第五章平面向量

1、学习必备欢迎下载第 1 讲 平面向量的概念及线性运算【 2013 年高考会这样考】1考查平面向量的线性运算2考查平面向量的几何意义及其共线条件【复习指导】本讲的复习， 一是要重视基础知识， 对平面向量的基本概念， 加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算， 搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度等于0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(

2、6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律(1) 交换律：求两个向量和的运abba.加法算三角形法则(2)结合律：(ab)c a平行四边形法则(bc)学习必备欢迎下载求 a 与 b 的相反向减法量 b 的和的运算 b)a b a (叫做 a 与 b 的差三角形法则3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下： |a| |a|；当 0 时，a 与 a 的方向相同； 当 0 时，a 与 a 的方向相反； 当 0 时，a 0.(2)运算律：设 ， 是两个实数，则(a

3、) ()a； ()aaa； (a b)ab.4共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 ba.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合双基自测)1D 是 ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD等于 ( 1 1 11A BC2BAB BC2B

4、AC.BC2BAD.BC2BA2判断下列四个命题：若 ab，则 ab；若 |a|b|，则 ab；若 |a|b|，则 ab；若 ab，则 |a|b|.正确的个数是 ()A 1 B 2 C3 D43若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()学习必备欢迎下载 A. EFOFOEB.EF OF OE OFOED.EF OF OEC.EF如图，正六边形 CD EF()4ABCDEF 中， BAA 0B.BEC.ADD.CF5设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a b 与 2ab 共线，则 _.考向一平面向量的概念【例 1】?下列命题中正确的是 ()A a 与 b 共线， b 与 c

5、 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行【训练 1】 给出下列命题：若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 ABDC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；若 a b， b c，则 ac； ab 的充要条件是 |a| |b|且 ab；若 a 与 b 均为非零向量，则 |a b|与 |a|b|一定相等其中正确命题的序号是 _考向二平面向量的线性运算【例 2】?如图，D， E， F 分别是 ABC 的边 AB， BC， CA 的中点，则 ()A. AD B

6、E CF 0 B.BD CF DF 0C.AD CE CF 0D.BD BE FC 0【训练 2】 在 ABC 中，AB c，ACb，若点 D 满足 BD 2DC，则AD ()学习必备欢迎下载21522112A. 3b3cB.3c3bC.3b3cD.3b3c考向三共线向量定理及其应用【例 3】?设两个非零向量a 与 b 不共线(1)若 ABab，BC2a 8b，CD3(ab)求证： A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka b 和 akb 共线【训练 3】 已知 a，b 是不共线的向量， AB ab，ACab(， R )，那么 A，B，C 三点共线的充要条件是 ()A 2B 1C

7、1D 1难点突破 11有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学生获取信息、 分析并解决问题的能力 解答这类问题， 首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中， 这是破解新定义信息题难点的关键所在【示例1】定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m， n)，b (p，q)，令 abmqnp，下面说法错误的是 ()A若 a 与 b 共线，则 ab0B a b b aC对任意的 R，有 2(a·b)2 |a|2

8、|b|2( a)b (a b)D(a b)【示例 2】设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2学习必备欢迎下载1 1( R)，A1A4A1A2( R)，且 2，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2.已知平 面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下列说法正确的是 ()A C 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点C C、 D 可能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上第 2 讲 平面向量基本定理及其坐标表示【 2013 年高考会这样考】1考查平面向量基本定理的应用2考查坐标表示下向量共线条件【复习指导】本讲复

9、习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算基础梳理1平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e1 2e2，其中不共线的向量 e1，e2 叫表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1， y1)，b(x2，y2)，则ab(x1 x2，y1 y2)，ab(x1 x2，y1 y2)， a(x1，y1)， |a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1， y1)，2，y2，则

10、(x2x1，y2y1)， x2x12B(x)AB|AB|3平面向量共线的坐标表示22x1 y1 .y2y1 2.设 a(x1， y1)， b(x2，y2)，其中 b0，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b共线学习必备欢迎下载一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中， 以原点为起点的向量 OAa，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为 (x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 a OA(x， y)1的当平面向量 OA平行移动到 O1A1时，向量不变，即 O11 OA (x，y)，但 O1AA起点 O1 和终点 A1的

11、坐标都发生了变化两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息1，y1， 2， y2)，则ab的充要条件不能表示成 x1y1，因为 x2，(2)若 a(x)b (xx2 y22 有可能等于 0，所以应表示为 x12 x2y10.yy双基自测已知 1 a2 an0，且 an(3,4)，则 a1a2 an 1 的坐标为 ()1aA (4,3)B(4，3)C(3， 4) D(3,4)2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c ()A 3abB3ab C a3bDa3b3设向量 a(m,1)，b (1，m)，如果

