实变函数期末考试题库

1、实变函数期末考试试题汇编目录实变函数期末考试模拟试题（一）1实变函数期末考试模拟试题（二）6实变函数期末考试模拟试题（三）12实变函数期末考试模拟试题（四）17实变函数期末考试模拟试题（五）26实变函数期末考试模拟试题（六）29实变函数期末考试模拟试题（七）31实变函数期末考试模拟试题（八）35实变函数期末考试模拟试题（九）40实变函数期末考试模拟试题（十）46实变函数期末考试题（一）56实变函数期末考试题（二）62实变函数期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是开集，则（ B ）（A） （B）的内部 （C）

2、 （D）3、设是康托集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C） （D）4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的无理点全体，则（C、D）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个内点，则（ B、D ）（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集3、设是可测集，则

3、的特征函数是 （A、B、C ）（A）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的连续函数4、设在可测集上可积，则（ B、D ）（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积5、设是的单调函数，则（ A、C、D）（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设为全集，为的两个子集，则 。2、设，如果满足，则是 闭 集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可测集，则。6、设是定义在

4、可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。四、判断题（正确的打“”，错误的打“×”）1、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ × ）2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ × ）5、设是可测集上的非负可测函

5、数，则必在上可积。 （ × ）五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定为开集。例如 取上一列开集为，而是闭集，不是开集。2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？答：简单函数是可测函数；可测函数不一定是简单函数；可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：单调函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。六、计算题1、设，其中是有理数集，求。解： 因为，所以于，于是2、求。解： 因为而 所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明： （方法1）对任意，有且，即或且所以 或，即。

6、反之，对任意，有或，即或且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的有理点全体，则是可测集且。证明： 因为是可数集，则对任意，取开区间，显然它们把覆盖住。于是 。让得，从而是可测集且。3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，如果，则。证明：因为且，所以从而由题设 又在上的可积，且 所以由积分的绝对连续性得即。5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，。证明：记，其中显然在上，且于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。实变函数期末考试模拟

7、试题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B） （C） （D）2、若是闭集，则（ B ）（A）的内部 （B） （C） （D）3、设是有理数集，则（ C ）（A） （B）是闭集 （C） （D）是不可数集4、设为上的连续函数，为任意实数，则（ D ）（A）是开集 （B）是开集（C）是闭集 （D）是开集5、 设是中的可测集，都是上的可测函数，若，则（ A ）（A）于 （B）在上， （C）在上， （D）在上，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、

8、若的外测度为零，则（ B、D ）（A）一定是可数集 （B）一定是可测集 （C）不一定是可数集 （D） 3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 4、若在可测集上有积分值，则（A、C ）（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积5、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、 设，是两个集合，则 2、设，如果

9、满足，则是 开 集。3、设为直线上的开集，若开区间满足和 ，则 必为的 构成 区间。4、设是偶数集，则则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可数集，且，则。6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是 可测集 。7、若是可数集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，是上的可测函数，如果，则 不一定成立 。9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值 一定存在 。10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两个 递增函数的差（或递减函数的差） 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“×”）1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ × ）2、任何无限集均都是可数集。 （

10、 × ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ ）5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ × ）五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定为闭集。例如 取上一列闭集为，而是开集，不是闭集。2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：连续函数是可测函数；可测函数不一定连续；可测函数在上是“基本上”连续的。3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？答：绝对连续函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设，其中是康托集，求。解：因为，所以于，于是再由积分与

11、积分的关系得。2、设，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明：（方法1）对任意，有且，即且，所以 且，即。反之，对任意，有且，即且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设，且，则是可测集。证明： 对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，显然是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可测函数，则在上可积在上可积。证明：必要性：因为在上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则 ，。所以在上可积。5、设可测集上的非负可测函数

12、列，且（）， 存在使得，记，则在上勒贝格可积，且。证明：不妨设，由题设注意到单调递减可得，且在上恒有，于是，由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且。6、 设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。证明：先证。事实上，由对任意，再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。下面证明本题的结论。必要性：因可得，于是，当时，有因此，当时，并注意到和可得所以。充分性：对任意，由可得 ，从而。实变函数期末考试模拟试题（三）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B）（C） （D）2、若是孤立点集，则（ B ）（A） （B） （C）的内部 （D）3、设是上

