简化解析几何运算技巧专题

1、精品专题：简化解析几何运算的5 个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线， 体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大， 或需繁杂的讨论， 这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“ 望题兴叹 ” 的地步 特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程技法一巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的 “ 发源地 ” ，解题时， 应善于运用圆锥曲线的定义， 以数形结合思想为指导， 把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化， 使

2、解题构筑在较高的水平上x2与双曲线 C2的公共焦点， A， B 分别是典例 如图， F1，F2 是椭圆 C1 ： y 214C1， C2 在第二、四象限的公共点若四边形AF1 BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 ()A2B33D 6C22解析 由已知，得 F (3，0)， F ( 3，0)，12设双曲线 C2 的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，|AF1| |AF2 | 4，可得|AF2| |AF1 | 2 a，解得 a2 2 ，|AF1|2 |AF2|2 12 ，36故 a2 所以双曲线C2 的离心率 e22感谢下载载精品答案D方法点拨 本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1

3、 |， |AF2 |的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量对点演练 |PF|抛物线 y 2 4mx (m 0) 的焦点为 F，点 P 为该抛物线上的动点，若点 A( m, 0) ，则|PA|的最小值为 _解析：设点 P 的坐标为 (xP， y P)，由抛物线的定义，知|PF| xP m ，又 |PA|2 (x P m ) 2PFxP m21122| |2 4 mx P，则yP (xP m )4 mx P|PA|xP m 2 4mx P4 mx P1 12xP m2x ·2P m1|PF|2|PF|2(当且仅当 xP m 时取等号 )，

4、所以，所以|PA|的最小值为2| PA|222答案：2技法二设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解x2y 2 1( a b 0) 的右焦点为 F(3 ，0) ，过点 F 的直线交 E 于 A，典例 已知椭圆 E：b 2a2B 两点若 AB 的中点坐标为(1 ， 1) ，则 E 的标准方程为 ()x2y 2x2y2A 1B 145363627x2y2x 2y2C 1D 12718189解析 设 A(x1， y1 )，B(x2 ，y 2 )，感谢下载载精品则 x1 x2 2 ， y1 y2 2，22

5、x1y1a2 b 2 1 ，22x2y2a2 b 2 1 ，x1 x2x1 x2y1 y2 y1 y20 ，得b2a2y1 y 2b2 x1 x2b 2所以 kAB x1 x2 a2 y1 y2 a2 01 1b21又 kAB 3 1 2 ，所以 a2 2 又 9 c2 a2 b 2，解得 b 2 9， a2 18 ，x2y2所以椭圆 E 的方程为 1189答案 D 方法点拨 本题设出 A， B 两点的坐标，却不需求出A，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率 “ 算两次 ” 建立几何量之间的关系，从而快速解决问题对点演练 1x2 y 2过点 M (1,1) 作斜

6、率为2的直线与椭圆C：a2 b 2 1( a b0) 相交于 A，B 两点，若M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 _感谢下载载精品22x1y1a2 b 2 1 ，解析：设 A(x1 ，y1 )， B(x2 ， y2 )，则y22x22a2 b 2 1 ，x1 x2 x1 x2y 1y 2 y 1 y2 0 ，a2b 2y1 y2b 2 x1 x2·x1 x2a2y1 y2y1 y21 ，x1 x2 2 ，y 1y 2 2 ，x1 x22b21，a2 2 b2 a22又b2 a2 c2，c 2a2 2( a2 c2)，a2 2c2， a 22即椭圆 C 的离心率 e22答

7、案：2技法三巧用 “ 根与系数的关系” ，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标， 用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往计算量小，解题过程简捷典例 (2016 ·全国甲卷 )已知椭圆 E：x2y 2 1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，t3斜率为 k(k>0) 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上， MA NA 感谢下载载精品(1) 当 t 4 ， |AM | |AN |时，求AMN 的面积；(2) 当 2| AM | |

8、AN |时，求 k 的取值范围解 设 M (x1 ，y1 )，则由题意知y1>0 x2y 2(1) 当 t 4 时， E 的方程为1，A(2,0) 43由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4因此直线 AM 的方程为 y x 2 x2y 2将 x y 2 代入 1 ，得 7 y2 12 y0 4312，所以 y 112解得 y 0 或 y7711212144××因此AMN 的面积 S AMN 2×27749(2) 由题意知 t>3 ，k >0 ，A (t， 0) x2 y 2将直线 AM 的方程 y k (x t)代入 1 ，t3得 (3

9、tk 2)x2 2 t·tk 2x t2 k2 3 t0 由 xt 2k 2 3 tt 3 tk 2·(t) 3 tk 2 ，得 x3 tk 2，11故 |AM | |x1 t |6t1 k21 k2 3 tk 21t)，由题设，直线 AN 的方程为 y ( xk6kt 1 k 2故同理可得 |AN |3 k2 t2 k由 2| AM | |AN |，得 3 tk 2 3k 2 t，即 (k 3 2) t 3 k(2 k 1) 感谢下载载精品当 k33k 2k 12 时上式不成立，因此t k 3 2k 3 2k2 k 2k 2k2 1t>3 等价于<0 ，k32

10、k3 2k 2即 k3 2 <0 k2>0 ，k 2<0 ，3因此得或k3 2>0 ，解得 2< k<2 k3 2<0故 k 的取值范围是 (32，2) 方法点拨 本例在第 (2) 问中可应用根与系数的关系求出t3 tk 2x1，这体现了整体思路这3 tk 2是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量对点演练 x2y21(2016 ·兰州实战考试 )已知椭圆C： a2 b 2 1( a b 0) 的离心率为2，且经过点3P 1 ，左、右焦点分别为F1 ，F22(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 过lCAB321