12、 a 与 b 共线且方向相反， 则 m 的值为 ()A 1B 1C 2D 24设向量 a (1， 3)， b (2,4)，若表示向量4a、3b2a、 c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ()A(4,6)B(4， 6)C(4， 6)D(4,6)5已知向量 a(2， 1)，b (1，m)，c( 1,2)，若(ab) c，则 m_.考向一平面向量基本定理的应用【例 1】如图所示，在 ABC 中， H 为 BC 上异于 B，C 的任一点， M 为 AH 的学习必备欢迎下载中点，若 AM ABAC，则 _.【训练 1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若ADxAB yAC，则 x_，y

13、_.考向二平面向量的坐标运算，【例 2】已知 A( 2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且 CM3CA，CN 2CB 求M.N 的坐标和 MN.【训练 2】 在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 AB(2,4)，AC(1,3)，则BD()A (2， 4)B( 3， 5)C(3,5)D (2,4)考向三平面向量共线的坐标运算【例 3】?已知 a (1,2)，b( 3,2)，是否存在实数 k，使得 kab 与 a 3b 共线，且方向相反？【训练 3】已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足 (ca)b，c (ab)，则 c()A.7，7B. 7，7C.7，7D. 7，

14、793393993学习必备欢迎下载阅卷报告 5 平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】 在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是： 首先选择一组基向量， 把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解【防范措施】 一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等【示例】在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC误 2BD，CA3CE，则AD·BE _.【试一试】 已知直角梯形 ABCD 中， ADBC， ADC 90°，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则 |PA3PB|的最小值为 _第 3 讲

15、 平面向量的数量积【 2013 年高考会这样考】1考查平面向量数量积的运算2考查利用数量积求平面向量的夹角、模3考查利用数量积判断两向量的垂直关系学习必备欢迎下载【复习指导】本讲复习时， 应紧扣平面向量数量积的定义， 理解其运算法则和性质， 重点解决平面向量的数量积的有关运算， 利用数量积求解平面向量的夹角、 模，以及两向量的垂直关系基础梳理1两个向量的夹角已知两个非零向量° 180°)a 和 b(如图 )，作 OA a， OB b，则 AOB(0叫做向量 a 与 b 的夹角，当 0°时， a 与 b 同向；当 180°时， a 与 b 反向；如果 a

16、与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 ab.2两个向量的数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 a·b，即 a·b |a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a0.3向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的数量积4向量数量积的性质设 a、b 都是非零向量， e 是单位向量， 为 a 与 b(或 e)的夹角则(1)e·a a·e

17、 |a|cos ；(2)a b? a·b 0；(3)当 a 与 b 同向时， a·b |a| |·b|；当 a 与 b 反向时， a·b |a|b|，特别的， a·a |a|2 或者 |a| a·a；a·b(4)cos |a|b|；(5)|a·b|a|b|.5向量数量积的运算律(1)a·bb·a；学习必备欢迎下载(2)a·b(a·b)a·(b)；(3)(ab) ·c a·c b·c.6平面向量数量积的坐标运算设向量 a (x1，y1)，

18、b(x2， y2)，向量 a 与 b 的夹角为 ，则(1)a·bx1x2y1y2；(2)|a|x21 y21；1 2y1 2(3)cosa， bx xy2222；x1 y1x2 y2(4)a b? a·b 0?1 2y1 2 0.x xy227若 A(x1，y1)， B(x2，y2)，ABa，则 |a|x1x2 y1y2(平面内两点间的距离公式 )一个条件两个向量垂直的充要条件：ab? x1 x2y1y2 0.两个探究(1)若 a·b 0，能否说明 a 和 b 的夹角为锐角？(2)若 a·b 0，能否说明 a 和 b 的夹角为钝角？三个防范(1)若 a，

19、b，c 是实数，则 ab ac? bc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量 a，b， c 若满足 a·ba·c(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2) 数量积运算不适合结合律，即 ( a·b) c a( b· c) ，这是由于 ( a·b) c 表示一个与 c 共线的向量， a( b·c) 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此 ( a· b) c 与 a( b· c) 不一定相等 (3) 向量夹角的概念要领会，比如正三角形 ABC中，

20、 AB与 BC的夹角应为 120°，而不是 60°.双基自测1已知 |a|3，|b|2，若 a·b3，则 a 与 b 的夹角为 ()23A. 3B.4C. 3D.4学习必备欢迎下载2若 a，b，c 为任意向量， mR，则下列等式不一定成立的是()A (ab)ca (b c)C m(a b)mambB(a b) ·ca·cb·cD(a·b) ·ca·(b·c)3若向量 a，b，c 满足 ab，且 ac，则 c·(a 2b)()A4B3C2D04已知向量 a (1,2)，向量 b (x，

