线性代数知识点总结

1、学习好资料欢迎下载线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式 a 11 a22a12 a21 称为 a11a12 所确定的二阶行列式，并记作a11a12 ，a 21a 22a 21a12即 Da11a12a11a22a12a21. 结果为一个数。 （课本 P1）a21a22同理，把表达式 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22 a31, 称为由数a11a12a13a11a12a13表 a21a22a23 所确定的三阶行列式，记作 a21a22a23。aaaa31a32a33313233a11a12a13即 a2

2、1a22a23= a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33a13a22a31,a31a32a33二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2， P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组a11 x1a12 x2b1a21 x1a22 x2b2设 Da11a120 D1b1a12D2a11b1 .a21a22b2a22a21b2b1a12a11b1则 x1D1b2a22，x2D2a21b2. （课本P2）Da11a12Da11a12a21a22a21a22a11x1a12 x2a1

3、3 x3b1对三元方程组a21 x1a22 x2a23 x3b2 ，a31x1a32 x2a33x3b3a11a12a13设 Da21a22a230 ，a31a32a33学习好资料欢迎下载b1a12a13a11b1a13a11a12b1D1b2a22a23 ， D2a21b2a23 ， D3a21a22b2 ，b3a32a33a31b3a33a31a32b3则 xD1， x2D2 ， xD 3。（课本上没有）1DD3D注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列 ：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列） 。n 个不同的元素的所有排列

4、的总数，通常用P(或 A )表示。（课本 P5）nn逆序及逆序数 ：在一个排列中， 如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性： 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一： 分别计算出排在1,2,L , n1,n 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,L , n1,n这 n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二： 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序

5、数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节： n 阶行列式的定义a11a12La1n定义： n 阶行列式 Da21a22La2 n 等于所有取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积MMOMan1an 2Lanna1 p1 a2 p2 L anpn 的代数和，其中 p1p2 pn 是 1， 2，n 的一个排列，每一项的符号由其a11a12La1n0a22La2 nt 12L na11a22 L anna11a22 Lann 也可简记为逆序数决定。 DMOM1M00Lanndet aij ，其中 aij 为行列式D 的（ i， j 元）。（课本P6）a11a12La1na21a22La2 n

6、t p1 p2L pna1 p a2 p L anp根据定义，有 D1nMMOMp1 p2 L p n12an1an 2Lann说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程学习好资料欢迎下载组的需要而定义的 ;2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和 ;3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积 ;4、a1 p a2 p Lanpt， t 的符号等于排列p1 , p2,. pn 的逆序数的符号为112n5、一阶行列式aa 不要与绝对值记号相混淆。推论 1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。a11a12La1n即 D0a22

7、La2nt 12L na11a22 Lanna11a22 LannMMOM100Lann推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于1n n 1乘2以其副对角线上各元的乘积。1122n n1即1 2 Ln ，1212 Ln （上述二推论证ONnn明课本P7例 6）第四节：对换定义： 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本 P8）定理 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。（上述二定理证明课本P8）定理 2n

8、 阶行列式 Ddet(aij ) 的项可以写为 (1)t ( q1q2 L qn )t ( p1 p2L pn ) aq paq p Laq p，其中1 122nnq1q2 qn是行标排列， p1p2 pn是列标排列。（证明课本P9）推论设有 n 阶行列式 Ddet(aij ) ，则 D( 1)t ( q1q2 L qn ) aq 1aq2 Laqn 或12nDt (q qL q) t ( p pLp )aq p aqp Laqp 或 Dt (qq L q)a1 p a2 pLanp(1)12n12n( 1)1 2n（行列1 122nn12n式三种不同表示方法）推论在全部 n 阶排列中n2，奇

9、偶排列各占一半。证明设在全部 n 阶排列中有s 个奇排列， t 个偶排列，现来证st 。将 s个奇排列的前两个数对换， 则这 s 个奇排列全变成偶排列， 并且它们彼此不同，所以 s t 。若将 t 个偶排列的前两个数对换， 则这 t 个偶排列， 全变成奇排列， 并且它们彼此不学习好资料欢迎下载同，于是有 ts 。综上有 s=t。第五节：行列式的性质a11a12La1na11a21Lan1定义记 Da21a22La2 n ， DTa12a22Lan 2，行列式 DT称为行列式MMOMMMOMan1an 2anna1na2nLannD 的转置行列式。性质 1行列式与它的转置行列式相等。 （证明课本