11、的直线与椭圆相交于，两点，若2的内切圆半径为，求以 2FAF BF7为圆心且与直线l 相切的圆的方程c 1解： (1) 由，得 a 2 c，所以 a24 c2， b 2 3c2，a 23将点 P 1 ，的坐标代入椭圆方程得c21 ，2感谢下载载精品x2y 2故所求椭圆方程为14 3(2) 由 (1) 可知 F1( 1,0) ，设直线 l 的方程为 x ty 1 ，代入椭圆方程，整理得 (4 3 t2 )y 2 6 ty 9 0 ，显然判别式大于0 恒成立，设 A(x1， y 1)， B(x2， y2)，AF2B 的内切圆半径为r0 ，则有 y y6 t， yy 9， r324 3 t24 3

12、t27，1212011所以SAF2 B SAF1F2 SBF1 F2 |F1 F2|·|y1 y 2| |F1F2|·y1 y2 2 4y 1y2 2212 t2 14 3 t2111而 SAF2B |AB |r0 |BF2 |r0 |AF2 |r 02221 r 0(| AB | |BF2| AF2 |)21 r 0(| AF1 | BF1| |BF2| |AF2|)21 r 0·4a21 3 2 × 8×2 712 2 ，712t 2 1122所以，解得 t 21 ，4 3 t 27lr22，因为所求圆与直线相切，所以半径t2 1所以所求圆

13、的方程为(x 1) 2 y2 2 感谢下载载精品技法四借 “ 曲线系 ” ，理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快， 事半功倍， 所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一x2y2典例 已知双曲线 a2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的一条渐近线方程是y3 x，它的一个焦点在抛物线y2 24 x 的准线上，则双曲线的方程为()x2y2x2y 2A 1B 136108927x2y2x 2y2C 1D110836279x2y2解析 由双曲线 a2 b2 1( a 0 ，b 0) 的一条渐近线方程是y3x，可设双曲线y 2的方程为 x 2 (0) 3x2y2 1( a0 ， b 0)

14、的一个焦点在抛物线y2 24 x 的准线上，因为双曲线a2b2x2y2所以 F( 6,0) 是双曲线的左焦点，即 3 36 ， 9 ，所以双曲线的方程为9271 答案 B 方法点拨 本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍对点演练 圆心在直线x y 4 0 上，且经过两圆x2y 2 6x 4 0 和 x2 y2 6y 28 0 的交点的圆的方程为()A x2 y2 x 7y 32 0B x2 y 2x 7 y 16 0感谢下载载精品Cx2 y2 4 x 4 y 9 0D x 2y 2 4 x 4y 8 0解析：选 A设经过两圆

15、的交点的圆的方程为x2 y2 6 x 4 (x2 y 2 6 y 28) 0 ，66 4 28 即 x2 y2xy0 ，1 1 1 3，3 其圆心坐标为1 ，1 xy 4 033又圆心在直线上，所以4 0，1 1 解得 7 ，故所求圆的方程为x2 y2 x 7 y 32 0 技法五巧引参数，方便运算换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等， 利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、 直线的倾斜角等在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件x

16、2y2典例 设椭圆 a2 b 2 1( a b 0) 的左、右顶点分别为A， B，点 P 在椭圆上且异于A， B 两点， O 为坐标原点若|AP | OA| ，证明直线OP 的斜率 k 满足 |k|3 解 法一：依题意，直线OP 的方程为 y kx ，设点 P 的坐标为 (x0 ， y0 )y 0 kx0，22由条件，得 x0y0a2 b2 1.a2 b 2消去 y 并整理，得x200k2 a2 b 2感谢下载载精品由 |AP | |OA |， A( a,0) 及 y0 kx 0 ，2222，得 (x0 a) kx0 a22整理得 (1 k) x0 2 ax00 而 x0 0 ，于是 x0 2

17、 a1 k2 ，a代入，整理得(1 k2 )2 4 k2 b 2 4 又 a b 0，故 (1 k 2)2 4 k2 4，即 k2 1 4 ，因此 k2 3，所以 |k |3 法二：依题意，直线OP 的方程为 y kx ，可设点 P 的坐标为 ( x0 ， kx0 )2k22x0x0由点 P 在椭圆上，得 a2 b2 1222因为 a b 0 ， kxx0kx000 ，所以 a2 a2 1 ，222即 (1 k)x0 a2 k222，由 |AP | |OA |及 A( a,0) ，得 ( x0 a)x0 a222 a00整理得 (1 k02 ax1 k2 ，) x0 ，于是 x4a2 a2 ，

18、代入，得 (1 k2 )·1 k2 2解得 k2 3 ，所以 |k| 3 法三：设 P(acos ， b sin )(0 2)，ab则线段 OP 的中点 Q 的坐标为cos， sin 22|AP| |OA |? AQ OP? k AQ× k 1 又A(0) ，所以kAQb sin，a,2 a acos 即 b sin ak AQcos 2ak AQ感谢下载载精品从而可得 |2 akAQ |222 a 12b akAQ k AQ，31解得 |kAQ|故 |k| 3 3|k AQ| 方法点拨 求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量对点演练 (2016x2y2F ， F，且离心·长春市质量检测 )椭圆 22 1( ab 0) 的左、右焦点分别为ab121P2 面积的最大值为3 率为 ，点为椭圆上一动点，12F PF(1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A1 ，过右焦点2 的直线l与椭圆相交于A，B两点，