13、的无理数集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C）是不可数集 （D）4、设是上的单调函数，则（ D ）（A）在上连续 （B）在中的不连续点有不可数个（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A），在上几乎处处为零 （B）在上， （C）在上， （D） 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是上康托集，则（B、C）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个聚点，则（C、D ）（A） （B） （C）可能是可数集 （D）可能是不可数集3、设是不可测集，则的特征函数是 （C、D ）（A

14、）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的不可测函数4、设在可测集上不可积，则（ B、D ）（A）和都在上不可积 （B）和至少有一个在上不可积（C）在上可能可积 （D）在上一定不可积5、设是的有界变差函数，则（ A、D）（A）在上几乎处处连续 （B）是的连续函数（C）在上不可导 （D）在上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设为全集，为的两个子集，则 2、设，如果满足，则是 完全 集。3、若开区间和是直线上开集的两个不同的构成区间，则。4、设是无限集，是至多可数集，则的基数 。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的有限实函数，若对任意实数，都有是

15、可测集，则是可测集上的 可测函数 。7、设是孤立点集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则 不一定成立 。9、设是上的可测函数，则在上的可积的充要条件是在上 勒贝格可积 。10、若是上的有界变差函数或绝对连续函数，则上的导数 几乎处处存在 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“×”）1、可列（数）个型集的并集仍为型集。 （ ）2、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ × ）3、设是可测集，则一定存在开集，使得，且。（ × ）4、设和都是可测集，是和上的可测函数，则不一定是上的可测函数。 （ × ）5、设是可测集上的可测函数，且存在（可为）

16、，则和至少有在上可积。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个零测集的并集是否必为零测集？答：不一定为零测集。例如 ，显然为单元素集，为零测集，不是零测集。2、上的可测集与Borel集的关系？答：Borel集是可测集；可测集不一定是Borel集；可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。3、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：可测集上的连续函数一定是可测函数；可测集上的可测函数不一定是连续函数；对上的一个可测函数，任取，在可测集中去掉一个测度小于的可测子集后，可使此可测函数成为连续函数。六、计算题1、设，其中是有理数集，求。解： 因为，所以于，于是2、设，求。解：因为，而所以，由控

17、制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明： （方法1）对任意，有且，即，且所以 或，即。反之，对任意，有且，即，且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的无理点全体，则是可测集且。证明： 记是中的有理点全体，由于是可数集，从而可测，且。又，所以，是可测集且。3、设，证明：是上的可测函数的充要条件是为可测集。证明：充分性：因为是上的可测函数，则对任意实数，是可测集，特别取，注意到，可得为可测集。必要性：若为可测集，则是上的简单函数，从而为上的可测函数。4、设为可测集上的可测函数列，若，则在上。证明：对任意，由于所以，即在上。5、设，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意，

18、存在，只要，就有，证明：。证明：由题设及Egoroff定理得，对题设中的，存在可测集，在上一致收敛于，从而对题设中的，存在，当时于是，当时，并注意到题设的条件，有。即 。实变函数期末考试模拟试题（四）（含解答）一、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）考核对典型集合掌握的情况（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、设是中的无理点全体，则（C、D）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）3、若的外测度为零，则（ B、D ）考核零测集的特点（A）一定是可数集 （B）一定是可测集 （C）不一定是可数集 （D

19、） 4、若至少有一个内点，则（ B、D ）考核典型集的外测度可数性的特点（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集5、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）考核可测函数与勒贝格积分的简单综合（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 6、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）考核特征函数的特点（A）上的简单函数（B）上的可测函数 （C）上的连续函数（D）上的连续函数7、若在可测集上有积分值，则（A、C ）考核勒贝格积分的定义（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上也有积分值

20、（D）在上一定可积8、设在可测集上可积，则（ B、D ）考核勒贝格积分的定义（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积9、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导10、设是的单调函数，则（ A、C、D）考核绝对连续函数、有界变差函数的基本性质（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导二、单项选择题（每题仅有一个正确答案）1设是中的无理点全体，则是（）.考核对典型集合掌握的