10、 P9）说明行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质 2互换行列式的两行rirj或列 cicj，行列式变号。 （证明课本P10）推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质 3行列式的某一行 （列）中所有的元素都乘以同一数k (r jk ) ，等于用数 k 乘此行列式；推论 1D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;推论 2D 中某一行（列）所有元素为零，则D=0。性质 4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零（证明课本P10）性质 5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则a11a12L(a1ia1i )La1na

11、21a22L(a2ia2i )La2 nDMMMMan1an 2L(aniani )Lanna11a12La1iLa1na11a12La1iLa1 na21a22La2iLa2 na21a22La2iLa2 nLLLLLLLLLLan1an 2L aniL annan1an 2L aniL ann性质 6把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行 )对应的元素上去，行列式的值不变。 （课本 P11）计算行列式常用方法：利用定义；利用运算rikrj把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明 行列式中行与列具有同等的地位， 行列式的 6 个性质凡是对行成立的对列也同样成

12、立。第六节行列式按行（列）展开余子式在 n 阶行列式中，把元素aij所在的第i 行和第j列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作M ij。学习好资料欢迎下载代数余子式记Aij1 ijM ij，叫做元素 aij的代数余子式。 （课本P16）引理一个 n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（ij (i,j )元外aij 都为零，那么这， ）行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即DaijAij 。（证明课本 P16）a11a12La1n定理n 阶行列式 Da21a22La2 n 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应MMOMan1an 2Lann的代数余子式的乘积之和，即D

13、ai 1Ai1ai 2 Ai 2Lain Ain ， (i1,2,L, n)或 Da1 j A1 ja2 j A2 jLanj Anj， ( j1,2,L ,n) 。（证明课本P17）11L1x1x2Lxn扩展范德蒙德 (Vandermonde) 行列式 Dnx12x22Lxn2(xix j ) 的证MMOMnij 1x1n 1x2n 1L xnn 1明见课本 P18a11a12La1n展开定理推论n 阶行列式Da21a22La2n的任意一行（列）的各元素与另一MMOMan1an 2Lann行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即ai1 As1ai 2 As2Lain Asn0(i s)或

14、a1 j A1ta2 jA2 t Lanj Ant0( jt) （证明课本P19）第七节克拉默法则a11x1a12x2L a1n xnb1如果线性方程组a21x1a22 x2La2n xnb2 的系数行列式不等于零，Man1 x1an 2 x2 Lannxnbna11a12La1n即 Da21a22La2n0 ，那么该方程组有唯一解MMOMan1an2Lann学习好资料欢迎下载D1, x2D2, x3D3,L , xnDn其中 Di 是用非齐次项代替D 中第 i 列元素后所得x1DDDD的行列式。（证明课本 P53，第二章）注意克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。定理 4如果线性

15、方程组(1)的系数行列式D0，则 (1)一定有解，且解是唯一的。逆否定理如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。a11x1a12 x2.a1n xn 0定理 5a21x1a22x2.a2 n xn 00，则其次若齐次线性方程组.的系数行列式 Dan1 x1an2 x2.ann xn 0线性方程组没有非零解。（即解唯一，只有零解）逆否定理如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式D 必为零。（课本 P25）学习好资料欢迎下载第二章矩阵第一节矩阵定义由 mn 个 数 aij i 1,2,L , m; j1,2,L , n 排 成 的 m 行n 列 的 数 表a11a12La1

16、na11a12La1na21a22La2 n 称为 m 行 n 列矩阵。简称 mn 矩阵，记作 Aa21a22La2n，MMMLLLLam1am2Lamnam1am1Lamn简记为 AAm naijm naij， 这m n个数称为 A的元素 , 简称为元 。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵 A。 记作： An。行 (列 )矩阵： 只有一行 (列 )的矩阵。也称行 (列)向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵： AB 同型 ,且对应元素相等。记作： A B零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵

17、不同）对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主对角线上元素都是 1，其它元素都是 0，记作： En(不引起混淆时，也可表示为 E )（课本 P29P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个 mn 矩阵 Aaij和 Bbij ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 AB ，a11b11a12b12La1nb1n规定为 Aa21b21a22b22L a2 nb2 nBLLLLam1bm1am2bm2Lamnbmn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本

18、 P33）矩阵加法的运算规律1ABBA；2ABCABC学习好资料欢迎下载a11a12La1n3 设矩阵 A aij, 记A ( aij )m na21a22La2 n， A称为矩阵 ALLLLm nam1am1Lamn的 负矩阵4 AA0,A BAB 。（课本 P33）数与矩阵相乘数 与矩阵 A的乘积记作A或A ,规定为a11a12La1 n数 与矩阵 的乘积记作或A ,规定为a21a22La2 nAAA ALLLLam1am1Lamn数乘矩阵的运算规律（设A、B 为 m n 矩阵， ,为数）1AA ；2AAA ；3ABAB 。（课本 P33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵

19、相乘设 B(b ij ) 是一个 ms 矩阵， B(b ij ) 是一个 sn 矩阵，那么规定矩阵 A与矩阵 B的乘积是一个m n矩 阵C(cij )， 其 中b1 jb2 js， i 1,2,Lm; j1,2, L , n ，ai1ai 2 Laisai1b1 jai 2 b2 jLais bsjaik bkjMk1bsj并把此乘积记作CAB注意1。A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数 B 的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下， AB BA ，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律

20、1ABCABC；学习好资料欢迎下载2ABA BAB3A BCABAC，B CABA CA4 Am n En nEm m Am nAm n5若 A 是 n 阶方阵，则称 Ak 为 A 的 k 次幂，即 AkA ALA ，并且 Am AkAm k ，14 243k个Am kAmkm,k为正整数 。规定： A0 E注意矩阵不满足交换律，即ABBA， ABkP36）Ak Bk （但也有例外） （课本0纯量阵矩阵E称为纯量阵，作用是将图形放大倍。且有O0(E) AA(E)A ，A 为 n 阶方阵时，有(En ) AnAn (En )An ，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本 P36）转置矩阵把

21、矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A ，1 2214如 A， AT2 5 。45828转置矩阵的运算性质1ATTA ；2A BTATBT ；3TAT ；A4TBT AT 。（课本 P39）AB方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A 或det A（记住这个符号 ）注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n2 个数按一定方式排成的数表，而 n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质1ATA；学习好资料欢迎下载2 An A；(3) ABA BB ABA （课本 P40）对称阵设 A 为 n 阶方阵，如

22、果满足 A=AT ，即 aija ji i, j1,2,L , n 那么 A 称为对称阵。说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果 ATA 则称矩阵 A 为反对称的。即反对称矩阵A=（a ij）中的元素满足 aij aji ， i， j=1， 2， n伴随矩阵行 列 式A的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式 Aij 所 构 成 的 如 下 矩 阵A11A21LAn1A12A22LAn2称为矩阵 A 的伴随矩阵。ALLLLA1nA2nLAnn性质AAA AA E （易忘知识点 ）（课本P41）共轭矩阵（略）（课本P42）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（ 2

23、）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定义对于 n 阶矩阵 A，如果有一个n 阶矩阵 B,使得 ABBA E 则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。 A的逆矩阵记作A 1，即A 1B 。说明1A ，B 互为逆阵， A = B-12 只对方阵定义逆阵。3.若 A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。定理 1矩阵 A 可逆的充分必要条件是A0 ，并且当 A 可逆时，有 A 11 A*（重要）A（证明见课本 P43）奇异矩阵与非奇异矩阵当 A 0 时， A 称为奇异矩阵，当

24、 A0 时， A 称为非奇异矩阵。即 A可逆A为非奇异矩阵A0。推论若 ABE(或BA=E) ，则 BA 1 （证明见课本 P43）学习好资料欢迎下载(1)先求 | A|并判断当 | A|0时逆阵存在；求逆矩阵方法（2）求 A*；(3)求 1A*A 1。| A |逆矩阵的运算性质1 若A可逆 ,则A1亦可逆 ,且 A 11A2 若A可逆,数0,则 A可逆,且 A11A1。3 若 A, B为同阶方阵且均可逆 , 则AB亦可逆 ,且 ( AB) 1B 1A 1 。（以上证明见课本P43）TT1A1 T。4 若A可逆,则A 亦可逆, 且 A5 若A可逆 ,则有 A 11A。方阵的多项式设(x)a0a