21、2)，且 a(a b)，则实数 x 等于 ()A9B4C0D45已知 |a|b|2，(a2b) ·(ab) 2，则 a 与 b 的夹角为 _考向一求两平面向量的数量积 【例 1】在 ABC 中， M 是 BC 的中点， |AM ，AP2PM，则 PA·PC)| 1(PB _.【训练 1】 如图， 在菱形 ABCD 中，若 AC 4，则 CA·AB_.考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例 2】?已知 |a|4，|b|3，(2a3b) ·(2a b)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求 |ab|和 |a b|.学习必备欢迎下载【训练 2】 已知

22、a 与 b 是两个非零向量， 且 |a|b| |ab|，求 a 与 ab 的夹角考向三平面向量的数量积与垂直问题【例 3】?已知平面向量 a(1，x)， b (2x 3， x)(x R)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求 |ab|.【训练3】 已知平面内 A，B，C 三点在同一条直线上， OA( 2，m)，OB(n,1)， OC(5， 1)，且 OAOB，求实数 m，n 的值规范解答 10如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】 平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体

23、 考查的要求并不高， 解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题【解决方案】解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的学习必备欢迎下载模与数量积转化边长与夹角问题， 然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答【示例】 ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为a，b， c，cos A12 ； (2)若 cb 1，求 a 的值.(1)求 AB·AC13【试一试】 已知 ABC 的面积 S 满足 3S3，且AB·6，设 AB与BC的夹BC角为 .(1)求 的取值范围；(2)求函数 f()sin22si

24、n ·cos 3cos2的最小值第 4 讲 平面向量的应用【 2013 年高考会这样考】1考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题2考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【复习指导】复习中重点把握好向量平行、 垂直的条件及其数量积的运算，重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点学习必备欢迎下载基础梳理1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a b? ab(b0)? x1y2

25、 x2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质ab? a·b0? x1x2 y1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式1 2y1 2cos a·bx xy222 2(为 a 与 b 的夹角 )|a|b|x1y1x2y22平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量， 这是力 F 与位移 s 的数量积即 WF ·s|F |s|cos (为 F 与 s 的夹角 )一个手段实现平面向量与三角函数、 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算

26、两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题双基自测1某人先位移向量 a：“向东走 3 km”，接着再位移向量b：“向北走 3 km”，学习必备欢迎下载则 ab 表示 ()A向东南走 3 2 kmB向东北走 32kmC向东南走 33 kmD向东北走 33km平面上有四个互异点A、B、C、D，已知 (DBDC2DA·AC ，则2) (AB) 0ABC 的形状是 ()A直角三角形B等腰直角

27、三角形C等腰三角形D无法确定3已知向量 a (cos ，sin )，b(3， 1)，则 |2a b|的最大值，最小值分别是()A4,0B16,0C 2,0D 16,41ABACABAC在ABC中，已知向量与AC满足 0且· ，则4AB·BC2|AB|AC|AB| |AC|ABC 为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形 5平面直角坐标系xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足 OP·OA4，则点 P的轨迹方程是考向一平面向量在平面几何中的应用【例 1】平面上 O，A，B 三点不共线，设 OAa，OB b，则 OAB 的

28、面积等于()22222212221222A.|a| |b| a·bB.|a| |b| a·b C.2|a| |b| a·bD.2|a| |b| a·b【训练 1】 设 a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满学习必备欢迎下载足 a 与 b 不共线， a c， |a|c|，则 |b·c|的值一定等于 ()A以 a，b 为邻边的平行四边形的面积B以 b，c 为邻边的平行四边形的面积C以 a，b 为两边的三角形的面积D以 b，c 为两边的三角形的面积考向二平面向量与三角函数的交汇【例 2】?已知 A，B，C 的坐标分别为A(3,0

29、)，B(0,3)，C(cos ，sin )， 32，2 .(1)若 |AC|BC|，求角 的值； 2sin2sin 2(2)若 AC·BC 1，求的值1tan 【训练 2】 已知向量 a (sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若 |a| |b|,0，求 的值考向三平面向量与平面解析几何交汇【例 3】已知平面上一定点C(2,0)和直线 l：x8，P 为该平面上一动点，作PQ学习必备欢迎下载 11 l，垂足为 Q，且 (PC 2PQ) ·(PC2PQ)0.(1)求动点 P 的轨迹方程；若为圆2(y1)2 的最值(2)EFN： x1

30、 的任一条直径，求 PE·PF【训练 3】 已知点 P(0， 3)，点 A 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴的正半轴上，点M 3 ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程满足 PA·0，AM2MQAM难点突破 12高考中平面向量与其他知识的交汇问题平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现近几年新课标高考对向量知识的命题， 既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，呈现出“综合应用， 融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值一、平面向量与命题的交汇【示例】 设 a，b 是向量，命题“若a b，则 |a