21、情况（）可数集 （）有限集 （）不可数集 （）零测集2下面集合关系成立的是（）. 考核对集合的基本运算掌握的情况（） （） （） （）3若至少有一个内点，则有（）. 考核对典型集合外测度掌握的情况（） （） （）（） 4设是开集，则（ ）.考核开集闭集的基本特征（） （） （） （）5设是可测集，则的特征函数是上的（）. 考核对集合的特征函数的认识（）简单函数 （）常函数 （）连续函数（）单调函数6设是有理数集，,则是上的（）.考核目标同上题（）连续函数（）单调函数（）简单函数（）定积分存在的函数7设在可测集上勒贝格可积，则（）. 考核勒贝格积分的定义（）和有且仅有一个在上勒贝格可积；（）和都

22、在上勒贝格可积（）和都在上不勒贝格可积；（）在上不勒贝格可积8设是上的无理数集，表示连续基数，则（）. 考核对典型集合基数和测度掌握的情况（） （） （） （）9设是上的单调函数，则是上的（）. 考核基本的有界变差函数和绝对连续函数（）连续函数 （）绝对连续函数 （）可导函数 （）有界变差函数10设在上绝对连续，则在上（）.考核绝对连续函数的关系的基本性质（）有界变差 （）可导 （）单调 （）连续可微三、填空题1设，为的两个子集，则等于 考核集合之间的基本关系2设，为两个集合，则 等于 考核目标同上3设，如果满足，则是 闭 集考核开集、闭集的定义4设，如果中的每一点都是内点，则是 开 集考核开

23、集、闭集的定义5若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足且 考核开集的构成区间的定义和特点6设是上的开集,若开区间满足且,则称是开集的 构成 区间考核开集的构成区间的定义和特点7设是无限集，则的基数 大于或等于 （其中表示可数基数）考核可数集的性质8设是偶数集，则的基数 等于 （其中表示可数基数）考核可数集的性质9设，为可测集，则 大于或等于 考核测度的性质，单调性和次可加性10设，为可测集，则 小于或等于 考核测度的性质，次可加性11设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数. 考核可测函数的定义12设是可测集上的可测函数，则对任意实数，()，有是

24、 可测 集. 考核可测函数的基本性质13设是可数集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度14设是康托集，则 等于 .考核典型集合的测度和外测度15设函数列为可测集上的可测函数列，且在上依测度收敛于，则存在的子列，使得在上 几乎处处收敛于 . 考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的黎斯定理16设,是上的可测函数列，是上的实函数,若在上几乎处处收敛于，则在上 依测度 收敛于.考核函数列收敛与依测度收敛的关系的记忆，本题是其中的勒贝格定理 17设在上黎曼可积，则在上勒贝格可积，且它们的积分值 相等 考核黎曼积分与勒贝格积分的关系18设,都在上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在上勒贝

25、格积分值 相等 考核勒贝格积分的基本性质19若是上的绝对连续函数，则 是 上的有界变差函数考核有界变差函数和绝对连续函数的关系20若是上的有界变差函数，则可以表示成两个单调函数的 和或差 考核有界变差函数和单调函数的关系，即约当分解定理四、判断说明题（注意这类题不仅要求判断对还是不对，而且还要简单的说明理由）1无限个闭集的并集仍为闭集考核开集、闭集的性质答：不对，因为闭集只对有限的并集运算封闭。2无限个开集的交集仍为开集考核开集、闭集的性质答：不对，因为开集只对有限的交集运算封闭。3无限集均含有一个可数子集考核可数集的性质答：对，因为这是可数集与无限集的关系。4无限集都是可数集考核无限集的分类

26、答：不对，因为无限集还包括不可数集。5设是可测集，则一定存在型集，使得，且考核可测集与型集或型集的关系答：对，因为这是可测集与型集的关系。6设是可测集，则一定存在型集，使得，且考核可测集与型集或型集的关系答：对，因为这是可数集与型集的关系。7设是测度为零的集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数考核可测函数的基本性质答：不对，因为零测集上的任何实函数都是可测函数。8设是可测集，是上几乎处处为零的实函数，则在上可测考核可测函数的基本性质答：对，因为常函数0是可测函数，由可测函数的性质可得在上可测。9设是可测集上的非负可测函数，则必在上勒贝格可积考核勒贝格积分的定义答：不对，因为可测集上的非负可测