25、1 xa2 x2Lam xm 为 x 的 m 次多项式，A 为 n 阶矩阵，记 (A)a0 E a1 Aa2 A2Lam Am 称(A) 为矩阵 A 的 m 次多项式。（课本 P46）注意矩阵 A 的任意两个多项式j(A)与 f(A)可交换，即(A) f ( A)f ( A)(A)，矩阵 A多项式可以像x 的多项式一样相乘或因式分解。矩阵多项式的计算(1)如果 AP P 1,则 AkPk P1，则(A)a0 Ea1 Aa2 A2L am AmPa0EP 1Pa1P 1Pa22 P 1LPamm P 1P ( )P1（重要）总结逆矩阵的计算方法1 待定系数法 ； 2利用公式 A 1A；3 初等变

26、换法 下一章介绍A第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法A 与 B 同型，且 A、 B 的分块方法相同，则A 与 B 的和定义为对应子块相加。数乘A ( Aij ) 。学习好资料欢迎下载A11A12A13 ,则ATA11TA21T转置设 AA12TA22T。A21A22A23A13TA23T乘法首先 AB 有意义，其次 A 的列的分法与 B 的行的分法相同。设 A为 ml 矩阵 , B为ln矩阵 ,分块成B1即列向量组B2即行向量组，A A1,

27、A2 ,L At (), B()MBnC11LC1 r其中 Ai1, Ai 2 ,L , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j,L, Btj的行数 , 那么 ABMM ，Cs1LCsrt其中 CijAik Bkji 1,L , s; j 1,L ,r。k 1结论分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设 A 为 n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，A1且非零子块都是方阵，即 AA2， 其中 Aii1,2, L s 都是方阵 ，则OAs有：1)A A1 A2LAs 。A1若每个则可逆且有A2，2)Ai0, A,AOAsA

28、可逆Ai可逆 i1,2,L, s且 A 1diag A11, A21,L , As1 （ diag （ A）表示对角阵A）（课本 P50）有用的结论设 A T AO, 则 AO（证明见课本P51例17）线性方程组的分块表示学习好资料欢迎下载a11 x1a12 x2. a1n xnb1线性方程组a21 x1a22 x2.a2n xnb2 ，.am1 x1am2 x2.amn xnbnx1b1a11a12.a1nb1记 A (aij ), xx2 ,bb2,Ba21a22.a2nb2，MMMMMMxnbmam1am2.amnbm其中 A 为系数矩阵， x 称为未知数向量，b 称为常数向量， B 称

29、为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为： B( A,b)或 B(a1, a2 ,., an , b)学习好资料欢迎下载第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换1对调两行，记作 (ri r j ) 。2以数 k 0 乘以某一行的所有元素，记作 (ri k ) 。3把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去，记作 (ri krj ) 。初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把 “ r”换成 “ c”。扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换， 初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类型相同。矩阵等价如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵B

30、，就称矩阵 A 与 B 等价。等价关系的性质（ 1）反身性 AA（2）对称性若 A B ,则 BA;（3）传递性若 A B,B C,则 A C。（课本 P59）行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元， 也是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.ErO标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如F的矩阵，称OO m n为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等

31、变换的性质设 A 与 B 为 m× n 矩阵，那么r(1)A : B存在 m阶可逆矩阵 P，使 PAB;c(2) A B存在 n阶可逆矩阵 Q，使 AQB;(3)A : B存在 m阶可逆矩阵 P，及 n阶可逆矩阵 Q，使 PAQ B;初等矩阵： 由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。学习好资料欢迎下载初等矩阵的性质设 A 是一个 m× n 矩阵，则（ 1）对 A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；r即A B存在 m阶可逆矩阵 P，使 PAB;（ 2）对 A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；cB;即 AB存在 n阶可逆矩阵 Q，使 AQ(3)A B存在 m阶可逆矩阵 P，及 n阶可逆矩阵 Q，使 PAQB;（ 4）方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1