集合知识点归纳

1、高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集考试要求：（ 1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合集合知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 .集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 .集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA ；空集是任何集合的子集，记为A ；空集是任何非空集

2、合的真子集；如果 AB，同时 BA，那么 A = B.如果 AB ， BC，那么 AC .注： Z= 整数 （）Z = 全体整数 （×）已知集合 S 中 A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集 .（×）（例： S=N ； A= N，则 Cs A= 0） 空集的补集是全集 .若集合 A= 集合 B，则 C BA=，CAB =CS（ CAB）=D（注： CAB =）.3. （ x， y） |xy =0， x R， y R 坐标轴上的点集 . （ x， y） |xy 0， x R， yR 二、四象限的点集. （ x， y） |xy 0 ， x R， yR 一、三象限的点集.

3、高中数学高考总复习高三数学总复习一集合 1 注 ：对方程组解的集合应是点集.xy3， 1).例：解的集合 (22 x3 y1点集与数集的交集是. （例： A =( x ， y)| y =x+1B= y|y =x 2+1 则 A B = ）4. n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n 1 个 . n 个元素的非空真子集有2n 2 个 .5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题 .一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题 .例：若ab5，则 a2 或 b3 应是真命题.解：逆否： a = 2且 b = 3 ，则 a+b = 5 ，成立，所以此命

4、题为真. x 1 且 y2 ，xy3 .解：逆否： x + y=3x = 1 或 y = 2.x1 且 y2xy3 ,故 xy3 是 x1 且 y2 的既不是充分，又不是必要条件 .小范围推出大范围；大范围推不出小范围 .3. 例：若 x5 ，x5 或 x 2 .4.集合运算：交、并、补.【并集】在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。基本定义：若 A和 B是集合，则A和 B 并集是有所有A 的元素和所有B的元素，而没有其他元素的集合。A和 B的并集通常写作"A B" 。形式上： x 是 A B 的元素，当且仅当x 是 A

5、 的元素，或x 是 B 的元素。举例：集合1, 2, 3和 2, 3, 4 的并集是1, 2, 3, 4。数字 9 不 属于素数集合 2, 3, 5, 7, 11, 和偶数集合2, 4, 6, 8, 10, , 的并集，因为9 既不是素数，也不是偶数。更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A， B 和 C 的并集含有所有A 的元素，所有B 的元素和所有C 的元素，而没有其他元素。形式上： x 是 A B C的元素，当且仅当x 属于 A 或 x属于 B 或 x属于 C。代数性质：二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即A (B C)=(A B) C。事实上， A B C 也等于这两个集

6、合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。相似的，并集运算满足交换率，即集合的顺序任意。空集是并集运算的单位元。即 A = A ，对任意集合A 。可以将空集当作零个集合的并集。结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。【交集】数学上，两个集合A 和 B 的交集是含有所有既属于A又属于 B的元素，而没有其他元素的集合。A 和 B 的交集写作"A B" 。形式上：x 属于 A B 当且仅当x 属于 A 且 x 属于 B。例如：集合 1, 2,

7、3和 2, 3, 4 的交集为 2, 3 。数字9不属于素数集合2, 3, 5, 7, 11 和奇数集合1,3, 5, 7, 9, 11的交集。若两个集合A 和 B的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合A， B，C 和 D 的交集为 A BCD A (B (C D) 。交集运算满足结合律，即A (B C)(A B) C。高中数学高考总复习高三数学总复习一集合 2最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。若 M是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M的交集，当且仅当对任意M 的元素A ， x 属于 A 。一般地 ,设 S 是一

8、个集合 ,A 是 S 的一个子集 ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合 ,叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集 )记作 CsA.在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。1：若A ， B， C 是集合，则下列恒等式成立：C-(A B)=(C-A) (C-B)C-(AB)=(C - A) (C-B)C-(B-A)=(AC) (C - B)(B-A)C=(BC)-A=B (C-A)(B-A)C=(BC)-(A-C)A-A=? -A=?A-?=A若给定全集 U ，则 A 在 U 中的相对补集称为A 的绝对补集（或简称补集）

9、，写作 AC ，即：AC=U-A与补集有关的运算规律求补律A CsA=SA CsA= 集合的性质：确定性： 每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成1 ， 1，2 ，应写成 1 ， 2 。无序性： a,b,cc,b,a 是同一个集合。集合有以下性质：若A 包含于 B，则 A B=A ，A B=B 集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。 1 ， 2 ， 3 ，, 2

10、.描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。x|P （ x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合的元素的共同属性）如：小于 的正实数组成的集合表示为： x|0<x< 3.图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。常用数集的符号：（ 1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作 N（ 2）非负整数集内排除0 的集，也称正整数集，记作N+（或 N* ）（ 3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z（ 4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记

11、作Q（ 5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R（ 6）复数集合计作 C高中数学高考总复习高三数学总复习一集合 3交 ： AB x | xA , 且 x B 并 ： AB x | xA 或 x B补： CUA x U , 且 x A5. 主要性质和运算律（ 1）AA ,A,AU,C UA U,包含关系：AB , BCAC;ABA,A BB;A BA,A BB.（2）等价关系：ABABAABBCUABU（ 3） 集合的运算律：1.交换律A B=B AA B=B A2.结合律(A B)C=A (B C)(A B)C=A (B C)3.分配律A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A

12、 B) (A C)2 德 .摩根律Cs(A B)=CsA CsBCs(A B)=CsA CsB列举法和描述法是表示集合的常用方式。吸收律A (A B)=AA (A B)=A求补律A CsA=SA CsA= ( 二 ) 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1. 整式不等式的解法根轴法 （零点分段法）将不等式化为 a 0(x-x 1)(x-x 2) , (x-x m)>0(<0) 形式，并将各因式 x 的系数化“ + ”； ( 为了统一方便 ) 求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0 ”, 则找“

13、线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”, 则找“线”在x 轴下方的区间.+x1xx-x- xmx2x3m-3m-2 xm-1高中数学高考总复习高三数学总复习一集合 4（自右向左正负相间）nn 1n 2则不等式 a 0 xa1 xa 2 xa n0( 0 )( a0 0 ) 的解可以根据各区间的符号确定 .特例一元一次不等式ax>b 解的讨论；2000二次函数2yaxbxc（ a 0 ）的图象一元二次方程2有两相异实根有两相等实根axc0bbxx2 )x1 x 2x1 , x 2 ( x1无实根a0 的根2 aax2c0bbxx1或 xx 2x xx xR(a0 )的解集2 aax2c0bx(a0 )的解集x x 1xx22. 分式不等式的解法（ 1 ）标准化：移项通分化为f ( x)>0( 或 f ( x)<0) ； f ( x ) 0( 或 f ( x ) 0) 的形式，g ( x )g ( x)g ( x)g ( x )f ( x )f ( x )f ( x) g ( x )0（ 2）转化为整式不等式（组）0f ( x ) g ( x ) 0;0g ( x ) 0g ( x )g ( x )3. 含绝对值不