27、函数只能保证有勒贝格积分，不一定能保证勒贝格可积。10设是可测集上的可测函数，则一定存在考核勒贝格积分的定义答：不对，因为可测集上的可测函数，不一定能定义勒贝格积分，因此不一定能保证存在。五、简答题（此类题关键是要把要点答出来）1简述无穷多个开集的交集是否必为开集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为开集其次，举出交集为开集的例子和交集不是开集的例子。2简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？考核开集、闭集的运算性质要点：首先，回答结论：不一定为闭集其次，举出并集为闭集的例子和并集不是闭集的例子。3可测集上的可测函数与简单函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、简单函

28、数是可测函数；2、可测函数不一定是简单函数；3、可测函数一定可表示成一列简单函数的极限。4可测集上的可测函数与连续函数有何关系？考核可测函数与简单函数的关系要点：1、连续函数是可测函数；2、可测函数不一定是连续函数；3、对任意，在中去掉一个测度小于的可测集后，可测函数能成为连续函数（鲁津定理）。5上的有界变差函数与单调函数有何关系？考核单调函数与有界变差函数的关系要点：1、单调函数是有界变差函数；2、有界变差函数不一定是单调函数；3、有界变差函数能分解成两个单调函数的和或差。6上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？考核有界变差函数与绝对连续函数的关系要点：1、绝对连续函数是有界变差函数；2、

29、有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题（注意这类题要写出主要步骤）1设，其中是有理数集，求考核简单的勒贝格积分的计算解：因是至多可数集，得在上几乎处处成立。所以由勒贝格积分的惟一性，。2设，其中是康托集，求考核简单的勒贝格积分的计算解：由康托集为零测集，即，得在上几乎处处成立。所以。注意：上面两题是简单积分的计算，注意利用积分的惟一性。3求考核勒贝格控制收敛定理的简单应用解：因为，且而在勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理。4设,求考核勒贝格控制收敛定理的简单应用解：因为，且而显然在 勒贝格可积，所以，由勒贝格控制收敛定理。注意：上面的两题在计算时，要注意验证勒贝格控制收敛定理的条件。

30、七、证明题1证明：证明：（方法1）（方法2）直接用集合相等的定义证明。2证明：证明：（方法1）（方法2）直接用集合相等的定义证明。3设是中的有理点全体，则是可测集且提示：用外测度的定义证明证明： 因为是可数集，则对任意，取开区间，显然它们把覆盖住。于是 。让得，从而是可测集且。4设，且，则是可测集提示：用可测集的定义证明。证明： 对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。5证明：上的实值连续函数必为上的可测函数证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。6证明：上的单调函数必为上的可测函数证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实

31、数，记，由于是单调递增函数，显然是可测集。所以必为上的可测函数。7设是可测集上的勒贝格可积函数，为的一列可测子集，如果，则证明：因为且，所以从而由题设 又在上的可积，且 所以由积分的绝对连续性得即。8设是可测集上的可测函数，则在上勒贝格可积在上勒贝格可积证明：必要性：因为在上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则 ，。所以在上可积。9设是可测集上的勒贝格可积函数，为中的一列递增可测子集，证明:证明：记，其中 显然在上，且 于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论10设是可测集，且，若是上一列几乎处处收敛于零的可积函数，且满足对任意，存在，只要，就有，证明：证明：由题设及叶果洛夫定理得，

32、对题设中的，存在可测集，使得, 在上一致收敛于， 从而对题设中的，存在，当时于是，当时，并注意到题设的条件，有即 . 实变函数期末考试模拟试题（五）（含解答）一、判断题（每题2分，共20分）1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。F2、若是可测函数，则必是可测函数。F 3设在可测集上可积分，若，则 F 4、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.T 5、若，则 F 6、若是可测函数，则必是可测函数F7设在可测集上可积分，若，则 F8、任意多个开集之交集仍为开集 F 9、由于，故不存在使之间对应的映射。F10、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T二、选择题（每题2分，共12分）1、下列各式正确

