（自左向右）9:1:10:29:1:10:2，试，试确定底部所受的水的总压力为确定底部所受的水的总压力为 9:1:10:29:1:10:2； 与形状有关与形状有关 ； 相同。相同。 总压力只取决于液体密度、面积总压

23、力只取决于液体密度、面积A的大小和的大小和形心的淹深，而与容器形状和所盛液体多形心的淹深，而与容器形状和所盛液体多少无关少无关静水奇象静水奇象。思考：思考：上例中，忽略容器自身重量，容器底部所受上例中，忽略容器自身重量，容器底部所受到的总的作用力是到的总的作用力是 9:1:10:29:1:10:2； 与形状有关与形状有关 ； 相同。相同。 一、液体作用在平面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力的作用点总压力的作用点总压力作用线和平面的交点称压力中总压力作用线和平面的交点称压力中心，简称压心。心，简称压心。合力矩定理：合力矩定理：总压力

24、对总压力对ox轴的力矩等于各微元压力对轴的力矩等于各微元压力对ox轴的轴的力矩的代数和。力矩的代数和。ApDpFyyFdADcAygAyygdsinsin2A2dAyIx惯性矩惯性矩二次矩二次矩AyIycxD平行移轴定理平行移轴定理 AyIIccxx2AyIyyccxcD通过形心、平行于原坐标轴的惯性矩。通过形心、平行于原坐标轴的惯性矩。yc一、液体作用在平面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力同理可得压心的同理可得压心的x坐标坐标对通过形心、平行于原对通过形心、平行于原坐标系两轴的惯性积。坐标系两轴的惯性积。AyIxxccxycD工程实际

25、中的平面往往是对称图形，工程实际中的平面往往是对称图形，Icxy=0 xD=xc，一般，一般不必计算压力中心的不必计算压力中心的x坐标。坐标。思考思考e e的变化：的变化：cxDccIeyyy A二、液体作用在曲面上的总压力二、液体作用在曲面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力承受液体压强的二维曲面承受液体压强的二维曲面ab，坐标系的，坐标系的z轴垂直向下。轴垂直向下。总压力总压力 AghFPddxppxAghAghFFdcosdcosddzppzAghAghFFdsindsindd二、液体作用在曲面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静

26、力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力水平分力水平分力AxAxApxpxAhgAghFFdddxcxAxAhAhdxcxpxAghF总压力的水平分力等于一个假想体积的液重，该体积以曲面总压力的水平分力等于一个假想体积的液重，该体积以曲面在在yoz上的投影面积上的投影面积Ax为底、以为底、以Ax形心的淹深形心的淹深hcx为高的柱体，为高的柱体，作用线通过作用线通过Ax的压心，指向受压面。的压心，指向受压面。投影面积投影面积Ax形心的淹深形心的淹深曲面曲面A在垂直于在垂直于x轴的轴的坐标平面内的投影面坐标平面内的投影面积积Ax对对y的面积矩。的面积矩。二、液体作用在曲面上的总压力第二章

27、第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力垂直分力垂直分力总压力的垂直分力等于压力体的液重，作用线通过压力体的总压力的垂直分力等于压力体的液重，作用线通过压力体的重心，指向受压面。重心，指向受压面。AzAzApzpzAhgAghFFdddpAzVAhdppzgVF曲面曲面ab和自由液面或和自由液面或者其延长面所包容的者其延长面所包容的体积，称为体积，称为压力体压力体。二、液体作用在曲面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力总压力的大小、方向与作用点总压力的大小、方向与作用点总压力的水平分力作用线通过总压力的水平

28、分力作用线通过Ax的压心，垂直分力作用线通的压心，垂直分力作用线通过压力体的重心，两线交点即为总压力作用点，方向指向受过压力体的重心，两线交点即为总压力作用点，方向指向受压面，并与垂线成压面，并与垂线成角。角。22pzpxpFFFpzpxFFarctg二、液体作用在曲面上的总压力第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力压力体压力体曲面和自由液面或者自曲面和自由液面或者自由液面的延长面包容的体积。由液面的延长面包容的体积。AzpAhVd虚压力体虚压力体实压力体实压力体实压力体实压力体充满液体充满液体 无液体无液体 部分充满部分充满n三个压力体大小均为三个压

29、力体大小均为VOAB；n同一曲面，当液体深度不变，只同一曲面，当液体深度不变，只是液体相对位置不同时，压力体是液体相对位置不同时，压力体与曲面的相对位置也不同，但压与曲面的相对位置也不同，但压力体大小并不改变，曲面所承受力体大小并不改变，曲面所承受的垂直分力大小也不变化，只是的垂直分力大小也不变化，只是方向改变而已。方向改变而已。p压力体是纯数学概念，其计算与压力体是纯数学概念，其计算与有无液体有无液体、是否充满是否充满无关；无关；p对具有复杂曲面的压力体，可以通过几何拆分进行计算。对具有复杂曲面的压力体，可以通过几何拆分进行计算。思考：思考：图示一方形贮水箱的左侧壁面上，有一园柱形盖ABC，

30、为确定作用在ABC盖上的压强合力的垂直分量，计算相应的压力体应为： +CADEB； -ADEB； +ABC； -ABC。 第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力【例例2-8】如图示矩形闸门，宽度为如图示矩形闸门，宽度为b，两侧均受密度为，两侧均受密度为的液体的液体作用，两侧深度分别为作用，两侧深度分别为h1和和h2，求作用在闸门上的总，求作用在闸门上的总压力和压力中心。压力和压力中心。解：解：对于闸门左侧对于闸门左侧211hhcbhA1112311bhIcx根据公式（根据公式（2-25）和（）和（2-26a）bghAghFc21111211213111111132211221hbhbhhAyIyyccxcD第二章第二章 流体静力学流体静力学第五节第五节 静止液体作用在固体壁面上的总压力同理，对闸门右侧：同理，对闸门右侧：bghAghFc2222221222322222232211221hbhb