31、|b|”的逆命题是 ()A若 ab，则 |a|b|B若 a b，则 |a|b|C若 |a|b|，则 a bD若 |a|b|，则 a b二、平面向量与函数学习必备欢迎下载【示例】若 a，b 是非零向量，且a b，|a| |b|，则函数 f(x) (xa b) ·(xba)是()A一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数 平面向量与线性规划【示例】 ? (2011 ·福建 )已知 O 是坐标原点，点 A( 1,1)若点 M(x，y)为平面区xy2，域 x1， 的取值范围是 ()上的一个动点，则 OA·OMy2A1,0B0,1

32、C0,2 D 1,2专题二高考三角函数与平面向量命题动向高考命题分析纵观近年各省的高考数学试题， 出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力在新课标高考试卷中一般有24 题，分值约占全卷的 14% 20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义 现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向， 挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示高考命题特点新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特

33、点如下：学习必备欢迎下载(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换； 两域 (定义域、值域 )；四性 (单调性、奇偶性、对称性、周期性 )；简单的三角变换 (求值、化简及比较大小 )有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少， 而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行

34、恒等变换的技能， 深受命题者的青睐 主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查， 故常常在知识交汇点处命题， 而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、 解析几何、 导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用高考动向透视考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现， 即利用三角函数的定义、 诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、 变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求

35、值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、 图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等21【示例 1】若 0， 2 ，且 sin cos 24，则 tan 的值等于 ()23A. 2B. 3C.2D.3考查三角函数的图象及其性质三角函数的图象与性质主要包括：正弦 (型)函数、余弦 (型 )函数、正切 (型)函数的学习必备欢迎下载单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题， 还有主

36、观题， 客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下【示例 2】已知函数 f(x)Asinx， ， ，yf(x)的部分图象如图所示，3x R A 0,02P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为 (1， A)(1)求 f(x)的最小正周期及的值；2(2)若点 R 的坐标为 (1,0)， PRQ 3 ，求 A 的值求单调区间高考对三角函数的单调性考查， 常以小题形式呈现， 有时也会出现在大题的某一小问中，属中档题对于形如 y Asin(x)(或 yAcos(x)，A0 的单调区间的求法是：

37、先考虑 A，的符号，再将 x视为一个整体，利用 ysin x 的单调区间，整体运算，解出 x 的范围即可【示例3】已知函数 f(x)sin(2x )，其中 为实数，若 f(x) f 6对 xR 恒成立，且 f2 f( )，则 f(x)的单调递增区间是 ()A. k 3， k6 (k Z )B. k，k 2 (kZ )2C. k6， k 3 (kZ )D. k2，k(kZ )【训练】 设函数 f(x)sin(x )cos(x) 0，| 2 的最小正周期为 ，且 f(x)f(x)，则 ()学习必备欢迎下载A f(x)在 0， 32单调递减 Bf(x)在，4单调递减4C f(x)在 0， 32单调递

38、增 Df(x)在，4单调递增4求最值高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现， 属中档题有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：化成yAsin(x )的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；化成二次函数形式后利用配方法求其最值【示例4】设2aR，f(x)cosx(asinxcosx)cos2x满足f 3 f(0)，求函数 11f(x)在 4， 24 上的最大值和最小值【训练】 函数 y2sin xcos x 的最大值为 _利用三角恒等变换求三角函数值三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质， 解三角形的基础， 在前几年的高考中单独命题的情况很少， 但在今年的高考中加强了

39、对三角恒等变换的考查， 大多是结合三角函数的图象与性质， 解三角形进行命题， 但有的省份对三角恒等变换进行了单独命题， 由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度， 高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式【示例 5】已知函数 f(x)tan 2x4 .(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设 0，4 ，若 f 2 2cos 2，求 的大小学习必备欢迎下载1 3【训练】 若 02，20，cos 43，cos 42 3 ，则 cos 233536()A. 3B 3C. 9D 9三角函数的综合应用三角函数的综合应用是历年来高考考查

40、的重点、 热点问题，新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查， 而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合线性规划知识命题，给今后的命题提出了新的挑战【示例 6】 ?设函数 f() 3sin cos ，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x，y)，且 0.(1)若点 P 的坐标为12， 23 ，求 f()的值；xy1，(2)若点 P(x，y)为平面区域 x1，上的一个动点，试确定角的取值范y1围，并求函数 f()的最小值和最大值学习必备欢迎下载有关解三角形的考查新课标高考对解三角形的考查， 以正弦定理、 余弦定理的综合运用为主， 在解题时，要分析清楚题目条件， 利用正弦定理、 余弦