33、的是（ C ）（A）; （B）（C）; （D）以上都不对;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ D ）（A） c (B) (C) (D) 3、设是一列可测集，则有（B ）。（A） (B) （C）;（D）以上都不对4、设是一列可测集，且，则有（ A ）（A） (B) （C）;（D）以上都不对5、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ）(A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导（C）在上L可积 (D) 是有界变差函数6、设是两集合，则 =（ C ） (A) (B) (C) (D) 三、解答题（每题6分，共18分）1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值

34、。解：在上不是可积的，因为仅在处连续，即不连续点为正测度集因为是有界可测函数，所以在上是可积的因为与相等, 进一步，2、求极限 .解：设，则易知当时，又，但是不等式右边的函数，在上是可积的故有3、设求出集列的上限集和下限集解：设，则存在N，使，因此时，即，所以属于下标比N大的一切偶指标集，从而属于无限多，得，又显然若有，则存在N，使任意，有，因此若时，此不可能，所以四、证明题（每题10分，共50分）1、试证证明：记中有理数全体,令显然 所以 2、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。P513、设为E上可积函数列，.于E，且，k为常数，则在E上可积. P133 4、设在上积分确定，且于，则

35、在上也积分确定，且 P1085、设在上,而成立,则有 P95 实变函数期末考试模拟试题（六）（含解答）1、若N是自然数集，为正偶数集，则N与对等。（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。（对）3、若是上的有限个集，则下式成立。 （对）4、任意多个开集的交集一定是开集。（错）5、有限点集和可列点集都可测。（对）6、可列个零测集之并不是零测集。（对）7、若开集是开集的真子集，则一定有。（错）8、对于有界集，必有。（对）9、任何点集E上的常数函数=C，是可测函数。（错）10、由在上可测可以推出在上可测。（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R对等，只需对每个，令 2、任何无限集合

36、都至少包含一个 可数子集 3、设都可测，则也可测，并且当为空集时，对于任意集合T总有 4、设E是任一可测集，则一定存在型集F，使，且 5、可测集上的 连续函数 是可测函数。6、设E是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。7、设是一个与集合E的点x有关的命题，如果存在E的子集M，适合mM=0，使得在EM上恒成立，也就是说，EE成立= 零测度集 ，则我们称在E上几乎处处成立。8、E为闭集的充要条件是 。9、设A、B是两个非空集合，若，则有 。三、证明1、证明：若，且，则有。证明：由条件易得， （1） （2）由于,而 ,已知,所以.而 ,由（1）（2）得。2、设为上的连续函数，则对任意的，、为

37、闭集 证： 先证是闭集。设是的一个极限点，则中有点列，使. 由知.又由的连续性及极限不等性可得 . .即 .故 为闭集.4、设是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。证： 显然，的收敛点集可表示为 =.由可测及都可测，所以在上可测。从而，对任一自然数，可测。故 可测。既然收敛点集可测，那么发散点集也可测。实变函数期末考试模拟试题（七）（含解答）一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共10小题，每题1.5分，共10×1.5=15分）1、 中全体子集构成一个代数。 （ ）2、存在闭集使其余集仍为闭集。 （ ）3、 若是可测集，是的可测子集，则 。 ( &#

38、215; ) 4、 无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。 ( × ) 5、 可数个可数集的并集是可数集。 （ ）6、 、可数个集的交集不一定是集。 （ × ）7、 若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在实数，使是可测集。 （ × ）8、 若是可测集，是的可测子集，则 。 ( × ) 9、若是可测集，是上的非负可测函数，则在上一定可积。 ( × ) 10、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。 ( ) 2、 选择题。（每道题只有一个答案正确，多选或者不选均为零分，每道题1.5分，共15分）1、下列集合关系成立的

39、是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是开集，则（ B ）（A） （B）的内部 （C） （D）3、设是有理数，则下列正确的是（ B ）A ； ； ； 以上都不正确。4.、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 5、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数6、设是的单调函数，则（ C ）（A）不是的有界变差函数 （B）不是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）不在上几乎处处可导7、若至少有一个内点，则（ D ）（A）

