函数的可导性与连续性的关系教案

1、函数的可导性与连续性的关系教案教学目的1 .使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件.2 .使学生了解左导数和右导数的概念.教学重点和难点掌握函数的可导性与连续性的关系.教学过程一、复习提问1 .导数的定义是什么？当时，要有极限，我们说函数¥=员/在点知处可导，这一掷艮值就叫做在即处的导粼，记作强蜩y=E(x)在点句处可导包含以下三个要点,y=f在点两处及其附近有意义3左极限lim及右极限lim一都存在hm-=lim；、即左右极旷必ito*&-*o-mauci十Nr限相等.这三个条件中缺一条件，函数在该点就不可导.2 .函数在点X0处连续的定义是什么?如果函数电

2、在点的某一领域内有定义，而且limf(x)=f8)就说函数f在点所处越鼠I”在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点X=X0处连续必须具备以F三个条件:函数侬在点面的某一领域内有定义;3 2)lim氏k)存在二4 3)limf&)=£(3HQ3,设是函数了二:侬定义域内的一点，则函数y=£在点0处连续的充要条件是litnAy-0.IK。'r-'u'',''f(s)=limAy+f(x0)=liGioAy-Ff(x0)=f(x0J,f(x)在点X0处连续.必要性.即己知lim%)=取0)推证limAy=0.3

3、£TXq此CT。Vlim=-f(x0)-limffx)_limf(x0)=f(K0)-0te-*OAxtQ卢txq林q综合(1)(2)原命题得证.在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题.先由学生回答函数的可导性与连续性的关系.、新课1.如果函数f(x)在点X0处可导，那么f(x)在点X0处连续.二包(均)是一个常数，要证分析工即由已知.=lim?=lim改为+)一£&)Zk此t>AkF日I1峪十晶)一£风)山、证明=.y=hm7=F3o),*口瓜u/.tiinrf(x0+AK)-f(Xg)间g*马2 hxt。AxAxf(x0+Ax)-lim-*l

4、imAx-)*0=0bt。Ax蜘一口由复习提问可知11吗fGu+Ac尸应).ib£->o即limF(k)=f(x0)sxKn'f(x)在点X0处连续.提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点X0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明.如果函数f(x)在点X0处连续，那么f(x)在该点不一定可导.例如：函数y=|x|在点x=0处连续，但在点x=0处不可导.从图23看出，曲线y=f(x)在点0(0,0)处没有切线.证明：:Ay=f(0+Ax)-f(0)=|0+Ax|-|0|=|Ax|,limAy=limIA|=0.:函数y=|x|在点xo处是连续的.AyI耳

5、I孽当时ar乐=i，即jI刈Ay当时-7-1即lim-1耳笈心wtr凸咒y_'也就是当al。时，S的左、右脚艮不相等，所以天工当笈一0时极根不存在.因此函数¥=1匐在点K=。处不可导.2.左导数与右导数的概念.设已知函数y二氏幻，=我小十琦-式小)，如果学的左极限存在，就把As左极限Hm?叫做f在点向处的左导数，如果色的右极限存在，就把右极限用540rAt11叫号叫做f(z)在点而处的右导数.(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明).(3)函数在一个闭区间上可导的定义.如果函数y=f(x)在开区间(

6、a,b)内可导，在左端点x=a处存在右导数，在右端点x=b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间a,b上可导.三、小结1,函数f(x)在xo处有定义是f(x)在xo处连续的必要而不充分条件.2 .函数f(x)在X0处连续是f(x)在X0处有极限的充分而不必要条件.3 .函数f(x)在xo处连续是f(x)在xo处可导的必要而不充分的条件.四、布置作业L无从函数的图冢观察，然后根据定义判断函数三电)在点处是否连续,在点笈=0处是否可导.2.函数y=在又=1处是否连续，是否可导.|3_(区：1)作业解答的提示:1.显然了二M反在刘二。处连续。但在笈=。处亍不存在.Aylim=lim=Inn酰/V?iK-OAeia-ft)二？=浓在点3二。处不可导从图2-4可以看出曲线y=之反在足=0处有切线，但切线是不机斜率不存在.limfl(x)=lim2x=2,limf(s)=lim(3-x)=2,犹tTXTI-X-J-l+Kf1*即litn.fCK)=Lim£(K)=2二f.f(x)在点x=1