40、可以等于零 （B）是可数集 （C）可能是可数集 （D）8、设是中的无理点全体，则（C ）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）9、设在可测集上可积，则（ D ）（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和不都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积10、设是可测集，则的特征函数是 （ B）（A）在上不是简单函数 （B）在上的可测函数 （C）在上不是连续函数 （D）上的连续函数三、填空题（将正确的答案填在横线上，每道题1分，共10分）1、设为全集，为的两个子集，则 。2、设，如果满足，则是 闭 集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基

41、数 （其中表示可数基数）。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。四、证明题。1、上的全体无理数作成的集合其基数为c证明：设A为中的有理数集，B为上的无理数集，则,即又因为c所以=c2、 开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍是闭集。证明：设A为开集，B为闭集，则 因为B为闭集，所以为开集因此A

42、-B为开集；同上所设有又因为A为开集所以为闭集。因此B-A为闭集。3、 设A,B且，若A是可测集，证明证明：因为A是可测集，所以由卡拉泰奥多里条件得 (I)于是 (II)将(II)代入(I)得4、 设，存在两侧两列可测集，,使得 且（-）0，（n）则可测.证明：对于任意， ，所以 又因为 ，所以对于任意，令 ，由0 得所以是可测的又由于可测，有也是可测的所以是可测的。实变函数期末考试模拟试题（八）（含解答）一、证明题：1、设在上，而成立，则有2、 证明：开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍然是闭集。3. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明

43、为可数集. 4. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.二、选择题：1. A为可数集，B为有限或可数集，则为（A）A 可数集 B不可数集 C无法确定2、有C个（C表示连续基数）集的并集，若每个集的基数都是（C）A B C C 2C3、E为开集的充要条件是（A）A B C 4、A为开集。B为闭集，A-B为（）开集闭集可开可闭、设S1、S2都是可测，（B）A不可测 B可测 C 不确定6.下列命题错误的是（ ） A. 开集、闭集都是可测集 B可测集都是Borel集 C外测度为零的集是可测集 D型集、型集都是可测集7.设是一列递降的可测集合，且，则有（ ） A. B C D以上都不对

44、8.下列命题错误的是（ ） A. 若在上可测，则在上也可测 B可测集上的连续函数是可测函数C在上可积的充要条件是在上可积 D上任意一有界变差函数都可表示为两个增函数之差9.下列表达正确的是（ ） A. B C D三、填空题：2、 设, , 则.3、 ,因为存在两个集合之间的一一映射为.4、 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.5、 若集合满足, 则为集.6、 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:, .7、 设使闭区间中的全体无理数集, 则.8、 若, 则说在上.9、 设, ,若,则称是的聚点.10、 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有11、

45、, 则称在上依测度收敛于.12、 设, 则的子列, 使得.四、判断题1. 若可测, 且,则.（）2. 设为点集, , 则是的外点. （）3. 点集的闭集. （）4. 任意多个闭集的并集是闭集. （）5. 若,满足, 则为无限集合.（）6. 任意无限集合都至少包含一个可数子集。（）7. 设是一列相交的集合，它们的基数都是，则的基数是。（）8. 为闭集的充要条件是。（）9. 集合的交或并满足交换率、结合率、分配率。（）10. 任意无限集合都至少包含一个可数子集。（）答案一证明答案：、证明：设，则。， 所以因为，所以即 2、证：设A为 开集，B为闭集则A-B=B为闭集的补集为开集故为开集由A为开集

46、则为闭集B-A为闭集3、中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集. 4、 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.二、选择题答案：1、A 2、C 3、A 4、A 5 、B 6. B    7. C   8. A    9. D  10、三、填空题答案：1、.2、 3、 ; .4、 闭集.5、 6、 .7、 几乎处处收敛于 或 收敛于.8、 对有.9、 10、 于四、判断题答案：1. 错 例如, , , 则且,但.2. 错 例如, , 但0不是的外点.3. 错 由于.4. 错 例如, 在 中, ,